Chuyên đề: tứ giác nội tiếp ( rat tiec khong co giai vi giai
khong ra )
I. Lý thuyết:
1. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đờng tròn. (Tứ giác ABCD nội tiếp)
Cách 1. Theo định nghĩa: CM có một điểm cách đều 4 điểm (Có O: OA = OB = OC = OD)
Cách 2. Theo tính chất:
à
à
A C
+
= 180
0
(Hoặc Góc A bằng góc ngoài của tứ giác tại C)
Cách 3. Theo quỹ tích cung chứa góc:
ã
ABD
=
ã
ACD
.
Cách 4: AB cắt CD tại I và thoả mãn: IA.IB = IC.ID
Chú ý: Cần chú ý trờng hợp:
à
à
0
90A C
= =
hoặc
ã
ABD
=

diện tích bằng nhau.
Bài 6. Cho tam giác MNP vuông tại M (MN < MP) và nội tiếp đờng tròn tâm (O, R). Gọi K
là trung điểm của MP và MI là đờng cao của tam giác MNP.
a. Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp đợc trong một đờng tròn (O). Xác định tâm O của
đờng tròn đó.
b. Xác định vị trí tơng đối của hai đờng tròn (O) và (O).
c. Đờng tròn (O) cắt MN tại E. Chứng minh 3 điểm E, O, K thẳng hàng.
Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát
tuyến ADE tới đờng tròn. Gọi I là trung điểm của DE.
a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
b. Chứng minh rằng IA là tia phân giác của góc BIC.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân là A nội tiếp đờng tròn (O). Hai điểm H, K trên cạnh BC, AH,
AK thứ tự cắt đờng tròn tại P, Q. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác KHPQ nội tiếp đợc một đờng tròn.
b. AH.AP = AK.AQ.
Bài 9. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn.
Gọi I là một điểm nằm trên dây BC, đờng thẳng vuông góc với OI tại I cắt AB, AC thứ tự ở
M, N. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, đờng tròn đờng kính BC cắt AB, AC thứ tự tại D, E. AE
cắt BD tại H. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác ADHE nội tiếp đợc một đờng tròn (O).
b. AI

BC và OO

DE.
Bài 11. a. Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại I. Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh
rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn.
b. Cho hai đoạn thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau tại I (A nằm giữa I,B; C nằm giữa I, D).
Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn.