ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I/ Lý thuyết
1/ Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động. Nếu hành động 1 có m
1
cách thực hiện,
hành động 2 có m
2
cách thực hiện, , hành động thứ n có m
n
cách thực hiện; các cách thực hiện
của hành động thứ k không trùng với bất kỳ cách nào của hành động thứ p. Vậy công việc đó được
hoàn thành bởi m
1
+m
2
+ +m
n
cách thực hiện.
(
1 2
; ; ; ; ; ;
n
n m m m k p∀ ∈¥
)
2/ Quy tắc nhân
Một công việc được hoàn thành bởi một trong n hành động liên tiếp. Nếu hành động 1 có m
1
cách
thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động 1 có m
2

A
n k
=
−
4/ Hoán vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một hoán vị n phần tử của A là một chỉnh hợp chập n các
phần tử của A (Hay một cách sắp xếp thứ tự các n phần tử của A).
• Số các hoán vị n phần tử của A:
!
n
n n
P A n= =
5/ Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử; n > 0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của
A có k phần tử ;
0 ;k n k≤ ≤ ∈¥
.
• Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
!
!.( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
6/ Vài tính chất quan trọng của P
n
; A

•
1
1
. . (1 ; ; ; 1)
k k
n n
k C n C k n k n N n
−
−
= ≤ ≤ ∈ ∈ >
¥

•
2
2
.( 1). .( 1). ; ; ;2
k k
n n
k k C n n C k n k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥

•
3
3
.( 1)( 2). .( 1)( 2). ; ; ;3
k k
n n
k k k C n n n C k n k n

0
. .
n
k n k k
n
k
C a b
−
=
=
∑
(*)
*
( )n∀ ∈¥
• Ta cũng có thể khai triển:
1
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

0 1 1 2 2 2
( ) . . . . . . . .
n n n n k n k k n n
n n n n n
a b C b C b a C b a C b a C a
− − −
+ = + + + + + +
0
. .
n
k k n k
n

n
k
x x C
=
+ =
∑
;
2
2
2
0
(1 ) ( 1) .
n
n k k k
n
k
x x C
=
− = −
∑
•
2
2 1
2 1
0
(1 ) .
n
n k k
n
k

S = C + C C + + ( 1) C ; 0 ; ;n
k k
k n
C k n k
− − − ≤ ≤ ∈ ∈
¥ ¥
• Nếu k<n thì ta có
0 0 1 1 2 2 3 1 *
1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1
S = ( C ) + ( C ) ( C ) + + ( 1) ( C );0 ; ;n
k k k
k n n n n n
C C C C C k n k
−
− − − − − − − −
− + + − + − + ≤ ≤ ∈ ∈
¥ ¥
• Rút gọn suy ra:
1
( 1) .
k k
k n
S C
−
= −
• Nếu k = n thì
0 1 2 3
n n n n
S = C + C C + + ( 1) C 0
n n


n n n
n n n
C C C
− − +
+ + +
• Suy ra 2S =
1 3 4 2 1 2 1 4 1 4 0 4
4 4 4 4 4 4 4 4
2
n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
− + −
+ + + + + + + = − −

4 2
2
n
S
−
⇒ =
3/ Ví dụ 3: (Sử dụng phép tính đạp hàm)
Tính
0 1 2
2 3 ( 1) .( 1) ;
n n
n n n n
S C C C n C n
= − + − + − + ∈

n n
n n n n
C C C n C f
− + − + − + = − =
*** Lưu ý: Để tính các tổng

0 1 2 2
1
2 3 ( 1) ;
n n
n n n n
S C aC a C n a C
= + + + + +

0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2 2
3 5 (2 1) ;
n n
n n n n
S C a C a C n a C
= + + + + +

1 3 3 5 5 2 1 2 1
3 2 2 2 2
2 4 6 2 ;
n n
n n n n
S aC a C a C na C
− −
= + + + +

n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
• Xét đa thức f(x) =
0 1 2 2 *
(1 ) . . . ;
n n n
n n n n
x C x C x C x C x n+ = + + + + ∀ ∈ ∈¡ ¥
2
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
• Suy ra
1
0
( )f x dx =
∫
1 1
0 1 2
1 1
1
1 1 1 (1 ) 2 1
. . .
0
2 3 1 1 1
n n
n
n n n n

∫
Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0 hoặc 1; -1.
Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức g(x) = x
k
.(1+x)
n
với k = 1; 2; 3;
DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH HỆ THỨC TỔ HỢP
5/ Ví dụ 5: CMR
0 2 1 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
k n n
n n n n n
C C C C C+ + + + + =
• Ta có (x+1)
n
.(1+x)
n
= (x+1)
2n
(1)
• VT(1) =
0 1 1 2 2 0 1 2 2
( . . . ).( . . . )
n n n n n n
n n n n n n n n
x C x C x C C C x C x C x C
− −
+ + + + + + + +

x x
x x x
A C C x P
− −
+ −
+ − = + +
• ĐK:
3;x x≥ ∈¥
• Với đk trên pt đã cho
2
! 2( 1)! 3( 1)!
3 6! 159
( 3)! 2!( 1)! 2!( 3)!
x x x
x
x x x
+ −
⇔ + − = + +
− − −

2
2
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1)( 20 3 879
2
( 12)(2 11 147) 0
12 (tm)
x x x x x x x x
x x x
x

4
4
n n n n n
n n
C C C C C
C C
+ + + +
+ +
⇔ + + + =
⇔ =

25! 4.23!
( 2)!(23 )! ( 1)!(22 )!n n n n
⇔ =
+ − + −

( 2)(23 ) 150n n⇔ + − =

8
23
n
n
=

⇔

=

• Vậy ba số hạng cần tìm là:
8 9 10

2( ) ( ) 2 2 2
n n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C C
+ + + + +
+ + + + + = ⇔ + + =

