Ch ơng 4. Tích phân bất định
4.1. Nguyên hàm và định nghĩa tích phân bất định.
4.1.1. Nguyên hàm.
Trong chơng này ta luôn giả thiết a, b là các số thực, a < b.
Định nhĩa 4.1. Hàm F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên (a;b),
nếu:
F

(x) = f(x) (x (a;b)).
Ví dụ 4.1.
(i) f(x) = x có các nguyên hàm F(x) =
x
2
2
,

(x) =
x
2
2
+4 trên (;+).
Vì:
F

(x) = x = f(x);

(x) = x = f(x) (x (;+)).
(ii) f(x) = x

1
có nguyên hàm F(x) = ln |x| trên (;+)\{0} vì:


(x) = f(x) f(x) = 0 (x (a;b)).
F(x)

(x) = K (x (a;b)) với K là một hằng số nào đó.(đpcm)
ý nghĩa của định lý. Nếu f(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì nó có vô số
nguyên hàm trên (a; b) và hai nguyên hàm khác nhau của f(x) trên (a;b)
sai khác nhau một hằng số.
Định lý 4.2. Nếu f(x) liên tục trên (a;b) thì nó có nguyên hàm trên (a; b).
1
Chú thích (i) Định nghĩa 4.1 và các định lý 4.1, 4.2 còn đúng khi thay
(a; b) bằng [a; b]. Vì vậy nó vẫn đúng khi thay (a; b) bằng X là hợp của
các tập có dạng (a; b) và [c; d] với a, b, c, d, là các số thực bất kỳ.
(ii) Trong chơng này, ta chỉ xét đến nguyên hàm của các hàm liên
tục. Nếu hàm đợc cho cụ thể và có các điểm gián đoạn, thì ta chỉ khảo
sát nguyên hàm của nó trên các khoảng mà nó liên tục. Vì vậy, khi đã
thừa nhận định lý 4.2 thì mỗi khi tính nguyên hàm của một hàm nào đó
ta không cần xét sự tồn tại nguyên hàm của nó nữa.
4.1.2. Định nghĩa tích phân bất định.
Định nghĩa 4.2. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b). Thì
biểu thức F(x) + C với C là một hằng số tuỳ ý, đợc gọi là tích phân bất
định của hàm f(x) trên (a;b) và ký hiệu là:
( )
f x dx

.
Trong đó, đợc gọi là dấu tích phân; f(x) đợc gọi là hàm số dới dấu
tích phân; f(x)dx đợc gọi là biểu thức dới dấu tích phân; x là biến số lấy
tích phân. Vậy:
( )

(x (a;b)).
Tính chất 4.2. Nếu F(x) là hàm khả vi trên (a;b) thì:
( )
d F x


= F(x) + C (x (a;b)).
Tính chất 4.3. Nếu f(x), h(x) có nguyên hàm trên (a;b) thì:
( ) ( ) ( ) ( )
f x h x dx f x dx h x dx =


;
( ) ( )
kf x dx k f x dx
=

với k là hằng số tuỳ ý.
4.1.4. Bảng tích phân cơ bản.
2
Nhận xét 4.1. Từ định nghĩa 4.2 ta thấy muốn tính
( )
f x dx

trên (a;b)
chỉ cần tìm một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) rồi cộng với C. Từ đó ta
có bảng tích phân cơ bản sau:(với a > 0 )

dx
ln x C



cos xdx sin x C
= +


dx
tgx C
cos x
= +

2

dx
cot gx C
sin x
= +

2
dx
arctgx C arccot gx C
x
= + = +
+

2
1
,
dx
arcsin x C arccos x C



2 2
2 2

dx a x
ln C
a a x
a x
+
= +



2 2
1
2
.
Ví dụ 4.3. Tính các tích phân sau:
a)
( )
x x dx+

2
3 2 5
; b)
x
dx
x+


2
2
2 2
1
1 1
1
2 2
1 1
.
c)
dx sin x cos x
dx
sin x cos x sin x cos x
+
=
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
=
=
dx dx
tgx cot gx C
cos x sin x
+ = − +
∫ ∫
2 2
.
d)
sin x d cos x
tgxdx dx ln cos x C

4
.
Gi¶i. a)
sinkxdx sinkxdkx coskx C
k k
= = − +
∫ ∫
1 1
,
coskxdx coskxdkx sinkx C
k k
= = +
∫ ∫
1 1
.
b)
( ) ( )
( )
x x x
x
x x x
d
dx x
dx dx ln C
ln ln
+ − +
= = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
3 2 2 3 2

