CHƯƠNG IV:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG
TRÌNH CỔ ĐIỂN)

()
()
asinu bcosu c * . a,b R\ 0+= ∈
Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho
+
≠
22
ab 0
Đặt
[]
22 22
ab
cos và sin với 0,2
ab ab
α= α= α∈ π
++

()
()
22
22
c
Thì * sin u cos cosu sin
ab
c
sin u

)
(
)
2
b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠
Phương trình có nghiệm
(
)
(
)
2
'a cbcb 0
⇔
Δ= − + − ≥

222 222
acb abc⇔≥−⇔+≥
Giải phương trình (1) tìm được t. Từ
u
ttg
2
=
ta tìm được u.

Bài 87
: Tìm
26
x,
57
ππ

⇔−=+π −=+
3
7x k2 hay 7x h2
64 6 4
π
,
(
)
∈k, h Z

ππ ππ
⇔= + = + ∈

5k2 11h2
xhayx ,k,
84 7 84 7
h

Do
26
x,
57
π
π
⎛
∈
⎜
⎝⎠
⎞
⎟

(
)
3
3sin3x 3cos9x 1 4sin 3x *−=+
Ta có :
()
()
3
* 3sin 3x 4 sin 3x 3 cos 9x 1
⇔
−−=

sin 9x 3 cos 9x 1⇔− =

13
sin 9x cos 9x
22
⇔−
1
2
=
1
sin 9x sin
32
ππ
⎛⎞
⇔−==
⎜⎟
⎝⎠
6

Lúc đó :
()
sin x 2
* sin 2x cos 2x 4 cos x 0
cos x cos x
⇔− − + −=

2
sin x sin 2x cos x cos x cos 2x 4 cos x 2 0⇔− − + −=
()
2
sin x 1 2cos x cos x cos 2x 2cos2x 0⇔− − + =
=
≠

sin x cos2x cos x cos2x 2 cos2x 0⇔− − + =

⇔=−−+cos2x 0 hay sinx cosx 2 0

()
()
⎡
==−=
⎢
⇔
⎢
+= +<
⎢
⎣
2

⎝⎠
⇔− = + + =(
)
sin 4x 2 loại
sin 2x cos2x 1
2sin(2x ) 1
4
=
⎡
⇔
⎢
+=
⎣
π
−
⇔
+=−()
sin 2x sin( )
44
2x k2
44
kZ
5
2x k2

g
x3cot
g
x4sinx 3cosx*−=+

Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⇔≠
⎨
≠
⎩
Lúc đó : (*)
(
)
sin x cosx
34sinx3co
cos x sin x
⇔− = +
sx

(
)
()()
22
sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosx
sin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0

π
⎛⎞
−=
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎣
ππ π
⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π ∈Z

()()
+




2
6 cos x 6 sin x cos x 2 sin x 9 sin x 7 0
7
6 cos x 1 sin x 2 sin x 1 sin x 0
2
=
=

()

= + =


=

++=

++=


= + += +<
2
222
2sinxcosx sinx 4cos x 4cosx 3 0
113
2 sin x cos x 4 cos x cos x 0
222
1
cos x 0 hay 2 sin x 4 cos x 6 0 voõ nghieọm do 2 4 6
2


=+ xk
3
2Baứi 93 : Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
2sin2x cos2x 7sinx 2cosx 4 *=+

Ta coự : (*)
(
)

xk2x k2,k
66Baứi 94 : Giaỷi phửụng trỡnh
(
)
sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 *=+

Ta coự (*)
(
)
2
2sinxcosx 1 2sin x 3sinx cosx 2

= +

()
()()(
++
+
= +=
2
cos x 2 sin x 1 2sin x 3sin x 1 0
cos x 2 sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 0
2sinx 1 0 hay cosx sinx 1 0
)
=
=


π
⎛⎞
+−=−
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
t sin 2x 3 cos2x=+
, Điều kiện
ab t ab−+=−≤≤=+
22 22
22

Thì
13
t 2 sin 2x cos 2x 2cos 2x
22
⎛⎞
6
π
⎛⎞
=+=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
−

Vậy (*) thành:

)
++=
3
2cos x cos2x sin x 0 *
Ta có (*)
32
2cos x 2cos x 1 sinx 0
⇔
+−+=

(
)
()
()()
()( )
2
2
2 cos x cosx 1 1 sin x 0
2 1 sin x 1 cosx 1 sin x 0
1 sin x 0 hay 2 1 sin x 1 cosx 1 0
⇔+−+=
⇔− + −− =
⇔− = + + −=

2
1 sin x 0 hay 1 2sin x cosx 2(sin x cosx) 0
1sinx 0hay(sinx cosx) 2(sinxcosx) 0
⇔− = + + + =
⇔− = + + + =


2
1cos2x 1
1cotg2x
1cos2x
1cos2x
1
cot g2x 1
1cos2x
cos2x cos2x
sin 2x 1 cos2x
−
⇔+ = =
+
−
⇔= −
+
−
⇔=
+