9 8
3 2
3
2 2 15
9
n n
n
C C n
+ +
+
⇔ ⇔ = ⇔ = ⇔ =
• Khi đó P(x) =
30 5
15 15
15 15
3 3
6
15. 15.
0 0
2 2
( ) .( ) .( ) .2 .
k
k k k k k
k k

n
g k
k
k
a x
=
∑
; số hạng chứa x
p
ứng với g(k) = p; giải pt ta tìm được k. Nếu k là số
tự nhiên và nhỏ hơn hoặc bằng n thì hệ số phải tìm là a
k
. Nếu k
N∉
hoặc k > n, thì trong khai triển
không có số hạng chứa x
p
, hệ số phải tìm bằng 0.
9/ Ví dụ 9: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức
P(x) = (2x+1)
13
= a
0
.x
13
+ a
1
.x
12
+ +a

• Xét bất pt: a
n-1

≤
a
n

2.13! 13! 2 1 14
4
( 1)!.(14 )! !.(13 )! 14 3
n n
n n n n n n
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≤
− − − −
Vậy ta có a
n-1
≤
a
n
đúng khi n
{ }
1;2;3;4∈
;và dấu bằng không xảy ra;
suy ra
{ }
1
14
5; ;13
3
n n

thành đa thức, ta làm như sau:
Tính hệ số của số hạng tổng quát a
n
; giải bất pt: a
n-1
≤
a
n
với ẩn n; hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số
tự nhiên n lớn nhất thỏa mãn bất pt trên.
III/ Tài liệu tham khảo số 2
Một cách khác giải quyết các bài toán liên quan đến nhị thức Niu – tơn
( Trích KNSK 2010 – GV: Lưu Hải Vĩnh – Trường THPT Ninh Giang)
DẠNG 1: ÁP DỤNG CÔNG THỨC (I)
Bài toán mở đầu:
Tính tổng:
1 2 3 n *
n n n n
S = C + 2C +3C + + nC ; n
∈
¥
(1)
Giải
• Cách giải thứ nhất:
 Chúng ta đã biết bài toán này được giải quyết theo phương
pháp đạo hàm.
4
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát biểu thức
cần tính để đưa ra nhị thức Niu - tơn thích hợp.

n n n
S C C n C n n
−
= + + + = ∀ ∈¥
• Cách giải thứ hai:
 Áp dụng công thức:
*
; 0 ; ;
k n k
n n
C C k n k n
−
= ∀ ≤ ≤ ∈ ∈¥ ¥

ta được
0 1 2 n 1 *
n n n
S = . ( 1).C + ( 2).C + +1.C ; n
n
n C n n
−
+ − − ∈
¥
(2)
 Khi đó; từ (1) và (2) suy ra:

0 1 2 n *
n n n
0 1 2 n
n n n


1 * *
1
. ( ; ; )
k k
n n
k C nC k k n n
−
−
= ∀ ∈ ≤ ∈¥ ¥
 Khi đó:

0 1 1 *
1 1 1
0 1 1
1 1 1
. . . ;
( )
n
n n n
n
n n n
S n C n C n C n
S n C C C
−
− − −
−
− − −
= + + + ∀ ∈
⇒ = + + +

−
= − + − + − ∈ >¥

b/
0 1 2
2
2 3 ( 1) ; ; 1
n
n n n n
S C C C n C n n
= + + + + + ∈ >
¥

5
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
c/
2 3 4 *
3
2 3 ( 1) ; ; 2
n
n n n n
S C C C n C n n
= + + + + − ∈ ≥
¥

d/
1 0 2 1 3 2 2 1 1
4
.2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 . ; ; 1
n n n n n

 Theo công thức (I) ta có:

1
1
. ( ;1 )
k k
n n
k C nC k k n
−
−
= ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

1 1 1
1 1
1 1
( 1) . . ( 1) . .
n n
k k k k
n n
k k
S k C n C
− − −
−
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

0 1 2 1 1
1 1 1 1 1

n n n
k k k
n n n n
k k k
S k C C k C C
= = =
⇒ = + = + +
∑ ∑ ∑

1
2 1
0
.
n n
k k
n n
k k
S n C C
−
−
=
⇒ = +
∑ ∑

1
2
1
2
.2 2
( 2).2 ; ; 1

1 0 1
3
1 0
.
n n
k k
n n n n n
k k
S k C C C C C
= =
⇒ = − − + +
∑ ∑

1 1 0 1
3 1
1 0
.
n n
k k
n n n n n
k k
S nC C C C C
−
−
= =
⇒ = − − + +
∑ ∑

1
3

k k
S n k C n k C
− −
− − − − −
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

1
1 1
4 1
0
2 .3 . .
n
n k k n k
n
k
S n C
−
− − − −
−
=
⇒ =
∑
6
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 0 1 2 2 2 0 1 0
4 1 1 1
1

2009 2009
3 3
5 2009 2009
0 0
2009 2009
0 3 0 4 1 1 3
5 2009 2008 2009
1 0
5
( 4).5 . .5 . 4.5 .
5 . . 4.5 .
5 .0. 5 .5 .2009. 4.5 .5 .
2009.5
k k k k k k
k k k
k k k k
k k
k k k k
k k
S k C k C C
S k C C
S C C C
S
+ + +
= = =
+ +
= =
+ − −
= =
⇒ = + = +

0
( . ). . . ( ; ; ; ; ; )
n
n k k m k
n
k
S k a b C k k n n m
α β α β
− − +
=
= + ∈ ∈ ≤ ∈ ∈
∑
¡ ¥ ¥ ¥
Dựa vào đó người giáo viên có thể ra nhiều bài tập tương tự, để làm phong phú hơn bài giảng của
mình, nhằm giúp học sinh hiểu bài hơn và áp dụng tốt vào các dạng bài tập tương tự.
• Giáo viên có thể thay thế yêu cầu bài toán bởi các yêu khác, ví dụ như:
chứng minh rằng, tìm các giá trị của n thoả mãn đẳng thức
• Nếu trong tổng cần tính xuất hiện biểu thức của k dưới dạng bậc hai hoặc bậc ba của k thì ta
giải quyết như thế nào?
*** Từ công thức (I); ta suy ra các công thức sau:
1/
2
2
.( 1). .( 1). ; ; ;2
k k
n n
k k C n n C k n k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥

.( 1). ; ;2
k
n
n n C k n k n
−
−
= − ∀ ∈ ≤ ≤¥
2/ Tương tự (dành cho bạn đọc)
Bài 2: Tính các tổng sau
a/
2 3
6
1.2. 2.3. ( 1). . ; 2
n
n n n
S C C n n C n n= + + + − ∈ >¥
b/
2 3 1 1 2 2
7
.( 1).3 . ( 1).( 2).3 .4 2.1.4 . ; 2
n n n n n
n n n
S n n C n n C C n n
− − − −
= − + − − + + ∈ >¥
c/
2 1 2 2 2 3 2
8
1 . 2 . 3 . . ; 2
n

.( 1). .( 1). ( ;2 )
k k
n n
k k C n n C k k n
−
−
− = − ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:

2
6 2
2 2
( 1). ( 1). .
n n
k k
n n
k k
S k kC n n C
−
−
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

0 1 2 2
6 2 2 2 2
2 2
6
.( 1)( )
.( 1)(1 1) .( 1).2 ; ; 2

− − − −
= =
⇒ = − = −
∑ ∑

2 2
7 2
2
4 .3 . ( 1).
n
n k k k
n
k
S n n C
− − −
−
=
⇒ = −
∑

2 0 0 3 1 1 0 2 2
7 2 2 2
.( 1).(4 .3 . 4 .3. 4 .3 . )
n n n n
n n n
S n n C C C
− − − −
− − −
⇒ = − + + +


 
 
¥

2 2 1
2 1
. .( 1). . ;2 ; 2
k k k
n n n
k C n n C n C k k n n
− −
− −
⇒ = − + ∀ ∈ ≤ ≤ >¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 2 đến n ta được:

2 1 0 1 2 1 2 1
8 2 2 2 1 1 1
1 . .( 1).( ) ( ) ; 2
n n
n n n n n n n
S C n n C C C n C C C n n
− −
− − − − − −
⇒ = + − + + + + + + + ∈ >¥

0 1 2 0 1 2 1
8 2 2 2 1 1 1 1
.( 1).( ) ( ) ; 2
n n
n n n n n n n

k k
k k C k k
+
+ + ∀ ∈ ≤¥

 Theo công thức (I
A
) ta có:

2 1 2
2012 2011
(2 1).(2 2).2 . 2.(2 1).2 .2012.
k k k k
k k C k C
+
+ + = +2
2011 2011
2.2 .2012.(2. . ) ; 2011
k k k
k C C k k= + ∀ ∈ ≤¥

2 1
2010 2011
2 2 1 2
2010 2011
2.2 .2012.(2.2011. )
2 .2011.2012.2 . 2.2012.2 .

S C C C C
C C C C
 
⇒ = + + + + +
 
 
+ + + + −
 
8
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

1 4 2 2010 2 2011
9 2012
1.2. 2 .2011.2012.(2 1) 2.2012.(2 1) 2.2012S C⇒ = + + + + −

4 2010 2011 2011
9 9
2 .2011.2012.5 2.2012.5 4024.16093.5S S⇒ = + ⇒ =
Bài 3: Tính các tổng sau
a/
3 4
10
1.2.3. 2.3.4. ( 2)( 1) . ; 3
n
n n n
S C C n n n C n n= + + + − − ∀ ∈ >¥
b/
3 1 3 2 3
11
1 . 2 . . ; 3

) ta có:

3
3
.( 1).( 2) .( 1).( 2) ( ;3 )
k k
n n
k k k C n n n C k k n
−
−
− − = − − ∀ ∈ ≤ ≤¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:

3
10 3
3 3
( 2)( 1). ( 2)( 1). .
n n
k k
n n
k k
S k k kC n n n C
−
−
= =
⇒ = − − = − −
∑ ∑

0 1 2 3
10 3 3 3 3

A
) và (I
B
) ta có:

3
3 2 1
3 2 1
. .( 1)( 2) 3 .( 1) .
.( 1).( 2) 3 .( 1)
( 1)( 2). 3 ( 1). .
( ;3 ; 3)
k k
n n
k k k
n n n
k k k
n n n
k C k k k k k k C
k k k C k k C kC
n n n C n n C n C
k k n n
− − −
− − −
= − − + − +
 
 
= − − + − +
= − − + − +
∀ ∈ ≤ ≤ >¥

− − −
− − −
   
⇒ = + − + − − + − − + − −
   

3 2 1
11
.( 1)( 2).2 3 .( 1).2 .2
n n n
S n n n n n n
− − −
⇒ = − − + − +

3 3
11
( 3 ).2 3;
n
S n n n n
−
⇒ = + ∀ > ∈¥
c/
0 1
12
1.2.3. 2.3.4. ( 1) .( 1)( 2)( 3).
n n
n n n
S C C n n n C= − + + − + + +

( ; 3)n n∀ ∈ >¥

n n n n
n n n C n n C n C C
k k n n
− − −
− − −
= − − − + − − + − + −
∀ ∈ ≤ ≤ >¥

3 3 2 2 1 1
3 2 1
( 1)( 2).( 1) . 9 ( 1).( 1) . 18 .( 1) . 6.( 1) .
( ;3 ; 3)
k k k k k k k k
n n n n
n n n C n n C n C C
k k n n
− − − − − −
− − −
= − − − − + − − − − + −
∀ ∈ ≤ ≤ >¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 3 đến n ta được:
0 1 2 0 1 3 3
12 3 3 3
1 2 2 2 2 3 1 1
2 2 2 1 1 1
3 4
1.2.3. 2.3.4. 3.4.5. ( 1)( 2).( ( 1) . )
9 ( 1).( ( 1) . ) 18 ( ( 1) . )
6. ( 1) .

n n
n
n n
n n n n n
S n n n n n n n n C
n C C C C C
− −
−
−
− −
 
⇒ = − + − − − − − + − − − −
 
   
− − − + + − − + −
   

12
6 24 30 ( 1) 9 ( 1) 18 18 .( 1) 6 6 3 ( 1)S n n n n n n n n n n n⇒ = − + − − − + − − − + − −

12
0 3;S n n⇒ = ∀ > ∈¥
*** Nhận xét:
• Như vậy ta có thể sử dụng các công thức (I
A
) và (I
B
) cho các tổng; trong đó có số hạng tổng
quát dạng :
[ ]

( ) . . .(1 ) ;
n
k k n k
n
k
k x x
x C x x x n
n n
−
=
−
− − = ∀ ∈ ∈
∑
¡ ¥
b/
[ ]
*
0
1
. . .(1 ) 0;1 ;
2
n
k k n k
n
k
k
x C x x x n
n
n
−

( ) . . .(1 ) ( 2 ). . .(1 )
k k n k k k n k
n n
k k k
x C x x x x C x x
n n n
− −
− − = − + −2
( ) . . .(1 )
k k n k
n
k
x C x x
n
−
⇒ − −
2 2
1 1
( 1) . .(1 ) . .(1 )
k k n k k k n k
n n
k k C x x kC x x
n n
− −
   
= − − + − −
   

=
− = + − = =
∑
(*)

1
1
0 1 1
1 1
1
1
1
/ . . .(1 ) 0 . . .(1 ) . . .(1 )
. . .(1 )
. .( 1 ) .
n n n
k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
n
k k n k
n
k
n
k C x x k C x x n C x x
x C x x
n x x x n x
− − − −
−
= = =

−
= = =
− − − −
−
=
+ − − = + − − = − −
= − − = − + − = −
∑ ∑ ∑
∑
 Thay thế (*); (**); (***) vào biểu thức (1) ta đuợc;

2 2 2
2 2
0
1 1 (1 )
( ) . . .(1 ) . ( 1). . . 2. . .
n
k k n k
n
k
k x x x
x C x x n n x n x n x x
n n n n n
−
=
−
− − = − + − + =
∑
.đpcm
(

a x a x a x a x a x a x x x
+ + + ≤ + + + + +
 Khi đó; với mọi x
∈
[0; 1] thì:

2
2
0 0 0
. . .(1 ) ( ) . . .(1 ) . . .(1 )
n n n
k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
k k
x C x x x C x x C x x
n n
− − −
= = =
 
   
− − ≤ − − −
 
   
   
 
∑ ∑ ∑

2
0

n
k
x x
k x x
x C x x
n n n n
−
=
+ −
 
−
⇒ − − ≤ ≤ =
 
 
∑[ ]
*
0
1
. . .(1 ) 0;1 ;
2
n
k k n k
n
k
k
x C x x x n
n

=


⇔

=


Bài 5**: ( Báo Toán học và tuổi trẻ số 393/ 2010)
Cho p là một số nguyên tố, và các số tự nhiên m; n; q thoả mãn:
2 ; ( ; ) 1n m p q≤ ≤ =
. Chứng minh
rằng:
m
n
qp
C
chia hết cho
1m n
p
− +
.
Giải
11
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Ta viết số tự nhiên n dưới dạng:
.n k p
α
=
với

nên:

. . 1 . 1
. . . 1 . 1
.
. . .
.
m m m m
m
n k p k p m k p
q p q p q p q p
q p q
C C C p C
k p k
α α α
α
α
− − −
− −
= = =
 Do (k;p)=1 và
. 1
. 1
m
k p
q p
C
α
−
−

F( , )
1
n
n r
r
+
=
+

Giải
 Gọi G(n,r) là số trung bình cộng của các phần tử lớn nhất của
các tập con đã nói ở đề bài.
 Khi đó ta có:

1 1 1
1 2 1
1
F( , ) (1. 2. ( 1). ) (1)
r r r
n n r
r
n
n r C C n r C
C
− − −
− − −
= + + + − +

1 1 1
1 2 1

m m m
C C C
+ +
+
= +
nên:

1 1 1
1 2 1
(4)
r r r r
n n n r
C C C C
− − −
− − −
= + + +
 Từ (3) và (4) ta có:

1 1 1
1 2 1
1 1 1
1 2 1
( 1).( )
F( , ) G( , ) 1

r r r
n n r
r r r
n n r
n C C C

r
r C n k C C C
n k
− −
− + − − − +
= − + ⇒ =
− +

Khi đó:

1 1 1
1 2 1 1
G( , ) 1 1 1
( . . . ) ( )
r r r r r r
n n r n n r
r r
n n
n r n n r
C C C C C C
r C r r r C
− − −
− − − −
−
= + + + = + + +
Áp dụng (4) liên tiếp cho từng số hạng:
1
; ; ;
r r r
n n r

⇒

1
F( , )
1
n
n r
r
+
=
+
*** Chú ý: Từ bài tập trên ta có thể rút ra số trung bình cộng G(n,r) và thiết lập một bài toán mới.
**** BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
I/ Đối với học sinh trung bình khá ta có thể ra các bài tập sau nhằm củng cố kiến thức và tạo
sự hứng thú cho học sinh trong quá trình học tập.
Bài 1: Chứng minh rằng

1 2 1
1. 2. ( 1) . . 0 ; 1
n n
n n n
C C n C n N n
−
− + + − = ∀ ∈ >
Bài 2: (Đề thi ĐH khối A năm 2005)
Tìm giá trị n thoả mãn hệ thức sau:

1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2. 3.2 . 4.2 . (2 1).2 . 2005

−
= + + + + ∀ ∈ >¥
b/
2 4 2
2 2 1 2 1 2 1
2. 4. 2 .
n
n n n
S C C n C
+ + +
= + + +
c/
2 4 2
3 2 2 2
2. 4. 2 .
n
n n n
S C C n C= + + +
Bài 6: Chứng minh rằng

1 3 2 1 2 4 2
2 2 2 2 2 2
3. (2 1). 2. 4. 2 .
n n
n n n n n n
C C n C C C n C
−
+ + + − = + + +
Bài 7: Cho a > 0;
*

n n
n n n n
S a C a C a C n a C
− −
= + + + +
II/ Một số bài tập nâng cao.
Bài 1: Cho r là một số tự nhiên thoả mãn điều kiện:
*
1 ;r n n≤ ≤ ∈¥
. Xét tất cả các tập con gồm r
phần tử của tập hợp {1, 2, , n}. Mỗi tập con này đều có phần tử lớn nhất. Gọi G(n,r) là trung bình
cộng của tất cả các phần tử lớn nhất đó. Chứng minh rằng:
( 1)
G( , )
1
r n
n r
r
+
=
+

Bài 2: ( Đề thi IMO năm 1987)
Cho S ={1;2; ;n};
1n ≥
. ta gọi p(k) là số các hoán vị của S có đúng k điểm cố định. Chứng minh
rằng:
0
. ( ) !
n

n
n n n n
S C C C C n n
n
+
= + + + + ∈ >
+
¥
13
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
c/
1 3 5 2 1
3 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . ( ; 1)
2 4 6 2
n
n n n n
S C C C C n n
n
−
= + + + + ∈ >¥
(Đề thi khối A năm 2007)
d/
2 3 4 1
0 1 2 3 *
4
3 1 3 1 3 1 3 1
2. . . . . ( )
2 3 4 1

. . . ( ; ; )
1 2 3 1
n n
n
n n n n
b a b a b a b a
S C C C C n a b
n
+ +
− − − −
= + + + + ∈ ∈
+
¥ ¡
Giải
a/
0 1 2 *
1
1 1 1
. . . ;
2 3 1
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
 Bước thứ nhất, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
1

1 2 1 1 0
1 1 1 1 1
1 1
.( ) (1 1)
1 1
n n
n n n n
S C C C C
n n
+ +
+ + + +
 
= + + + = + −
 
+ +

1
*
1
2 1
( )
1
n
S n
n
+
−
⇒ = ∈
+
¥

+
∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1
1
1
2 2
. . ( ;1 ; ; 1)
1 1
k k
k k
n n
C C k k n n n
k n
+ +
+
+
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+ +
¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

2 2 3 3 1 1 1 0 0 1 1
2 1 1 1 1 1
1 1
.(2 2 2 ) (1 2) 2 2
1 1

. . . . ( ; 1)
2 4 6 2
n
n n n n
S C C C C n n
n
−
= + + + + ∈ >¥
(Đề thi khối A năm 2007)
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
3
, cụ thể là:
14
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

2 1
2
1
. ( ;1 ; ; 1)
2
k
n
C k k n n n
k
−
∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

2 1 2

2 2
n n n
n n n n
C C C C
+ −
+ + + +
+ + + + = =

(Bạn đọc tự chứng minh)

2 0
2
2 1
3
2
2 1
( ; 1)
2 1 2 1
n
n
n
C
S n n
n n
+
−
−
⇒ = = ∈ >
+ +
¥

C k k n n
k
+
−
∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
 Theo công thức (II) ta có:

1 1
1 *
1
3 1 3 1
. . ( ; ; )
1 1
k k
k k
n n
C C k k n n
k n
+ +
+
+
− −
= ∀ ∈ ≤ ∈
+ +
¥ ¥
 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 2 2 1 1 1 2 1
1 1
*
4
4 2
( )
1
n n
S n
n
+ +
−
⇒ = ∈
+
¥

e/
2 3 4 1
0 0 1 2 3 *
5
2 2 2 2
2 . . . ( 1) . ( )
2 3 4 1
n
n n
n n n n n
S C C C C C n
n
+

1 1
k k k k
k k
n n
C C k k n n
k n
+ +
+
+
− −
= ∀ ∈ ≤ ∈
+ +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 1 2 2 1 1 1
5 1 1 1
1
. (2 2 ( 1) .2 )
1
n n n
n n n
S C C C
n
+ + +
+ + +
 
= − + + −
 


f/
2 2 3 3 1 1
0 1 2 *
6
. . . ( ; ; )
1 2 3 1
n n
n
n n n n
b a b a b a b a
S C C C C n a b
n
+ +
− − − −
= + + + + ∈ ∈
+
¥ ¡
15
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng S
6
, cụ thể là:

1 1
*
. ( ; ; )
1
k k


 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1
6 1 1 1 1 1 1
1
. ( ) ( )
1
n n n n
n n n n n n
S b C b C b C a C a C a C
n
+ + + +
+ + + + + +
 
= + + + − + + +
 
+

1 0 1 0
6 1 1
1
. (1 ) (1 )
1
n n
n n
S b C a C
n
+ +
+ +

n n n n
n
C C C C n
n n n
+
+
+ + + + = ∈
+ + +
¥

b/
2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 3
. . . . ( )
1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n n
+
− −
+ + + + = ∈
+ + + +
¥

c/
4 2

+ +
¥

Giải
a/
2 1
0 2 4 2 *
2 2 2 2
1 1 1 1 .2 1
. . . ;
2 4 6 2 2 (2 1)(2 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n
+
+
+ + + + = ∈
+ + +
¥

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2 *
2
1
. ( ; ; )

. . . .
2 1 2 2 2 1 2 2
k k
n n
k k
C C
n k n n
+ +
+ +
+ +
= =
+ + + +

2 2 2 2
2 2 2 2
1
. (2 2).
(2 1)(2 2)
k k
n n
k C C
n n
+ +
+ +
 
= + −
 
+ +

2 1 2 2


1 2 2 1 2 3 2 2
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1
VT . ( ) ( )
2 1 (2 1)(2 2)
n n
n n n n n n
C C C C C C
n n n
+ +
+ + + + + +
   
= + + + − + + +
   
+ + +
16
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP

2 1 0 2 2 0 1
2 1 2 2 2 2
1 1
VT . (1 1) (1 1)
2 1 (2 1)(2 2)
n n
n n n
C C C
n n n
+ +
+ + +

− +
⇒ = − = ∈
+ + + + +
¥
b/
2
0 1 2 *
1 1 1 1 2 3
. . . . ( )
1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
n
n
n n n n
n
C C C C n
n n n n
+
− −
+ + + + = ∈
+ + + +
¥

 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

*
1
. ( ; ; )
( 1)( 2)
k

n k n n
+ +
+ +
= = ∀ ∈ ≤ ∈
+ + + +
¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

2 3 2
2 2 2
1
VT . ( )
( 1)( 2)
n
n n n
C C C
n n
+
+ + +
 
= + + +
 
+ +2
2 0 1
2 2
1 2 3

− − −
+ + + + = ∈
+ + + + + +
¥
 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

*
1
. ( ; ; )
( 1)( 2)( 3)
k
n
C k k n n
k k k
∀ ∈ ≤ ∈
+ + +
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:
1
1
1 1 1 1 1
. . .
( 1)( 2)( 3) ( 2)( 3) 1 ( 2)( 3) 1
k k k
n n n
C C C
k k k k k k k k n
+
+

¥ ¥

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 0 đến n ta được:

3 4 3
3 3 3
1
VT . ( )
( 1)( 2)( 3)
n
n n n
C C C
n n n
+
+ + +
 
= + + +
 
+ + +

4 2
3 0 1 2
3 3 3
1 2 7 14
VT . (2 )
( 1)( 2)( 3) 2( 1)( 2)( 3)
n
n
n n n
n n


 Tương tự, ta hướng dẫn học sinh xác định số hạng tổng
quát trong tổng ở vế trái, cụ thể là:

2
. ( ;1 ; ; 1)
1
k
n
k
C k k n n n
k
∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+
¥ ¥
 Dựa theo công thức (II) ta biến đổi như sau:

2
( 1)( 1) 1
. . ( ;1 ; ; 1)
1 1
k k
n n
k k k
C C k k n n n
k k
+ − +
= ∀ ∈ ≤ ≤ ∈ >
+ +
¥ ¥

+ +
 
= − + + = − +
 
+ +1 1
1 1
1
.
1
k k k
n n n
nC C C
n
− +
− +
= − +
+

 Cho k nhận các giá trị tự nhiên từ 1 đến n ta được:

0 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1
1
VT ( ) ( ) ( )
1
n n n
n n n n n n n n

2 3 1 1
n
n
n n n
n
C C C n N
n n
+
−
− + + = ∀ ∈
+ +
b/
1
0 1 2 *
1 1 1 1 2 1
. . .
3 6 9 3( 1) 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C n
n n
+
−
+ + − + = ∀ ∈
+ +
¥
c/
0 1 2 *
1 1 1 ( 1) 1

. . .
2 4 6 4020
S C C C C= + + + +
c/
0 2 4 2 *
3 2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . ( )
2 4 6 2 2
n
n n n n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥
Bài 3*: Tính tổng
3 3 3 3
1 2 3 *
1 2 3
. . . . ( )
2 3 4 1
n
n n n n
n
S C C C C n
n
= + + + + ∈
+
¥

n C C C
+
+ +
+
+ = ∀ ∈ ≤ ∈
+
¥ ¥
18
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Bài 6: Tính
0 1 2 2
1 1 1
. .2 . .2 . .2
2 3 1
n n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+
Biết rằng:
0 5 1 4 2 3 5 0 5
1 2 5
. . . . 252.2 ; 5
n n n n n n n n
C C C C C C C C n n
− − −
+ + + + = ∈ >¥
Bài 7*: Chứng minh rằng
1 2 2 2 2 *

a C C
b C C C
c C nP A
d C C C x x
e
C C C
+ +
+
=
+ =
+ =
+ + = −
− =

2 2
n
4 3 2
1 1 2
2 2
4 5 6
1
3 2 2
2 2 3 1 2
1 2
m/ 2P 6 . 12
5
/ 0
4
/ . 72 6( 2 )
/ 3

