PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2
4
xy
x y xy
x y xy
>


+ =


HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+
với 0<x<1
( )
2
2
2
1 (1 2ln )
( ) 0
1
x x
f x

x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t
+ =
1
2
t
t
=

⇔

=

 Với t=1 ta có:
2 1
log ( 1) 1 1 2 1 2
x

Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+
 
HD:
2
2
6
0,7 6
2
6


2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x
x
x
x x
x

+
>

+

+
⇔ > ⇔

+
+

>

x
− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x

− +
>


⇔

− +

≤


2
0 1 2
4 2
0
x x

0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >


⇔

< ∨ − ≤ ≤ +


( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6. ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2x x
− + + ≤
HD: BPT tương đương

2
3 3
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
x
x x

>


9
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+

2
3
4
8 21 9 0
x
x x

>

⇔


− − ≤

2 1
x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x
⇔ = − ∨ =
8. *ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
HD: Đặt t=2
x
, t>0 ta được:
2
2 2
1
log ( 15 27) log 0
4 3

+ + =

Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô
nghiệm x
9. *Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2
1 1
3log 2 log log
2 2
x
x x+ = +
2
6
2 1 ( log )t t t x
t
⇔ + = + =
2
6 0t t⇔ − + =
3 2t t
⇔ = ∨ = −
1
8

5
1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11. Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =
HD: ĐK x>1
Đưa về
3 3
2log ( 1) 2log (2 1) 2x x
− + − =
3
log ( 1)(2 1) 1x x
⇔ − − =
( 1)(2 1) 3x x⇔ − − =
2
2 3 2 0x x
⇔ − − =
1
2
2
x x

2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x
t t
−
⇔ − = =
+ −
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )t t t t t⇔ − − − − = + −
2
4 0t t
⇔ + − =
1 17 1 17
2 2
t t
− − − +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
t
− +

2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )
2
1
2
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
2
3 4 1
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− + −
⇔ ≥
− −
( 1)( 3 1)
0


≤ <


1 1
3 2
x⇔ ≤ <
14. Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
HD:
3 2
2 7 7 2 0 ( 2 , 0)
x
t t t t t− + − = = >
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x
⇔ = ∨ = ∨ = −
15. *ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
HD:

3
t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16. Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
1
2
. PT tương đương với:
2 4
8
1 2 1
log log 2
log 2
x x
x
+ =
2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 logx x x
⇔ + =

 
+
< +
 ÷
 
x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < +
x x
4 -20.2 64 0⇔ + <
2
t -20.t 64 0(t=2 0)
x
⇔ + < >
( 4)( 16) 0t t⇔ − − <
4 16t
⇔ < <
2 4x
⇔ < <
18. Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =

x
+
=
19. *Tham khảo 2006
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
HD:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1 9t t
⇔ = ∨ =
2 2
0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − =

(1 )(1 )
x a
a
f x e e
x x a
′
= − + >
+ + +
(vì a>0 và
x>−1)

1
lim ( ) , lim ( )
x
t
f x f x
→+∞
→−
+
= +∞ = −∞
, f(x) liên tục
trên
( 1; )− +∞
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có
nghiệm x
0
trên
( 1; )− +∞
 Do
( ) 0, 1f x x


=



=

Suy ra
2
. 2
x
u v =
(u>0,v>0)
Phương trình thành:
u 4v uv 4 0
− − + =
u(1-v)+4(1-v)=0⇔
(u+4)(1-v)=0⇔
v=1
⇔
2
x 0x⇔ − =
x 0 1x
⇔ = ∨ =
22. Tham khảo 2006 Giải PT
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+

x x
⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28
log 10 log
27
x x⇔ = ∨ =
23. ***Tham khảo 2006 Giải HPT
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

HD:
 Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
( ) 1
1 1
t


= ∨ =


=

vô nghiệm
 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
24. Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
HD: Đưa về
( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2
x
2
t +t 2 0− =
t=1 t= 2⇔ ∨ −
1
x=2 x=
4
⇔ ∨


− + − =

⇔

 
=

 ÷
 

3
1 2 1
3
1
x y
x y

− + − =

⇔

=


1 2 1
y x
x x
=


     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
x x x x
x
       
+ ≥ =

2
3 , 0
x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x
⇔ ≤ ≤
28. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy
ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4
x
=1.
3
2 4 1 1 4 3 4
x x x

1
1
25

− − =



+ =

HD:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

log (y x) log y
x y
− − + =

y , y x
y
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

2 2
0
4
25
y , y x
x
y
x y
> >



⇔ =



> > > >
 
 
⇔ = ∨ = −
 
 
= = −
 
0 0
4 4
3 3
x
y
=

⇔

=

3
4
30. Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π


2
2
2
2
2 0
2 1
(
)
log x x x⇔ + − >
2
2
2 1
x x x
x x x

+ − >

⇔


+ − >

2
2
2 0
2 2
x x x⇔ + − >
2
2 2

0 2
3 4 0
x
x
x x
≤

⇔ > ∨

< − ∨ >

2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31. Tham khảo-2004 Giải BPT
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
HD:
2 2
1 3
log log
2 2

1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x
x x
+
⇔ = +
( )
( 1)ln ln 1x x x x⇔ + = +
( 1)ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + =
Đặt
( ) ( 1) ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1

→+∞ →+∞
 
′
= + + =
 ÷
+ +
 
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy
nhất.
33. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số
ln x
y
x
 

2
2
4
( )f e
e
=
;
3
3
9
( )f e
e
=
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
( )f e
e
=
34. ***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
>
−
−+
−
x

1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− <

suy ra 1<x<2
không thỏa BPT
 x>2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− >

suy ra x>2 thỏa BPT
 Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35. ***Tham khảo 2004 Cho hàm số

 GTNN là f(0)=1

2 2
( ) 1 1 sin 1
2 2
x x
x x
y f x e x e= = − + − + ≥ − +
 Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
→+∞
 
− + = +∞
 ÷
 
⇒
( )
lim
x
f x
→+∞
= +∞
 Và
2

t
t


> ≠

=



>

3
2
0, 1
log
1
0
x x
t x
t
t


> ≠


⇔ =




1
1 3
3
x x⇔ < < ∨ >
37. ***Tham khảo 2004 Giải HPT





−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
 Thay y=x vào PT thứ hai
2 1
2 2 0
x x−
− =
2 1 1x x x
⇔ = − ⇔ = −
(y=−1)
 Thay y=1−x vào PT thứ hai
1

+ ≥ −
2
1
30 1 9 6 1
t
t t t
>

⇔

+ ≥ − +

2
1
4 0
t
t t
>

⇔

− ≤

1 4t
⇔ < ≤
 t<1 ta được
30 1 1t t
+ ≥ +
2
1


−
⇔ ≤ < − ∨

− ≤

1 1
1
1
0 28
30
t
t
t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

≤ ≤

1
1 0 1
30
t t
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
 Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta
có
0 4t

log logm x x⇔ = − −
 Với 0<x<1 thì
2
0 1 log 0x x< < ⇔ <
 PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m
thuộc miền giá trị của hàm số
2
( ) ( 0)f t t t t= − − <
 Khảo sát hàm số cho kết quả
1
4
m ≤
40. ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
2
2
4
2 3
2
x x

x
5
log 5 4 1 x− = −
HD:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
1
5 4 5
x x−
⇔ − =
5
5
4
x
t
t
t

=

⇔

− =


2
5

=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
HD:
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
+ + − =
2
3
2
log 1
6 0
t x
t t

= +

⇔

+ − =


2
3
log 1

3
=−−++
mxx loglog
( )
2
3
2
log 1
1
( ) 2
2
t x
m f t t t

= +

⇔

= = + −


 PT ban đầu có nghiệm x thỏa
3
1 3x≤ ≤
khi và
chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với
1 2t≤ ≤
 Khảo sát hàm số ta được
0 2m
≤ ≤

3 2log 1 logx x
=
+ +
3
1
log
2
x⇔ =
3x⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx

x
− ≤
HD:
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
0 1 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
x x
x x
x x
x x
 
< < >
 
 
⇔ − > ∨ − >
 
 

1
0 1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x x
x
x
>

< <


⇔ ∨ >
 
− ≥


− − ≤

1
0 1
3 8 3 9
6 2 3 9
x x
x
x
x

4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


4 2
1, 1
4 3
log log
x y
x y
x y
≥ ≥


⇔ = −


=

2
1, 1
4 3
x y

 
⇔ ∨
 
= =
 
46. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có
nghiệm
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
HD:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
2
1
2
3

9 6 1
( )
3 2
t t
a f t
t
− +
= =
−
2
2
9(3 4 1)
( )
(3 2)
t t
f t
t
− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1
3
f t t t
′
= ⇔ = ∨ =
x
-∞

0, 1
log 3 log 1 log (4 )
x x
x x x
> ≠


⇔

+ + − =


2 2
0, 1
4
log 1 log
3
x x
x
x
x
> ≠


⇔

− =

+


− + = − =
 
+ +
 
2 2
0 1 1
2 3 4 2 3 4
x x
x x x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
− − + = + − =
 
2 2
0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
+ − = − − =
 
3 2 3 3x x⇔ = − + ∨ =
48. ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1


= −


+
=

+

3 2
2 5 4
(2 2)2
2 2
x
x x
x
y y
y

= −

⇔

+
=

+

3 2
2 5 4

x
y
y y

=

⇔

− + =


2
1 4
x
y
y y

=
⇔

= ∨ =

0 2
1 4
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 

x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
x x y y
x x x y x
y y y x y
> ≠ > ≠


⇔ + − − =


+ − − =

2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0

4( ) 8( ) 0
x x y y
x y x y
x y x y

> ≠ > ≠

⇔ − + + =


+ − + =

2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0
x x y y x x y y
x y y x
x x x x
 
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
 
⇔ = ∨ = − −
 
 
− = + + =
 
2
2
x

4 4 2 3.2
x
x x
+
+

− >

⇔

+ ≤ −


4 16
x
⇔ ≥
2x
⇔ ≥