1 2 2 1 2
2 2 2 2 2
2 2
.
d)
(
)
(
)
(
)
dx
x x dx x x x x dx
x x
= + − = + − + −
− −
∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2
2
2
1 1
4 2 4 4
16 16
4
=
4
=
( ) ( ) ( )
x dx x d x dx x x x C+ = + +

P x
P x
trong đó P
n
(x) và
P
m
(x) (m,n nguyên dơng) lần lợt là các đa thức bậc n, m theo x.
P
m
(x) là đa thức bậc m theo x nên nó đợc phân tích thành tích của
các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai vô nghiệm. Vì vậy, để tính
ticha phân trên ngời ta tách hàm f(x) (theo phơng pháp hệ số bất định)
thành tổng của các biểu thức có dạng
( )
k
A
x x
0
và
( )
p
Bx C
ax bx c
+
+ +
2
với A,
B, C, x
0

x x x x
x x
x x
x x x x
+ +
= +
+
+
+ +
3 2
2
2
4 2 1 1 2 2
1
1
1 1
.
Vậy I =
x dx dx xdx
dx
x x x x
x x x x

+ = +

+ +
+ +


2 2

+ +
+
2
2
1
2 2 1
3 3
1
.
4.2. Các phơng pháp tính tích phân bất định
5
Trong thực tế, nếu chỉ sử dụng bảng tích phân cơ bản và tính chất
của tích phân bất định để giải bài toán tính tích phân bất định, thì trong
nhiều trờng hợp không giải đợc. Để khắc phục điều đó, sau đây chúng ta
đa ra hai phơng pháp tính tích phân bất định.
4.2.1. Phơng pháp đổi biến số.
Giả sử cần tính tích phân
( )
f x dx

(x [a; b]).
Nếu đặt x =

(t) trong đó

(t) tăng (hoặc giảm), khả vi trên [

;

],

(4.1)
Mặt khác, vì (t) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [; ];

(t)
0 ( t (; )) và có miền giá trị [a; b]. Do đó, tồn tại duy nhất hàm
ngợc t = t(x) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục trên [a; b], có miền giá trị
[; ] và: dx =

(t)dt, t

(x) =
( ) ( )
x t t
=


1 1
.

( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
x
x t
f t . t dt f t t dt .t


=


6
Ví dụ 4.6. Tính các tích phân sau: a)
x dx

2
9
, b)
x dx+

2
4
.
Giải. a)
x dx

2
9
. Hàm f(x) =
x
2
9
xác định trên [3;3].
Đặt x = 3 sin t = (t) t [

2
;

2
]
(t) tăng trên [


2 2
9 9 9
9 9 1 2 2
2 2 4
=
x x
arcsin sin arcsin C

+ +
ữ

9 9
2
2 3 4 3
.
b)
x dx+

2
4
.
Hàm f(x) =
x +
2
4
xác định trên (;+).
Đặt x = 2 tg t = (t) (t (

2

cost cost
+ = + = =
2 2
2 2
4 4 4
(vì t (

2
;

2
)). Vậy:
( )
dt dt
x dx tg t
cos t cos t
+ = + =

2 2
2 3
2
4 4 4 4
= 4
( )
cost dsint
dt
cos t
sin t
=


1
+
( )
( )
d sint
sint
+
+

2
1
1
=
7
sint
ln C
sint sint sint
+
+ +
+
1 1 1
1 1 1
=
( ) ( )
( )
tg t sint ln tg t sint + + + + +
2 2
2 1 2 1 1
C
=


(x) liên tục
trên [a; b]; có miền giá trị [

;

]; và

(x) 0 ( t (a; b)) thì:
( ) ( ) ( )
f x dx f t t dt



=


1 1
.
Kết quả trên vẫn đúng khi thay [a; b] và [

;

] tơng ứng bằng (a; b)
và (

;

).
Ví dụ 4.7. Tính các tích phân sau: a)

3 5 3 3
3 60 60
.
b)
( )
x x dx

3
. Hàm f(x) =
x x
3
xác định trên [0;+).
Đặt t =
x
6
= (x). Thì (x) xác định, tăng [0;+);

(x) =
x
6
5
1
6
(
0) liên tục trên (0;+); có miền gía trị [0;+). Vậy:
( )
( )
x x dx t t t dt t dt t dt t t C = = = +

3 2 5 8 7 9 8


2
arcsin 2xdx
1 4x
.
Giải. a)
dx
x+ +

3
2 7
. Hàm f(x) =
x+ +
3
1
2 7
xác định trên (;+)\{15}.
Đặt t =
x+ +
3
2 7
= (x) với x 15.
Thì (x) xác định, tăng trên (;+)\{15};

