Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG
GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
A- PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, với sự xuất hiện của số i, một trong những ký
hiệu thông dụng nhất trong toán học, đã dẫn đến việc định nghĩa số phức dạng z= a + bi, trong đó a,
b là các số thực.
Đối với chương trình toán học phổ thông số phức được đưa vào cuối cấp lớp 12, việc làm
quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh là một điều khó, mấy năm gần
đây trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng đã đề cập đến số phức ở những dạng toán đơn
giản. Để giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số
phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng”.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học
sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao
chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương
pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh , góp phần
nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu
thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Đối tượng áp dụng:
học sinh 12.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng
toán thường gặp về số phức.
Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại
số, lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức.
Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp.
B – PHẦN NỘI DUNG

Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức.
3. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức
Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z= a+ bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’
R∈
) là số phức z+ z’ = a+ a’
+ (b+b’)i
b) Tính chất của phép cộng số phức
Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép
cộng các số thực.
• Tính chất kết hợp: (z+ z’) + z”=z+ (z’+ z”) với mọi z, z’, z”
C∈
• Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với mọi z,z’
C
∈
• Cộng với 0: z+ 0 = 0+ z = z với mọi z
C∈
• Với mỗi số phức z= a+ bi (a,b
R∈
) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z+ (-z) = (-z)
+z =0
Số -z được gọi là số đối của số phức z.
c) Phép trừ hai số phức
Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z-z’=z+(-z’). Nếu z= a+ bi,
z’=a’+b’i (a,b,a’,b’
R∈
) thì z-z’ = a-a’ + (b-b’)i
4. Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z= a+ bi và z’= a’+ b’i (a,b,a’,b’

Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z=a+bi (a, b
R∈
) là số thực không âm
2 2
a b+
và được ký
hiệu là
z
Như vậy: Nếu z= a+bi (a, b
R∈
) thì
2 2
z zz a b= = +
6. Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
1
2
1
z z
z
−
=
Thương
'z
z
của phép
chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là
1
'
'

những số thực. Cụ thể là:
Xét biệt thức:
2
4b ac∆ = −
- Nếu
0
∆ ≠
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
B B
z z
A A
δ δ
− + − −
= =
trong đó
δ
là một căn bậc hai của
∆
- Nếu
0
∆ =
thì phương trình (1) có nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A

( )
os ' isin( ')]c
φ φ φ φ
 
+ + +
 
,
( ) ( )
' '
os ' isin '
z r
c
z r
φ φ φ φ
 
= − + −
 
(Khi r>0)
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng
a) Công thức Moavro
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với
mọi số nguyên dương n.
( )
[ ( os isin )] os isin
n n
r c r c
φ φ φ φ
+ = +
và khi r=1 ta có:
( os isin ) osn isin

1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức
Thí dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho
2 3z i
u
z i
+ +
=
−
là một số thuần
ảo.
Giải: Đặt z= x+ yi (x, y
R∈
), khi đó:
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
2 3 1
2 3
1
1
2 2 3 2 2 1

x y x y
x y
x y
x y


+ + + − =
+ + + =
 
⇔
 
+ − >
≠




Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính
5
trừ điểm (0;1).
Thí dụ 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 3
1 2 3 4 1
4
2 3 4 1 3 1 0
z i
x y i x y i

8 64
z z i x y x y x y
 
 
= − ⇔ + = + − ⇔ + − =
 ÷
 
 
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I
9
0;
8
 
 ÷
 
bán kính
3
8
R =
b) Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)
Ta có
( ) ( )
2 2
2 2
3 4 3 4z z i x y x y= − + ⇔ + = − + −
6 8 25x y⇔ + =
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+ 8y= 25
c) Đặt z=x+yi (x,y

x y
x y x y x y
x y
x y
x y y y y
x y y
y
− + + = ⇔ + − + + + =

+ − ≤

⇔


+ − = − + + + + +


+ + ≤

+ + ≤ 
 
⇔ ⇔ + + + = + +
 
+ + = +
 
≥ −



( ) ( )

+ =
Thí dụ 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
( )
w 1 3 2i z= + +
biết rằng số phức z thỏa
mãn
1 2z − ≤
Giải:
Gọi z= a+ bi (a, b
R∈
), w= x+ yi (x, y
R∈
)
Ta có