3
/
10
143
/
( 2)! 4
n
n
n
n
C
a n
C
A
b
n P
+
+
≥
<
+

1 2
2 2
4
3 4
1
5
/
2

n k
+
+
+
≤
−

4 3 2
1 1 2
5
/ 0
2
x x x
g C C A
− − −
− − ≤

3 1
1 1
/ 14( 1)
n
n n
d A C n
−
+ +
+ < +

2 2 3
2
1 6

+ −
+ + +
+ −
+

+ =

− =

=
=
Bài 4: Chứng minh rằng

1 2
2 2
/ 2 2 3
5
/ 8
( 2)!
n n
n n n
n
n
n n
a A A P
P
b C A
n
− −
−

1
(2 )x
x
+
d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
6
.y
2
trong
10
(3 4 )
x
xy
y
−
e/ Tìm số hạng không chứa x trong
7
3
4
5
(2 )x
x
−
f/ Tìm số hạng chứa x
5
trong
3 12
3
2
3

n
x x
x
+
, biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu bằng 79. Tìm số hạng không chứa x.
d/ Biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x
2
)
n
bằng 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa x
12
.
e/ Cho
5
3
4
( )
n
x
x
+
, biết
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +

2
)
10
.
d/ Tìm hệ số của số hạng chứa x trong
4
3
(1 2 3 )x x+ −
e/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
trong (x+1)
10
.(x+2)
f/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
9
trong P(x) = (1+x)
9
+(1+x)
10
+ +(1+x)
14
g/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
15
trong P(x) = (1+x)+2(1+x)
2
+ +20(1+x)
20
h/ Tìm hệ số của số hạng chứa x
5
.y

5
n n
C C=
. Tìm n và x?
c/ Cho
2
lg
3
2lg
1
( 3 )
3
x n
x
+
có tổng các hệ số bằng 512 và số hạng thứ 7 bằng 28.3
n
. Tìm n và x?
d/ Cho
21
3
3
( )
a b
b a
+
có số hạng chứa a;b có số mũ của a và b bằng nhau. Tìm số hạng đó.
Bài 5: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong khai triển
a/ (1+2x)
30

1 1 1 1 1
/ 1
/ 2
/ 3 3
m m
n m n m
m k k m k
n m n n k
n n
n
n n n
n
n
n n n
n n
n
k k k k
n n n n
k k k
n n n
m
a C C
n
b C C C C
c C C n
C C C n n
d C n
C C C
e P P nP P
f

1 2 3 1
/ 2 5 4
/ 4 6 4
/
k k
n n
k k k k k k
n n n n n n
k k k k k k
n n n n n n
m m m m m m
n n n n m m
C C
i C C C C C C
m C C C C C C
n C C C C C C
−
+
+ + + + +
+ +
− − − −
+
− − − − −
− − − −
+ =
+ + + = +
+ + + + =
= + + + + +

2 1 2

− −
+
+ + + +
+ = ≥
= + ≥ +
= + + ≥ +
=
<
Bài 3 :
Bài 4: CMR
0 1
/ 2
n n
n n n
a C C C+ + + =

0 1 1 0 0 1 1
/ 3 3 .2 3 .2 4 4
n n n n n n n
n n n n n n
e C C C C C C
− −
+ + + = + + +
0 0 1 1
/ 9 9 9 10
n n n
n n n
b C C C+ + + =

0 2 2 1 3 2 1

n n n
a C C nC n
−
+ + + =

0 1 2 1
/ ( 1) ( 2) ( 1) 0
n n
n n n n
b nC n C n C C
−
− − + − − + − =
2 4 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
/ 2 4 2 3 (2 1)
n n
n n n n n n
c C C nC C C n C
−
+ + + = + + + −
1 0 2 1 3 2 2 1 1 1
/ .2 . ( 1).2 .3. ( 2).2 .3 . 3 .5
n n n n n n
n n n n
d n C n C n C C n
− − − − − −
+ − + − + + =
2 3 2
/ 2.1. 3.2. .( 1). .( 1).2
n n

−
+ + + =
+ +

1
0 1
1 1 1 2 1
/ .
2 4 2 2 2( 1)
n
n
n n n
f C C C
n n
+
−
+ + + =
+ +
0 1 2
1 1 ( 1) 1
/ .
2 3 1 1
n
n
n n n n
b C C C C
n n
−
− + − + =
+ +

n n n
h C C C
n n
+
−
+ + + =
+ +
1 2 1 1 1
0 1
2 1 2 1 2 1 3 2
/ . .
1 2 1 1
n n n
n
n n n
d C C C
n n
+ + +
− − − −
+ + + =
+ +

0 1
1 1 ( 1) 1
/ .
2 4 2 2 2( 1)
n
n
n n n
i C C C

− + − + =
+ +
21
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Bài 7: CMR
0 1 1 5 5
5 5 5 5
/ . . .
k k k k
n n n n
a C C C C C C C
− −
+
+ + + =

0 2 1 2 2 2
2 2 2 2
/ ( ) ( ) ( ) ( 1) .
n n n
n n n n
d C C C C− + + = −
0 1 1 6 6
6 6 6 6
/ . . .
k k k k
n n n n
b C C C C C C C
− −
+
+ + + =

Bài 1: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau.
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6.
f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau; trong đó luôn có mặt chữ số 1;6 đứng liền nhau.
g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số; chữ số 1 xuất hiện 3 lần; các chữ số còn lại xuất hiện
không quá 1 lần.
h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
i/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
Bài 2: Cho A = {1;3;4;5;7}
Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và tính tổng của các số tự nhiên đó.
Bài 3: Cho A = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền
trước.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau sao cho có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3
chữ số lẻ đứng liền nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.
B/ LIÊN QUAN ĐẾN TẬP HỢP SỐ CÓ CHỮ SỐ 0
Bài 1: Cho A = {0;1;2; ;9}
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số .
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có 3 chữ số chẵn đứng liền nhau và 3
chữ số lẻ đứng liền nhau.
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5.
f/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0.
g/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau; trong đó có chữ số 5 và 0 đứng liền nhau.
h/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho tổng các chữ số lẻ.

Bài 3: Có 6 nam và 9 nữ trong đó có bạn Hoa. Chọn ra 7 bạn đi lao động.
a/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó không có mặt bạn Hoa.
b/ Có bao nhiêu cách chọn nếu trong đó luôn có mặt bạn Hoa.
Bài 4: Có 8 thầy dạy toán; 5 thầy dạy lý; 3 thầy dạy hóa. Cần chon ra 4 thầy đi dự hội nghị.
Hỏi có bao nhiêu cách nếu:
a/ Có đủ 3 môn
b/ Có đúng 2 môn.
Bài 5: Có 3 nhà toán học nam; 2 nhà toán học nữ; 3 nhà vật lý nam.
Chọn một đoàn công tác gồm 3 người sao cho có cả nam và nữ, có cả toán và lý. Hỏi có bao nhiêu
cách?
Bài 6: Có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp.
Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đi dự đại hội sao cho có ít nhất một cán bộ lớp.
Bài 7: Có ba nước tham gia hội nghị bàn tròn; mỗi nước cử 3 đại biểu.
Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các đại biểu cùng một quốc gia thì ngồi gần nhau.
Bài 8: Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp theo hàng dọc đi vào lớp.
a/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho có đúng hai học sinh nam xếp xen kẽ 3 học sinh nữ.
b/ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho 6 học sinh nam đứng liền nhau.
Bài 9: Một lớp có 40 học sinh; chia thành 4 nhóm; mỗi nhóm có 10 học sinh.
a/ Có bao nhiêu cách?
b/ Có bao nhiêu cách nếu 4 nhóm tham gia lao động tình nguyện ở 4 tỉnh miền núi.
D/ LIÊN QUAN ĐẾN VIỆC SẮP XẾP ĐỒ VẬT.
23
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
II/ Bài tập tổng hợp
Bài 1: A-2002
Cho
1 1 1
0 0 1 *
3 3 32 2 2
(2 2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) .(2 ) ( )

( )
n
x
x
+
biết
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
Bài 4: B-2003
Tính S =
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
+
− − −
+ + + +

7
3
4
1
( ) ; 0x x
x
+ >

Bài 8: A-2005
Tìm n biết:
1 2 2 3 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 (2 1)2 2005
n n
n n n n
C C C n C
+
+ + + +
− + − + + =
Bài 9: D-2005
Tính
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+

+ + + +
+ + + + = −
Bài 11: A-2007
CMR:
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+
Bài 12: B-2007
Tìm hệ số của số hạng chứa x
10
trong (2+x)
n
biết
0 1 1 2 2
3 3 3 ( ) 2048
n n n n n
n n n n
C C C n C

+ + + +
+ + + + =
Bài 15:Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
10
3
2
( ) ; 0
3
x
x
x
− >
Bài 16: D-2008
24
ÔN TẬP VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Cho
1 3 5 2 1
2 2 2 2
2048
n
n n n n
C C C C
−
+ + + + =
. Tìm n?
Bài 17: A-2008 Cho khai triển: (1+2x)
n
= a
0
+ a

; ;a
n

Bài 18: Tìm n thỏa mãn:

1 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2. .3.2 3. .3 .2 2 . .3 .2 (2 1) .3 2009
n n n n n n
n n n n n
C C C n C n C
− − − +
+ + + + +
− + − − + + =

Bài 19: B-2008
CMR
1
1 1
1 1 1 1
.( )
2
k k k
n n n
n
n C C C
+
+ +
+
+ =

2 3 ( 1) ( 2).2
n n
n n n n
C C C n C n
−
+ + + + + = +
Bài 24: CMR
0 1 2 1
2 2
. . ( ) 2;
1
n
n n
n n n n
C C C C n n
n
−
−
≤ ∀ ≥ ∈
−
¥
Bài 25: Tính S=
0 2 4 6 2008
2009 2009 2009 2009 2009
C C C C C− + − + +
Bài 26: CMR khi n chẵn:

n
2 2 4 4
2

x x x x
x x x x
C C C C
− − −
+
+ + =
Bài 30:CMR
1 3 5 2 1 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 5 (2 1) 2 4 6 2
n n
n n n n n n n n
C C C n C C C C nC
−
+ + + + − = + + + +
Bài 31: Tìm x biết
1 3 2
2
n n n
C C C+ =
và số hạng thứ 6 trong khai triển
5
log(10 3 ) ( 2)log 3
( 2 2 )
x
x n− −
+
bằng 21
Bài 32: Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
100

( )
n
x
x x
x
+
bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.
Bài 39: Tính
0 2 1 2 2 2 2009 2
2009 2009 2009 2009
( ) ( ) ( ) ( )C C C C+ + + +
Bài 40: Tìm n để
1 2 10
1023
n n n
n n n
C C C
− − −
+ + + =
Bài 41: Tìm số lớn nhất trong các số
2 1 2 2 2 100
100 100 100
1 ;2 ; ;100C C C
25