DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
−
+
−
−
+
+
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x
2
+ y = y
2
+ x
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y

b) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a
1
−
−
+
+
+
−
−+
−+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
P =
2
a
16
a
8
-1

1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
1
Bài 8: Cho biểu thức
P =

























+
−
−
+
++
−
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
P =
2
224
22
22
22
22
b
baa4
:
baa
baa
baa
baa −
−+
−−
−
−−
−+










+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−
−+−

2
−
−
+
+
−
++
−
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
P
x2
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−


b) B =
5210452104 +−+++
c) C =
532154154
−−−++
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P =
123412724 −−++−++ xxxx
Với
2
1
≤ x ≤ 5.
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1
2
3
11
2
3
1
2
3

x =
222.222.84 +−+++
y =
45272183
2012283
+−
+−
Bài 25: Tính P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071 +
+
+
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
20052001
1





+
+
−
−
−
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154

xx
x
+
+
+++
+−
+
−+−
−+
1
1
11
11
11
11
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2
.
Bài 31: Cho biểu thức
P =
1
2
1
3
1
1
+−
+

b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33: Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34: Cho biểu thức
P =
x

:
11211
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
5
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b

xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
P =






+






+




+ y
2007
+ z
2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a
100
+ b
100
=

a
101
+ b
101
= a

222222222
111
cbabcaacb
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng:
a) bx
2
= ay
2
;
b)
10041004

+ (b – c)a
3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
−−
+
−−
+
−−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

accbbabcac
ba
abcb
bc
caba
cb
−
+
−

+
−
=
−
+
− ba
ab
a
b
b
a
Bài 18: Cho
1=++
c
z
b
y
a
x
và
0=++
z
c
y
b
x
a
Tính giá trị biểu thức A =
2
2

a
−
+
−
+
−
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2
– y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a
4

222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax
−+−+−
++
7
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P =
))(())(())((
333
xzyz
z
zyxy
y
zxyx
x
−−
+
−−
+
−−
Bài 27: Cho





=++
=++

−++−
Bài 29: Cho biểu thức P = (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
– 4b
2
c
2
.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:





=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy

– 2y
2
= xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a
3
và b
3
+ c

10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )



−+<+
>
acbcabac
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a
2
+ ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:

- 4abx + (a
2
+ b
2
– c
2
) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có nghiệm nếu
4
2
+≥
a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn:
2
1
x
-
2
2
x

1
,

x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bài 12: Cho phương trình : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x
1


x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2
= 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
< 1 <

x
2
.
Bài 14: Cho phương trình: x
2
– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x

2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x
2
– (m - 1)x + m
2
+ m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x
1
2
+ x
2

1
2
+ x
2
2
đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x
2
+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a
2
+ b
2
là một hợp số.
10
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1: x
3
+ 2x
2
+ 2
2
x + 2
2
.
Bài 2: (x + 1)
4
= 2(x
4

b) x
4
+ 3x
3
- 14x
2
- 6x + 4 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x
4
= 24x + 32
b) x
3
+ 3x
2
- 3x + 1 = 0
Bài 10:
198
35
=−+− xx
Bài 11:
1
253
7
23
2

2
2
22
=
−
−
+






−
+
−






+
−
x
x
x
x
x
x

4
1
56
55
54
53
2
2
2
2
−=
+−
+−
−
+−
+−
xx
xx
xx
xx
Bài 15: a) x
2
+
( )
40
9
81
2
2
=






−
x
x
x
x
b)
0
1
4
2
5
1
2
1
2
2
2
22
=
−
−
−







−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
Bài 17: x
2
+
2
1






−
x
x
= 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18:
23151 −=−−− xxx

2
+ 1 = 0
Bài 23: (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x
2
+ 3x - 4)(x
2
+ x - 6) = 24
Bài 25: a) x
3
- 6x + 4 = 0
b) x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Bài 26: a) x
4
+ 2x
3
+ 5x

Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a
2
+ b
2
) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x
2
+ 2) = 5
1
3
+x
( Đề thi HSG 1998)
Bài 29:
3
53
14
5 =
−+
−
−−
x
x
x
Bài 30: x
4
- 4
3
x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31:
05

x
+ 2)(x + 9
x
+18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
b) 3
8
3
+x
= 2x
2
- 6x + 4
c)
2
32
4
2 =
+−
+−
x
x
Bài 35:
0321
333
=+++++ xxx
Bài 36: Cho phương trình: x
4

103 +x
Bài 41: x
2
+ 3x

+ 1 = (x + 3)
1
2
+x
Bài 42: x
2
+
2006+x
=2006
12
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì
ab
ba
≥
+
2
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?


2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
Bài 7) Cho a
3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
≤
2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn






<
++−
+++−
(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
a)
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2

b)
2420 ≤−+−< xx
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 14) Cho
100

−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có:
2
1
≥
−x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
11
22
−
+
−
=
a
b
b
a
P
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a

CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)
2
+ ( b - 2)
2
= 5. Cm: a + 2b
≤
10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
≤+≤ ba
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
3
211

P
CMR:
9
32
0 << P
với
1±≠∀x
.
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và
kb
ka
b
a
Cmr
b
a
+
+
<< :.1
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+





+≥++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
14
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =
2 2
1 1

+ 3y
2
≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x
2
+ y
2
. Biết x
2
(x
2
+2y
2
– 3) + (y
2
– 2)
2
= 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
2
2
1
1
x x
x x
− +
+ +
Bài 8) Tìm GTLN của A = x +
2 x−
Bài 9) Tìm GTLN của P =

Tìm GTNN của E = x
2
+ 2y
2
.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y
≤
1. Tìm GTNN của biểu thức
P =
2 2
1
x y+
+
2
xy
+ 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =
2
2
1
1
x x
x
+ +
+
với x bất kỳ.
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y
≤
1. Tìm GTNN của biểu thức
A =

 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 4.
Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
1 1
x y
y x
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2
1 1 1
a b c

Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x
x
+ y
y
biết
x
+
y
= 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
2 2000x x
x
− +
16