(x) =
( )
x+
2
3
1

b)
dx
x x

3
. Hàm f(x) =
x x
1
3
xác định trên (3;+).
Đặt t =
x 3
= (x). Thì (x) xác định, tăng trên (3;+);

(x) =
x
1
2 3
( 0) liên tục trên (3;+); có miền giá trị (0;+). Vậy:
( )
( )
dx tdt dt t x
arctg C arctg C
x x
t t
t

= = = + = +

+

x
x
e
e +2 3
( 0) liên tục
trên (3;+); có miền giá trị (
3
;+). Vậy:
9
( )
x
x x
dx tdt dt t e
ln C ln C
t t
t
e e
t
+
= = = + = +

+
+ + +


3 2
2
2 1 3 1 3 3
2
3


(x) =
x
2
2
1 4
( 0) liên tục trên (
1
2
;
1
2
); có miền giá trị (1;1).
dx =
1
2
cost dt dt =
dx dx dx
cost
sin t x
= =

2 2
2 2 2
1 1 4
. Vậy
arcsin xdx
tdt t C arcsin x C
x
= = + = +


2
, d)
arcsin xdx

.
Giải.
a)
x
xe dx

2
. Hàm f(x) = xe
2x
xác định trên (;+).
Đặt u(x) = x u

(x) = 1 (x (;+));
v

(x) = e
2x
v(x) =
1
2
e
2x
(x (;+)).

x x x x x x x

m
e sinmxdx e sinmx e cosmxdx
n n
= −
∫ ∫
1
.
§Æt u
1
(x) = cos mx ⇒ u
1
′
(x) = −msin mx (∀x ∈ (−∞;+∞));
v
1
′
(x) = e
nx
⇒ v
1
(x) =
n
1
e
nx
(∀x ∈ (−∞;+∞)).
⇒
nx nx nx nx
m m
e sinmxdx e sinmx e cosmx e sinmxdx

n m
e sinmx e cosmx C
n m n m
− +
+ +
2 2 2 2
.
c)
( )
x sin xdx x cos x dx xdx xcos xdx x x cos xdx= − = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 1 1 1 1
1 2 2 2
2 2 2 4 2
.
§Æt u(x) = x ⇒ u
′
(x) = 1 (∀x ∈ (−∞;+∞));
v
′
(x) = cos 2x ⇒ v(x) =
1
2
sin 2x (∀x ∈ (−∞;+∞)).
⇒
x sin xdx x xsin x sin xdx x xsin x cos x C= − + = − − +
∫ ∫
2 2 2
1 1 1 1 1 1

(x) = 1 v(x) = x (x (

2
;+

2
)).

( ) ( )
xdx
ar sin xdx x arcsin x x arcsin x x d x
x

= = +


1
2 2
2
2
1
1 1
2
1
=
x arcsin x x C+ +
2
1
.
Ví dụ 4.10. Tính các tích phân sau:

2
xác định trên (0; ).
Đặt u(x) = x u

(x) = 1 (x (0; ));
v

(x) =
sin x
2
1
v(x) = cotg x (x (0; )).

xdx cos x d sin x
x cot gx cot gxdx x cot gx dx x cot gx
sin x sin x
sin x
= + = + = +

2
x cot gx ln sin x C= + +
.
b)
x sinmxdx

2
(m 0). Hàm f(x) = x
2
sin mx xác định trên (;+).
Đặt u(x) = x

m
1
sin mx (x (;+)).
12
⇒
x sinmxdx x cosmx x sinmx sinmxdx
m m m m
 
= − + −
 
 
∫ ∫
2 2
1 2 1 1
x cosmx xsinmx cosmx C
m
m m
= − + + +
2
2 3
1 2 2
.
c)
a x dx+
∫
2 2
(a > 0). Hµm f(x) =
a x+
2 2
x¸c ®Þnh trªn (−∞;+∞).

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
⇒ I =
x a x a ln x a x C+ + + + +
2 2 2 2 2
1 1
2 2
.
d) §Æt I =
( )
dx
x+
∫
3
2
1
, J =
( )
dx
x+
∫
2
2
1
.
Ta cã: I =
( ) ( ) ( )
dx x x x dx
dx J
x x x

1
4 1
(∀x ∈ (−∞;+∞)).
⇒
( ) ( )
x dx x
J
x x
−
= +
+ +
∫
2
3 2
2 2
1
4
1 4 1
⇒ I =
( )
x
J
x
+
+
2
2
3
4
4 1