( ) ( )
( )
( )
w 1 3 2 1 3 2
3 1 3
3 2
3 3 1
3
i z x yi i a bi
x a b
x a b
y a b
y a b
= + + ⇔ + = + + +


có tâm I
( )
3; 3
bán kính
R=4.
Thí dụ 5: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
Giải:
Gọi z= x+ yi (x,y
R∈
)
ta có
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2
2 2

+ −
= = +
+ + − + − +
Vì số phức
2
2
z
z
−
+
có acgumen bằng
3
π
nên ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
4 4
os isin 0
3 3
2 2


− +

Từ đó suy ra y>0 (1) và
2 2
2 2
4 4
3 4
4
3
y y
x y
x y
= ⇔ + − =
+ −
( )
2 2
2
2 4
2
3 3
x y
   
⇔ + − =
 ÷  ÷
   
Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm nằm trên trục thực.
Thí dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
3 4 2z i− − =

− = + ⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
( )
2
2 2 2
2 1 0 1 2x y xy x y⇔ + + − = ⇔ + + =
Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình
( )
2
2
1 2x y+ + =
2. Tính mô đun của số phức
Thí dụ 8: Giả sử z
1
; z
2
là hai số phức thỏa mãn
6 2 3z i iz− = +
và
1 2
1
3
z z− =
Tính mô đun
1 2
z z+
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
)

Khi đó:
( )
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
1
3
z z z z z z z z z z z z+ = + + = − + + =
1 2
1
3
z z⇒ + =
Chú ý: Học sinh có thể đặt z
1
; z
2
dạng đại số để tính.
Thí dụ 9: Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
2 10 0z z+ + =
Tính giá trị biểu
thức
2 2
1 2
A z z= +
Giải:

1 2
20A z z= + =
Thí dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn
2
6 13 0z z− + =
Tính
6
z
z i
+
+
Giải:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
6 13 0 3 4 3 2
3 2
3 2
z z z z i
z i
z i
− + = ⇔ − = − ⇔ − =
= +

⇔

= −

Với
3 2z i

−
Tìm Mô dun của số phức
z iz+
Giải:
Ta có
( )
3
1 3 8− = −

Do đó
8
4 4
1
z i
i
= − = − −
−
Suy ra
4 4z i
= − +
( )
4 4 4 4 8 8z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − −
Vậy
8 2z iz+ =
Thí dụ 12: Tính mô đun của số phức z biết rằng:
( ) ( )
( )
( )
2 1 1 1 1 2 2z i z i i− + + + − = −
Giải:

   
⇔ − − + + − + − + − + + = −

=

− =


⇔ − + + − = − ⇔ ⇔
 
+ − = −


= −


Suy ra mô đun:
2 2
2
3
z a b= + =
Thí dụ 13: Cho hai số phức z
1
; z
2
thỏa mãn điều kiện:
1 1
2 2
2 2 1
2 3 1

Đặt
( )
2 2 2 2
1 2
; , , , 2; 2z a bi z c di a b c d R a b c d= + = + ∈ ⇔ + = + =
Từ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 2
2 2
2 2 2 2 2
1 2
1 1 2 3
2 7
z z a c b d ac bd
P z z P a c b d a b c d ac bd
− = ⇔ − + − = ⇔ + =
= + ⇒ = + + + = + + + + + =
Vậy
7P =
Thí dụ 14: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
1
2 1
1
i z
i
+
+ =

2
2 1 1 3 1 4 3 9y y y− ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤
Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i
Thí dụ 15: Biết rằng số phức z thỏa mãn
( )
( )
3 1 3u z i z i= + − + +
là một số thực. Tìm giá trị nhỏ
nhất của
z
Giải:
Đặt z= x+ yi (x,y
R∈
) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 1 1 3
4 4 6 2 4
u x y i x y i
x y x y x y i
   
= + + − + − −
   
= + + − + + − − −
Ta có:
4 0u R x y∈ ⇔ − − =
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) là điểm biểu diễn của z thì
mô đun của z nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
OM d

2
2 1 2 1 1 3 10x y x y x y
 
+ + − = + + + ⇔ + + =
 
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;-3) bán kính
10R =
M là điểm biểu diễn của z thì
z
nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất,
z
lớn nhất khi và chỉ
khi OM lớn nhất.
Tìm được Min
3 10z = − +
khi
( )
3 10z i= − +
và Max
3 10z = +
khi
( )
3 10z i= − +
Thí dụ 17:Cho ba số phức
1 2 3
, ,z z z
đều có mô dun bằng 1. Chứng minh rằng:
1 2 3 1 2 2 3 3 1
z z z z z z z z z+ + = + +
Giải:

( )
2
0a z a
z
= + ≥
Ta có:

3
3
3
3
3 3
3
2 8 2
6
2 8 2
6 9 6
z z z
z z z
a z z z a
z z z
   
+ = + + +
 ÷  ÷
   
⇒ = + ≤ + + + ≤ +
Ta được
( )
( )
3 2

+ + − = + + −
⇔ + + − = + + − ⇔ = +
Số phức
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
2 2 1 2 3
2
w
1
1
x y i x y y x y i
z i
x y i
z i
x y
+ − − − − + −
−
= = =
+ −
+
+ −
w là một số ảo khi và chỉ khi
( ) ( )
( )
2

Vậy
12 23
7 7
z i= − +
Thí dụ 20: Tìm tất cả các số phức z biết
2
2
z z z= +
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) ta có:
( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
0
2
1 1
;
2 2
2 1 0
2
1 1
;


−

= − =

Vậy z=0;
1 1 1 1
;
2 2 2 2
z i z i= − + = − −
Thí dụ 21: Tìm số phức z biết
( )
2 3 1 9z i z i− + = −
Giải:
Gọi z= a+ bi (a,b
R∈
) ta có:
( ) ( ) ( )
2 3 1 9 2 3 1 9z i z i a bi i a bi i− + = − ⇔ + − + − = −

( )
3 1 2
3 3 3 1 9
3 3 9 1
a b a
a b a b i i
a b b
− − = =
 
⇔ − − − − = − ⇔ ⇔

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2 2
2 2 2
2 1 1
1
0 1
a b a a
b
a b b
 
+ = = = ±

 
⇔ ⇔
  
= ±
− = =
 

 
Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i
Thí dụ 24: TÌm số phức z biết
5 3
1 0
i
z
z
+
− − =
Giải:

a b
+ +
− − = ⇔ − − − = ⇔ + − − − − =
+

+ − − =

⇔ + − − − + = ⇔

+ =




− − =
= − = −

⇔ ⇔


= −
= = = −




Vậy
1 3z i= − −
hoặc
2 3z i= +

 ÷
 
 
 
+ = +
 ÷
 
Suy ra
( )
8 os isin
2 2 os isin 2 2
3 3
4 4
2 2 os isin
4 4
c
z c i
c
π π
π π
π π
+
 
= = + = +
 ÷
 
 
+
 ÷
 

( ) ( )
os isin 0z r c r
ϕ ϕ
= + >
Khi đó
1 3 2
os isin
3 3
i
c
z r
π π
ϕ ϕ
 
−
   
= − − + − −
 ÷  ÷ ÷
   
 
Theo giả thiết
2
3 3 3
π π π
ϕ ϕ
− − = − ⇒ =
Suy ra
3
2 2
r r

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1
1 1 1 1 1 1
z i x y
z z i x yi x y i x x y y x y i
− = ⇔ + − =
− + = − + − − = − + − + + −
( )
( )
( )
1 1 0 2z z i R x y− + ∈ ⇔ + − =
Từ (1) và (2) ta có x=1; y=0 hoặc x=-1; y=2
Vậy z=1; z=-1+ 2i
Thí dụ 28: Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
1 1 1 1 1i i i i+ + + + + + + + +
Giải:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

10
2 1+
4. Giải phương trình trong tập hợp số phức
Thí dụ 29: Giải phương trình
( ) ( )
3 2
3 2 16 2 0z i z i z i− − − − + − =
biết rằng phương trình có 1
nghiệm thực.
Giải:
Gọi nghiệm thực là z
0
ta có:
( ) ( )
3 2
0 0 0
3 2
0 0 0
0
2
0
3 2 16 2 0
3 2 16 0
2
2 0
o
z i z i z i
z z z
z
z z

3 2
2 3 3 1 2 9 0
2 6 0
2 6 3 3 9 0 3
3 3 9 0
3
bi i bi i bi i
b b
b b b b b i b
b b b
z i
− − + − + =

+ =

⇔ + + − − + + = ⇔ ⇔ = −

− − + + =


⇒ = −
2
Phương trình có thể phân tích thành
( )
( )
2
3 2 3 0z i z z+ − + =
Các nghiệm của phương trình là z= -3i;
1 2z i= ±
Thí dụ 31: Giải phương trình trên tập hợp số phức:

( )
( ) ( ) ( )
( )
1
os isin
3
1 1
os isin cos isin
3 3
z c
z c
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
=
⇒ = − = − + −
vì
2 2
1 2 2 os isin
2 2 4 4
i i c
π π
 
 
+ = + = +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
nên

 
= +
 ÷
 
Thí dụ 33: Tìm số phức z sao cho
3
1
z i
z i
+
=
+
và z+1 có một acgument là
6
π
−
Giải:

( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
3
1 3 3 1
3 1 2
z i
z i z i x y i x y i
z i
x y x y y
+

2
r
x
r
z x i z i
r x

+ =

=

 
+ = + − ⇒ ⇔ ⇒ = − −
 
= −



− = −


Thí dụ 34: Cho số phức
1 os isin
7 7
z c
π π
= − −
Tìm moodun, acgument và viết z dưới dạng
lượng giác.
Giải:

7 14
1 os 2sin
7 7
c
π π
π π
ϕ
π π
−
 
= = = = −
 ÷
 
−
Suy ra
,
14
k k Z
π
ϕ π
= − + ∈
Vì phần thực
1 os 0
7
c
π
− >
, phần ảo
sin 0
7

2 2
z z i
 
= − +
 ÷
 ÷
 
Do đó
( )
( )
1 3
1 3 2
2 2
z i z i
 
− + = − +
 ÷
 ÷
 
Khi
2z >
một acgument của
( )
1 3z i− +
là
3
π
Khi
0 2z< <
một acgument của

sin cos cos isin
2 2
z r c
iz r i r
ϕ ϕ
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
= −
 
   
⇒ = + = − + −
 ÷  ÷
 
   
 
Theo giả thiết thì
2 6 3
π π π
ϕ ϕ
− = ⇔ =
Khi đó:
2 2 2
2 2
2
3
1 3 1 3 1
2 2 2 2
3
1 3 1 4 1 1
2 4 4 2 2

os , sin ; os isin
5 5 5 5
x c y z x iy c
π π π π
= = = + = +
Ta có:
5
1z = −
hay
( )
( )
4 3 2
1 1 0z z z z z+ − + − + =
Vì
1z ≠ −
nên
4 3 2
1z z z z− + − +
=0 do
0z
≠
nên chia hai vế cho
2
z
ta được
2
2
2
1 1
1 0

− − = ⇔ =
Do x>0 nên
1 5
os
5 4
x c
π
+
= =
Thí dụ 38: Chứng minh công thức:
( )
( )
5 3
5 3
sin 5 16sin 20sin 5sin 1
os5 16cos 20cos 5cos 2c
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − +
= − +
Giải:
Áp dụng công thwcsMoiver ta có:
( )
5
os isin os5 isin5c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
Khai triển nhị thức:
( )
( ) ( )

c c
π π π
+ + =
b)
2 3 1
os os cos
7 7 7 2
c c
π π π
− + =
Giải:
Các đẳng thức trên ngoài cách chứng minh bằng lượng giác (Nhân vế trái với
2sin
7
π
) còn có
thể dùng số phức để giải.
a) Đặt
7
os isin os isin 1
7 7
z c z c
π π
π π
= + ⇒ = + = −
hay
7
1 0z + =
Mặt khác


1
1
1
z z z z z z z z z z
z
z z z z z z z z z
z
+ + + + + = + − + − +
+
= − + − − − + + = + =
+
Do đó:
5
5
3 5 1
cos os os
7 7 7 2 2
z
c c
z
π π π
+ + = =
b) Xét phương trình
7
1 0x + =
Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số -1.
Tập nghiệm của phương trình là:
3 13
7 7 7
{e ,e , ,e }

3 5
2 cos cos cos 1 0
7 7 7
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
c c
π π π π π π π
π π π
π π π
+ + + + + + =
 
⇔ + + − =
 ÷
 
⇔ − + =
Thí dụ 40: Cho a, b, c là các số thực sao cho:
cos cos cos sin sin sin 0a b c a b c+ + = + + =
Chứng minh rằng:
cos2 cos2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 0a b c a b c
+ + = + + =
Giải:
Đặt
cos isin
cos sin
cos sin
x a a
y b i b
z c i c
= +

n n n n n
C C C C C n
π
− + − + + =
b)
( )
( )
1 3 5 7 9
2 sin 2
4
n
n n n n n
C C C C C n
π
− + − + + =
Giải:
Đặt vế trái của (1) là S
1
, của (2) là S
2
Xét khai triển:
( )
0 1 2 2 3 3
1 .
n
n n
n n n n n
i C iC i C i C i C+ = − + − + +
Do
( )

1 2 cos sin 2 cos sin 4
4 4 4 4
n
n n
n
i i n i n
π π π π
   
+ = + = +
 ÷  ÷
   
Từ (3) và (4) ta có:
( )
( )
1
2
2 cos
4
2 sin
4
n
n
S n
S n
π
π
=
=
Thí dụ 42: Chứng minh rằng:
( )

x C C x C x C x C x+ = + + + + +
Đạo hàm hai vế theo x:
( )
1
1 2 2 3 1
1 2 3
n
n b
n n n n
n x C xC x C nx C
−
−
+ = + + + +
Cho x=i:
( )
( ) ( )
1
1 2 2 3 1
1 3 5 7 0 2 4
1 2 3
3 5 7 2 2 4
n
n b
n n n n
n n n n n n n
n i C iC i C ni C
C C C C i C C C
−
−
+ = + + + +

= + +
Ta có:

2 2
1
2 2
2
2 2
3
z x xy y
z y yz z
z z zx x
= + +
= + +
= + +
Và
( )
1 2 3
3z z z x y z+ + = + +
Do
1 2 3 1 2 3
z z z z z z+ + ≤ + +
nên ta có điều phải chứng minh.
b) Đặt
( )
( )
1
2
2cos cos isin
2sin sin isin

2
2
2
2
4 2 1
2 2 1
2 1
2
2
2
a b
a b i
z
iz
b ai
b a
+ −
+ −
−
= =
+
− +
− +
đpcm
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2

1 2 1 2
z z z z+ ≤ +
Ta có :
3 3
3 3
3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 2 3z z z z z z z
z z z z z
z z
   
+ = + + + ⇒ + ≤ + + + ≤ + +
 ÷  ÷
   
Đặt
1
z a
z
+ =
ta có
( ) ( )
2
3
3 2 0 2 1 0a a a a− − ≤ ⇔ − + ≤
Vậy ta có điều phải chứng mình.
2. Tính tổng
Thí dụ 46: Tính tổng
1
2
sin sin 2 sin

2sin 2 sin os
2 2 2
sin os isin
sin
1 1
2 2 2
2
os isin
2 2
sin
sin os isin
2
2 2 2
n
na na na
i c
z na na
a a a
z a a
i c
na na na
na
c
n a n a
c
a
a a a
c
− +
− + −

1 1
2
os isin
2 2
sin
2
n
na
n a n a
z
S z a a c
a
z
na
n a n a
c
a
 
− −
−
+ = = + +
 
−
 
 
+ +
= +
 
 
Mặt khác:

=
Thí dụ 47: Tính tổng (Với n= 4k+1)
a)
0 2 4 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
−
+ + + + +
= − + − + −
b)
1 3 5 2 1 2 1
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

n n
n n n n n
S C C C C C
− +
+ + + + +
= − + − + −
Giải:
( )
( ) ( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
0 2 2 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

8 3 8 3
2 2 os isin
4 4
3 3
2 2 os isin 2 2
4 4
n
n
n
n
n n n
n n
i c i c
n n
c
k k
c
c i
π π
π π
π π
π π
π π
+
+
 
+ +
 
+ = + ⇒ + = +
 

= −
=
Thí dụ 48: Chứng minh rằng:
3 6
1
1 . 2 2cos
3 3
n
n n
n
C C
π
 
+ + + = +
 ÷
 
Giải:
Ta có
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C= + + + +
Xét:
3
2 2
os isin 1
3 3
z c z
π π

z c
z c
π π
π π
+ + =
+ = −
+ = +
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
2 0 3 6
0 3 6
3 6
2 1 1 3
2 2cos 3
3
1
1 2 2cos
3 3
n
n
n
n n n
n
n n n
n
n n
z z C C C
n

 

− =
 ÷

+
 

Giải:
Điều kiện x>0, y>0
Đặt
,u x v y= =
hệ phương trình trở thành
2 2
1 2
1
3
1 4 2
7 1
7
u
u v
y
x y

 
+ =

 ÷
+