Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề 2
I. Lý do chọn đề tài 2
1. Cơ sở lý luận 2
2. Cơ sở thực tiễn 2
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ đề tài 3
IV. Giới hạn đề tài 3
B. Giải quyết vấn đề 4
I. Phương pháp nghiên cứu 4
II. Nội dung cụ thể 5
1. Kiến thức cơ bản 5
2. Bài tập minh hoạ 6
2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 6
Phương pháp 1 6
Phương pháp 2 7
Phương pháp 3 7
Phương pháp 4 8
2.2 Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác
nội tiếp
10
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. 10
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. 11
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng. 13
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
15
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. 16
III. Kết quả thu được 18
IV. Bài học kinh nghiệm 18

“Phương pháp tứ giác nội tiếp”
II.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các
phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phương
pháp tứ giác nội tiếp để giải một số bài toán hay và khó như sau:
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một
điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Như vậy, giáo viên có thể giúp học sinh nắm vững, khai thác
sâu, đầy đủ một cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp
trong một đường tròn”.
III. Nhiệm vụ của đề tài
+ Đưa ra các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh
họa.
+ Đưa ra các loại bài tập vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp
hay và khó có bài tập minh họa.
IV. Giới hạn đề tài
Đề tài này được gói gọn với một đơn vị kiến thức trọng tâm ở bộ
môn Hình Học lớp 9.
- 3 -
- 4 -
B – Giải quyết vấn đề
I – Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp cơ bản sau:
1. Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có được với sự nghiên cứu tài liệu, tôi đã
sử dụng các tài liệu như:

o
thì tứ giác đó
nội tiếp được một đường tròn.
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm
đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới
một góc
α
.
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
- 6 -
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 180
0
hoặc ∠B + ∠D = 180
0
2 - Bài tập minh hoạ
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC, 2 đường cao

⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
- 7 -
Phương pháp 2: Dựa vào định lý
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC nhọn và nội
tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội
tiếp.
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I.
Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.
I
O
C'
B'
B
A
C
D
Chứng minh:
a/ (Bài toán 1)
b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 180
0
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 180
0
⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
Bài toán 3:

= ∠C
1
nên ∠A
1
= ∠A
2
= ∠C
1

Mà ∠A
1
+ ∠OAM = 180
0
và ∠C
1
+ ∠OCN= 180
0
.
⇒ ∠AOM = ∠OCN
Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh
OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện.
Bài toán 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O),
M là điểm chính giữa của cung AB.
Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt

Hay
·
»
¼
+
=
®(AD )
2
s MA
DCP
Lại có :
¼
¼
=AM MB
Nên :
·
MEP
=
·
DCP
Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
- 9 -
Cho hình vẽ:
Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB
tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại
G; OH ⊥AD tại H.
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp
trong hình vẽ bên.

0
⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 180
0
( điều phải chứng minh)
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
- 10 -
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường
tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy
ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai
đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định
đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng
nằm trên một đường tròn.
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
Chứng minh rằng, trong
một tam giác bất kì, ba trung điểm
của các cạnh, ba chân của các
đường cao, ba trung điểm của các
đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh
đều ở trên một đường tròn.
l
O
N
P
M
H
L
K
I

1. Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn. Đường tròn tâm A bán kính
AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt
đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
a. DE = DK
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung
ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B,
B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và
A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng:
a. MN ⊥ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn
Bài tóan 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định.
a. Phương pháp:
Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ
giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi
chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
b. Ví dụ 1:
- 12 -
Cho đường tròn tâm O đường
kính AB, điểm C cố định trên
đường kính ấy (C khác O).
Điểm M chuyển động trên
đường tròn. Đường vuông góc
với AB tại C cắt MA, MB theo
thứ tự ở E và F. Chứng minh
rằng đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF luôn đi qua một điểm

đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp
tuyến AB, AC với đường
tròn. Lấy điểm D nằm giữa
B và C. Qua D vẽ một
đường thẳng vuông góc với
OD cắt AB, AC lần lượt tại
E và F.
Khi điểm D di động trên
BC, chứng minh rằng đường
tròn (AEF) luôn đi qua một
điểm cố định khác A.
F
E
A
O
C
B
D
Chứng minh:
Ta có : ∠ EBO = 90
0
(AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
- 13 -
∠ EDO = 90
0
(GT)
⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn
⇒ ∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB)
Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn

Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng
tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
- 14 -
Chứng minh:
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
Ta phải chứng minh: AC. BD =
AB. DC + AD. BC
Thật vậy.
Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC =
∠ EAD
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
⇒
AD DE
AC BC
=
C
O
B
D
A
E
⇒ AD. BC = AC. DE (1)
Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)
⇒
BE AB
CD AC
=
⇒ BE. AC = CD. AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM)

Tìm quỹ tích điểm H.
2
1
2
1
l
K
H
N
O
B
A
D
C
M
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
⇒ CK = CN
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
⇒ ∠ M
1
= ∠ H
1
= 45
0
và ∠ N
2
= ∠ H

0

⇒ KH ⊥ NM
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận:
Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường
tròn này nằm trong hình vuông.
Bài tóan 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
a. Ví dụ:
Cho tam giác ABC nhọn (AB <
AC), điểm D di động trên cạnh
BC. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC.
Xác định vị trí của điểm D để:
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
b/ EF có độ dài lớn nhất.
a
M
O
F
E
B
C
A
D
Chứng minh:
Gọi O là trung điểm của AD
Tứ giác AEDF có : ∠ AED + ∠ AFD = 90
0
+ 90
0

Đức : 7
2. Đối với học sinh lớp 9A.
Sĩ số : 42 Số lượng bài làm : 42
Điểm 9 - 10 : 11 Điểm 7 - 8 : 21
Điểm 5 – 6 : 9 Điểm 1 – 4 : 1
IV – bài học kinh nghiệm
Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề đồng thời tôi
có lấy ý kiến của học sinh. Thấy được:
+ Bản thân tôi nắm rõ ràng hệ thống kiến thức về tứ giác nội tiếp.
+ Học sinh hiểu rõ và khắc sâu kiến thức hơn.
Vì vậy, các chuyên đề tiếp theo tôi đã đưa ra và yêu cầu học sinh dựa vào
cách học như vậy tự nghiên cứu trước ở nhà hoặc thảo luận nhóm nhỏ sau đó tôi
sẽ hoàn chỉnh giúp các em trong các buổi học chuyên đề.
Như vậy, học sinh đã từ học thụ động giờ có thể chủ động hình thành tri
thức bằng cách tự học.
- 19 -
C. Kết luận
Trên đây là một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đường
tròn đồng thời sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh một số
bài toán hay và khó. Do kinh nghiệm của mình qua thực tế giảng dạy còn ít
nên sáng kiến kinh nghiệm của tôi chắc sẽ còn nhiều thiếu xót. Rất mong
nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp giúp tôi sửa chữa và
bổ sung được đầy đủ và tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
- 20 -