( )
x
x+
2
2
1
v
1
(x) =
( )
x

+
2
1
2 1
(x (;+)).
J =
x dx x
arctgx arctgx C
x x x
+ = + +
+ + +

2 2 2
1 1
2 2
2 2 1 2 2
.
I =

n
P x cosmxdx


nx
e sinmxdx

;
( )
n
P x arcsin xdx

;
( )
n
P x arccos xdx


nx
e cosmxdx

;
a x dx

2 2
;
x a dx

2 2
( )

+ bx + c) = (2ax + b)dx ; mx + n =
m
a2
(2ax + b) + n

mb
a2
.
Vậy:
( )
k
mx n
dx
ax bx c
+
+ +

2
=
( )
( ) ( )
k k
d ax bx c
m mb dx
n
a a
ax bx c ax bx c
+ +

+

+ +

2
5 3
2 5
.
Giải. a)

( )
( )
( )
d x
d x x
x dx
dx ln x x
x x x x x x
x

+
+
= + = + +
+ + +
+

2
2
2 2 2 2
1
1
2 3

d x
x x
x
+ +

+
+ +2
2 2
2
2 5
1
5 3
2 2 5
2 1
=
x x + +
2
5 2 5
+ 3 arcsin
x 1
2
+ C.
2. Tính I =
( )
f sinx,cosx dx

. (trong đó f(sinx, cosx) là hàm hữu tỷ theo

Ta có: sinx =
t t dt
,cos x ,dx
t t t

= =
+ + +
2
2 2 2
2 1 2
1 1 1
. Do đó, ta chuyển đợc
việc tích phân của hàm hữu tỷ theo sinx và cosx về việc tính một tích
phân của hàm hữu tỷ theo t.
15
Ví dụ 4.12. Tính các tích phân sau:
a) I =
dx
sin x +

2 1
, b) J =
dx
cos x

.
Giải. Đặt t = tg
x
2
= h(x). Thì h(x) xác định, tăng trên

2
1
cosx =
t
t

+
2
2
1
1
. Khi đó:
( )
( )
d t
dx dt t
ln C
sin x
t t
t
t
x
tg
ln C
x
tg
+
+
= = = + =
+
2
1 1 1
2 1 2 2 4
1
.
Chú ý 4.3. Trên đây chúng ta đã đa ra phơng pháp chung để tính các
tích phân của các hàm hữu tỷ theo sin x và cos x. Tuy nhiên, trong một
số trờng hợp đặc biệt ta lại có các phơng pháp khác hiệu quả hơn. Chẳng
hạn:
(i) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo sin x và lẻ theo cos x thì đặt:
t = cos x.
(ii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cos x và lẻ theo sin x thì
đặt:
t = sin x.
(iii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm chẵn theo cả cos x và sin x thì sử
dụng công thức hạ bậc: 2sin
2
x = 1 cos 2x, 2cos
2

x = 1 + cos 2x.
(iiii) Nếu hàm f(sin x, cos x) là hàm lẻ theo cos x và sin x thì đặt: t = sin2
x.
16
Ví dụ 4.13. Tính các tích phân sau:
a)
sin xdx



2 3
. Đặt t = sinx dt = cosxdx.

( )
sin x cos xdx t t dt t t C sin x sin x C= = + = +

2 3 2 2 3 5 3 5
1 1 1 1
1
3 5 3 5
.
c)
( ) ( ) ( )
sin xcos xdx cos x cos x dx cos x sin xdx= + = +

2
2 4 2
1 1
1 2 1 2 1 2 2
8 8
.
=
( ) ( ) ( )
cos x cos x dx cos x cos x cos x cos x dx

+ = + 1 1


3
=
dt tdt t t C cos x cos x C = + = +

2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
8 8 8 8 8 8
.
Câu hỏi ôn tập chơng 4
Câu 1 : Cho hàm f(x) xác định trên (a; b). Định nghĩa nguyên hàm của
f(x) trên (a; b). Chứng tỏ rằng nếu f(x) có một nguyên hàm F(x) trên (a;
b) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên (a; b) đều đợc biểu thị dới dạng F(x)
+ C, trong đó C là một hằng số bất kỳ.
Câu 2 : Định nghĩa tích phân bất định; nêu và chứng minh các tính chất
của nó.
17
Câu 3 : Nêu sự khác nhau giữa nguyên hàm và tích phân bất định của
hàm f(x) trên (a; b).
Câu 4 : Trình bầy nội dung của các phơng pháp tính tích phân: phơng
pháp tích phân từng phần và phơng pháp đổi biến số.
Câu 5 : Trình bầy phơng pháp tính tích phân của các hàm hữu tỷ, vô tỷ
và các hàm lợng giác.
18