()
=≠±
⎡
⎢
⇔
−
⎢
=
⎢
+

x,k
42
ππ π
⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈
ππ
⇔=+ ∈
¢
¢
kBài 98 : Giải phương trình
()
(
)
44
4sinx cosx 3sin4x 2*++ =Ta có : (*)
()
2
22 22
4 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2
⎡⎤
⇔+− +
⎢⎥
⎣⎦
=



4x k2 hay 4x k2 ,k
3
xkhayx k,k
42 122
π
⇔=π+π =−+π∈
ππ π π
⇔=+ =− + ∈
¢
¢

Cách khác
:
()
(*)
2
2 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔− + =

2
2 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0
cos2x0cos2x 3sin2x0
cos2x 0 cot g2x 3
⇔+ =
⇔=∨+
⇔=∨ =−
=

2x k 2x k , k
26

1
1 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 0
2
⎛⎞
⇔− + + − =
⎜⎟
⎝⎠
⇔− = + + =(
)
sin 4x 2 loại
sin 2x cos2x 1
2sin(2x ) 1
4
=
⎡
⇔
⎢
+=
⎣
π
−
⇔
+=−()
sin 2x sin( )

Bài 100 : Giải phương trình
(
)
(
)
t
g
x3cot
g
x4sinx 3cosx*−=+

Điều kiện
sin x 0
sin 2x 0
cos x 0
≠
⎧
⇔≠
⎨
≠
⎩
Lúc đó : (*)
(
)
sin x cosx
34sinx3co
cos x sin x
⇔− = +
sx


⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⇔
⎢
π
⎛⎞
−=
⎢
⎜⎟
⎝⎠
⎣
ππ π
⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π ∈Z

()
4k2
xkxk2x ,k
3393
4k2
x k x nhận do sin2x 0
393
ππ ππ
⇔=−+π∨=−− π∨= + ∈
πππ
⇔=−+π∨= + ≠
¢
⎣
π
⇔= + ∈Bài 102 : Giải phương trình
()
44
1
cos x sin x *
44
π
⎛⎞
++=
⎜⎟
⎝⎠

Ta có : (*)
()
2
2
11
1 cos2x 1 cos 2x
442
⎡π⎤
⎛⎞
1
4
⇔
++−+
Bài 103 : Giải phương trình
()
33
4sin x.cos3x 4 cos x.sin 3x 3 3 cos4x 3 *++=
Ta có : (*)
(
)
(
)
⇔−+−+
33 3 3
4sin x 4cos x 3cosx 4cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3=

()
⇔− + + =
⇔−++
33
22
12sin x cosx 12sin xcos x 3 3 cos 4x 3
4sin xcosx sin x cos x 3 cos4x 1=

2sin2x.cos2x 3 cos4x 1
sin
3
sin 4x cos 4x 1
cos
3
⇔+

¢Bài 104 : Cho phương trình :
()
22
2sin x sin xcosx cos x m *−−=
a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm
b/ Giải phương trình khi m = -1
Ta có : (*)
() ()
11
1cos2x sin2x 1cos2x m
22
⇔
−− −+=

sin2x 3cos2x 2m 1⇔+ =−+
2

a/ (*) có nghiệm
22
abc⇔+≥
()
2
2
19 12m
4m 4m 9 0
110 110
m

3
1t 1t
−
+=
++

()(
22
2
2t 3 1 t 3 t 1
6t 2t 0
t0t3
⇔+ − = +
⇔−=
⇔=∨=
)

Vậy (
1)
⇔
t
g
x0ha
y
t
g
x3t
g
xk===
ϕ

=−

b/ Tìm
α
để phương trình (*) có nghiệm
Ta có :
3
sin x sin x cosx
22
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
−=− −=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

2
2
6tg 6sin
.cos 3sin2
1tg cos
αα
=α=α
với cos 0
+α α
α
≠

Vậy :
()
()

sin x 1ϕ+ =
xk2
2
xk
2
π
⇔ϕ+ = + π
π
⇔=−ϕ++ π2
≠

b/ (**) có nghiệm
()
2
3sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α
2
2
sin 2 1 và cos 0
sin 2 1
cos2 0
k
,k
42
⇔α≥ α≠
⇔α=
⇔α=
ππ
⇔α= + ∈¢
si n x cos x cos2x+=
k/
3
4sin x 1 3sinx 3cos3x−= −
i /
6
3cosx 4sinx 6
3cosx 4sinx 1
++ =
++

j/ cos7xcos5x 3sin2x 1 sin7xsin5x−=−
m/
()
44
4cosx sinx 3sin4x 2
+
+=

p/
22
cos x 3 sin 2x 1 sin x−=+
q/
()
4sin2x 3cos2x 3 4sinx 1−= −
r/
2
tgx sin 2x cos2x 4cosx
cos x
−− =−+

−−

a/ Giải phương trình (1) khi m = 1
b/ Khi
m0vàm 2≠≠ thì (1) có bao nhiêu nghiệm trên
[
]
ππ20 ,30
?
(ĐS : 10 nghiệm)
4. Cho phương trình

()
2sinx cosx 1
a1
sin x 2 cosx 3
++
=
−+

a/ Giải (1)khi
1
a
3
=

b/ Tìm a để (1) có nghiệm

Th.S Phạm Hồng Danh
TT Luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn