Véc tơ trong khơng gian
Chương III
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa
Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có điểm đầu
là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu :
* Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng của hai véc
tơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véc tơ được đònh nghóa tương tự như trong mặt
phẳng .
1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian *
Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ trong
không gian ,được đònh nghóa tương tự như phép
cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng .
Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các
tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng
.Khi cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có thể áp
dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối với véc
tơ trong mặt phẳng .
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD
1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng tỏ rằng
2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Với mọi điểm P
Bài giải :
1. Sử dụng quy tắêcba điểm :
Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có :
Tương tự :
2. Trong tamgiác AGB có GM là trung tuyến,cho nên,theo tính chất của véc tơ trung tuyến ta
có

,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp :
A
B C
D
A'
D'
C'
B'
Véc tơ trong khơng gian
• Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véc
tơ không đồng phẳng .
• Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véc tơ
đồng phẳng . Trong trường hợp này giá của ba véc tơ luôn song song với một mặt phẳng
2. Đònh nghóa
Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song với một
mặt phẳng .
* Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh
ba véc tơ đồng phẳng .
Bài giải : Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC
và BD .Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD.
Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành
.mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN và // với các
đường thẳng AD và BC .
Vậy suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng //
với mặt phẳng .Do đó ba véc tơ
đồng phẳng .
3. Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng
Đònh lý 1
Trong không gian cho hai véc tơ và đều khác véc tơ không và không cùng phương ,với một
vec tơ .Khi đó ba véc tơ gọi là đồng phẳêng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho

M
N
P
Q
C
B
A
M
N
P
Q
C
B
D
C
A
M
N
P
Q
C
B
Véc tơ trong khơng gian
Ta có : Theo kết quả của ví dụ 1 :
.
Mặt khác theo giả thiết :
Chứng tỏ M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng ( do đồng phẳng ).
Đònh lý 2:
* Trong không gian cho ba véc tơ không đồng
phẳng . Khi đó với mọi véc tơ ,ta đều chọn

D
D'
x
y
z
A
B
D
D'
A
B
B
C
D
C'
B'
A'
D'
Véc tơ trong khơng gian
Do I là trung điểm của BC' nên AI là trung tuyến của tam giác ABC',cho nên theo quy tắc
trung tuyến ta có :
BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN ( Trang 91-HH11-CB)
Bài 2. Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D'. Chứng minh rằng
Bài giải :
Theo tính chất của hình hộp ta có các cặp véc tơ bằng nhau sau :
Do vậy :
( Từ (2) và (3).)
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa HBH.
Chứng minh rằng : .
Bài giải :

A
B
C
D
G
E
E
F
Véc tơ trong khơng gian
Bài giải :
Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì :
Do (1).
Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung
đoạn của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian .Chứng minh rằng :
`
Bài giải : a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD . F là trung điểm của MN thì :
b) Theo quy tắc ba điểm :
Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : . Hãy phân tích
(biểu thò ) các véc tơ ,theo các véc tơ .
Bài giải :Theo hình vẽ thì :
Bài 9. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M sao
cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba véc tơ
đồng phẳng .
A
B
C
A'
B'
C'
Véc tơ trong khơng gian

F
G
H
K
I
Véc tơ trong khơng gian
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác
ABC và A'B'C'. I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh rằng các đường
thẳng GI và CG' song song nhau .
Bài giải :
Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và
B'C' .
Đặt . Ta biểu diễn hai véc tơ
GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ .
Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương .Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá
của hai véc tơ này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG'.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của CD và DD'; G và G'
lần lượt là trọng tâm của tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và
mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ?
Bài giải :
Đặt : . Ta hãy biểu diễn các véc tơ : ,theo ba véc tơ
.
Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện
A'D'MN và BCC'D' thì với một điểm A bất kỳ
thì :
I
G
G'
A
B

Bài 6.Cho hình chóp S.ABC .Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho
SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong đó a,b,c là các số thay đổi .Chứng minh rằng mặt phẳng
(A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3.
Véc tơ trong khơng gian
Bài giải :
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
Và :
Tương tự ta có :
Vậy :
Theo kết quả bài 5 ,để mp(ABC) đi qua G thì :
MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH BÀI TẬP CỦA HAI BAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xét các điểm M và N thuộc các đường thẳng A;C và C'D
sao cho (với k,l đều khác 1).
Đặt .
a) Hãy biểu thò các véc tơ qua các véc tơ .
b) Xác đònh các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' .
Bài giải :a) Từ giả thiết :
Nên :
Tương tự ,
B
A
C
D
A'
B'
C'
D'
N
Véc tơ trong khơng gian
b)Nếu MN song song với BD' thì tồn tại hai số p sao cho :

A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
N
M
Véc tơ trong khơng gian
Bài 3. (tr114-BTGT11-NC).Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của
BB' và A'C'.Điểm K thuộc B'C' sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm A,I,J,K
cùng thuộc một mặt phẳng .
Bài giải :
Đặt : .Ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ
Ta có :
Từ (*) chứng tỏ A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng .
Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. có các cạnh bằng m ,các góc tại A
bằng . Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi Chứng minh đường
thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'. Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?
Bài giải :
B
A
C
B'
A'
C'
I J
Véc tơ trong khơng gian

Q
Véc tơ trong khơng gian
Chứng tỏ MN// với mặt phẳng (A'BC).
b) Nếu MN//A'C thì tồn tại một số p sao cho :
Do đó ta có hệ :
Với : ,thì
Chứng tỏ MN vuông góc với AD' và DB.
Bài 9 (tr-114-BTHH11-NC)Cho hình tứ diện ABCD;I và J lần lượt là trung điểm của AB và
CD ;M là điểm thuộc AC sao cho và N là điểm thuộc BD sao cho
Chứng minh rằng các điểm I,J,M,N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi .
Bài giải :Nếu bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng ,thì :
Đặt : Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ .
Từ giả thiết :
DDD
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
Véc tơ trong khơng gian
Với (*) ta tính theo ba véc tơ :
Do đó :
Từ (*),ta có :
Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại
A,B,C và A',B'C'. Với một điểm O bất kỳ trong không gian ,đặt
Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :

sao cho
Ví dụ1 : Bài1 (tr-113). Cho tứ diện ABCD ,M và N
là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho
, Các điểm I,J,K lần
lượt thuộc AD,MN,BC sao cho
. Chứng minh các
điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :
Ta áp dụng công thức (1)
Từ (5) ta có :
Chứng tỏ I,J,K thẳng hàng .
Ví dụ 2 : Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. có các cạnh bằng m ,các
góc tại A bằng . Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi Chứng minh
đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'. Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?
Bài giải :
Đặt : . ( Do các cạnh của hình hộp bằng
m ).Theo giả thiết : P,A,D' thẳng hàng và A là trung điểm của PD'. Tương tự C' là trung điểm
A
B
C
D
M
N
I
K
J
C
A B
D
A' B'

một véc tơ nào đó : sao cho : , thì kết luận a//b.
Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1:
*Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC
và A'B'C'. I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh rằng các đường thẳng GI
và CG' song song nhau .
Bài giải :
Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và
B'C' .
Đặt . Ta biểu diễn hai véc tơ
GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ .
Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương .Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá
của hai véc tơ này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG'.
Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xét các điểm M,N lần lượt tuộc các đường thẳng A'C'
và C'D sao cho (k,l đều khác 1)
Đặt :
a) Hãy biểu thò các véc tơ : và qua các véc tơ ?
b) Xác đònh các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD'?
Bài giải :a) Từ giả thiết :
I
G
G'
A
B
C
A'
B'
C'
Véc tơ trong khơng gian
b) Vì BD' và C'D là hai đường thẳng chéo nhau .N thuộc đường thẳng C'D nên đường thẳng MN

1. Chứng minh một điểm O thuộc mp(ABC) hay mặt phẳng (ABC) đi qua điểm O
2. Chứng minh đường thẳng a // với mp(ABC)
Phương pháp giải :
Đối với dạng 1: Ta có các bước giải sau
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
N
M
Véc tơ trong khơng gian
1. Tìm một điểm M bất kỳ và ba số thực x,y,z sao cho :
2. Để có kết quả trên ,ta thường chọn bộ véc tơ cơ sở ,sau đó biểu diễn các véc tơ
theo ba véc tơ cơ sở .Sau đó đưa chúng về dạng (*),rồi kết luận
Đối với dạng 2: Ta có các bước giải sau :
1. Trên đường thẳng a ,chọn một véc tơ ,bất kỳ nào đó
2. Trong hình đã cho ,chọn bộ véc tơ cơ sở .Sau đó hãy biểu diễn các véc tơ , ,
theo ba véc tơ cơ sở
3. Tìm hai số k,l sao cho : +l (*). Nếu tìm được thì kết luận chúng đồng
phẳng ( hay chúng // nhau ).
4. Để có kết quả trên ,ta phải dựa vào cách phân tích véc tơ sao cho chúng có dạng (*)
( Hướng dẫn mẫu một ví dụ cho HS nắm được phương pháp làm ).
Ví dụ minh hoạ :
Ví dụ 1.
Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaiểm của AH và DE ,I là giao của BH và
DF. Chứng minh ba KI // với mp(ACAF) .

M
N
Véc tơ trong khơng gian
Đặt : . Ta hãy biểu diễn các véc tơ : ,theo ba véc tơ
.
Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D' thì với một điểm A bất kỳ thì :
Từ (*) ba véc tơ đồng phẳng .Nhưng hai véc tơ thuộc mặt phẳng
(ABB'A') ,còn véc tơ không thuộc mặt phẳng này .Vì vậy // với mặt phẳng (ABB'A').
Ví dụ 3 .Cho hình chóp S.ABC .Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho
SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong đó a,b,c là các số thay đổi .Chứng minh rằng mặt phẳng
(A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3.
Bài giải :
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
Và :
Tương tự ta có :
Vậy :
Theo kết quả bài 5 ,để mp(ABC) đi qua G thì :
Bài toán 4 :
Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ; đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng .
Phương pháp giải :
Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có một số bước giải sau: