Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:



=−
=+
82
82
2
2
xy
yx
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng phương trình:
( )
4 2 2 4
2 2 3 0x m x m
− + + + =
luôn có 4 nghiệm
phân biệt
1 2 3 4
, , ,x x x x
với mọi giá trị của
m
.
Tìm giá trị

sao cho đẳng thức sau đúng:

1232
+−−=−+−
qppqqp
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với mọi số thực
, ,x y z
luôn có:

( )
2x y z y z x z x y x y z x y z
+ − + + − + + − + + + ≥ + +
Hết

SBD thí sinh: Chữ ký GT1:
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điể
m
B.1



=−
=+
82
82

;
( ) ( )
; 2;2x y = −
0,25
+ Nếu
2 0x y− + =
, thay
2y x= +
vào phương trình đầu thì:
( )
2 2
2 2 8 2 4 0x x x x+ + = ⇔ + − =
.
0,25
Giải ra:
1 5 ; 1 5x x= − − = − +
.
0,25
Trường hợp này hệ có hai nghiệm:
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − − −
;
( )
( )
; 1 5;1 5x y = − + +
0,25
B.2
( )
4 2 2 4

.
0,25
4
1 2
3 0t t m× = + >
với mọi
m
.
0,25
( )
2
1 2
2 2 0t t m+ = + >
với mọi
m
.
0,25
Do đó phương trình (1) có 4 nghiệm :
1
t
−
,
1
t
+
,
2
t
−
,

1
(1đ)
Hình vẽ đúng 0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác
RMQ có đường kính RM .
·
·
·
0
45ERF MRF MQF= = =
(3)
0,25
F nằm trong đọan ES.
· ·
·
0
90 QRE ERF FRS= + +
Do đó :
·
·
0
45QRE SRF+ =
(4)
0,25
Từ (3) và (4) :
· ·
·
ERF QRE SRF= +
.
0,25

NE, ta có RH là đường cao thứ ba. RH vuông góc với MN tại D. Do đó :
·
·
DRM ENM=
.
0,25
Ta có:
·
·
ENM EFM=
(do M, N, F, E ở trên một đường tròn);
·
· ·
EFM QFM QRM= =
(do M, F, R, Q ở trên một đường tròn). Suy ra:
·
·
DRM QRM=
. D nằm trong đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM và QRM bằng nhau, suy ra : MQ = MD 0,25
Tương tự : Hai tam giác vuông DRN và SRN bằng nhau, suy ra : NS = ND .
Từ đó : MN = MQ+NS
0,25
B. 4
1232
+−−=−+−
qppqqp
(
α

2 ( 2)( 3) 2 3p q p q− − = − −
.
0,25
Tiếp tục bình phương :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 2 3 2 3p q p q− − = − −
.
0,25
+ Nếu
2p =
thì (
α
) trở thành:
0
+
3−q
=
3−q
, đúng với mọi số nguyên
3q ≥
tùy ý.
0,25
+ Nếu
3q =
thì (
α
) trở thành:
2−p
+

Ta có thêm các cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4) .
Kiểm tra lại đẳng thức (
α
):
1
+
4
=
9
;
2
+
2
=
8
;
4
+
1
=
9
0,25
B.5

)(2 zyxzyxyxzxzyzyx
++≥+++−++−++−+
(*)
(1đ)
Đặt:
,a x y z= + −

đúng, chỉ cần chứng tỏ :
c
+
cba ++
≥
ca +
+
cb +
(**) đúng với
0a b
× ≥
.
0,25
Ta có:
(**)
( )
2 2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab⇔ × + + + ≥ + × + ⇔ + + + ≥ + + +

(***)
0,25
Đặt:
2
ca cb c A+ + =
;
ab B
=
, ta có
B B=
(do a.b

Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
a)
2 2
4 1 2 2 1x x x x x− + = − + +
.
b)
3 3
( ) 2
4
xy x y
x y x y
+ =


+ + + =

.
Câu 2. (3 điểm)
a) Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm dương của phương trình x
2

.
1 1 1
a b c
a b c
ab a bc b ca c
≤ + +
+ +
+ + + + + +
4
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
bài 1
a. bài này đặt ẩn phụ là ra
b. đặt x+y=a
xy=b
ta có hệ ab=2
+a-3ab=4
thay ab=2 vào phương trình 2 ta tính đc a= 2=> b=1
thay a và b ta tính đc x=y=1
1. a)đk
Đặt
phương trình trở thành:
Đặt
Câu 2
a)PT có 2 nghiệm và
Do đó là số nguyên đpcm
b) và a,b lẻ (1)
(2)
Từ(1)(2)=>đ.p.c.m

5

+ = −


Câu 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
2 2 2 2
3 2 5 7 0a ab b a b a ab b a b− + + − = − + − + =
Chứng tỏ rằng :
12 15 0ab a b− + =
b) Cho :
2 2
( 4 2)( 1)( 4 2) 2 1
( 1)
x x x x x x
A
x x x
+ − + + + + − +
=
−
Hãy tìm tất cả các giá trị của x để
0A
≥
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60
o
. Gọi M , N , P lần lượt
là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của BC .
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh các điểm I , M , E và K
cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt

: 0 vµ 1
1 2 1
x
B x x
x x x x x
.
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm
( )
4 ; 0B
và
( )
1 ; 4C −
.
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng
2 3y x= −
. Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc
tạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút).
c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số
u
và
v
biết:
1, 42 vàu v uv u v+ = = − >
.
b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến A

m
1 1,75
1.
a
+
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 6 3 3
3 2 3 6
3 3 3 3
3 3 3 3
A
− −
−
= + = +
+
+ −

+
( )
6 3 3
3 2
9 3
A
+
= − +
−

+
3 2 3 3 1A = − + + =

+ +
+
2
1 1
2 1
1
x x
x x
x
+
( )
( )
2
1 1 1
:
1
1
x x x
B
x
x x
x
− − +
= = −
+
+
(vì
0x
>
và

Suy ra:
( )
3 ; 0A −
0,25
0,25
0,25
2.
b
+ Đồ thị hàm số
y ax b= +
là đường
thẳng đi qua
( )
4; 0B
và
( )
1; 4C −
nên
ta có hệ phương trình:
0 4
4
a b
a b
= +


= − +

+ Giải hệ phương trình ta được:
( )

+ Suy ra: Góc tạo bởi đường thẳng BC và trục Ox là
0 0
180 ' 141 20'
α α
= − ≈
0,25
0,25
2.c
+ Theo định lí Py-ta-go, ta có:
2 2 2 2
2 4 2 5AC AH HC= + = + =
+Tương tự:
2 2
5 4 41BC = + =
.
Suy ra chu vi tam giác ABC là:
7 2 5 41 17,9( )AB BC CA cm+ + = + + ≈
0,25
0,25
3 2,0
3.
a
+ u, v là hai nghiệm của phương trình:
2
42 0x x− − =
+ Giải phương trình ta có:
1 2
6; 7x x= − =
+ Theo giả thiết:
u v>

2
1
3
x =
+ Vì x > 1 nên x = 11 . Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là
11km/h.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4 2,5
4.
a
+ Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp
tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân
giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân
giác góc MOB.
+ Mà
·
AOM
và
·
MOB
là hai góc kề bù, nên
·
0
90DOE =
. Vậy tam giác DOE vuông tại

vuông góc với By tại H).
0,25
Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường
tròn (O) (hoặc OM
⊥
AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là:
2
0
2S R=
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho
điểm tối đa.
0,25
5 1,5
5.
a
5.
b
+ Cắt hình nón cụt bởi mặt phẳng
qua trục OO', ta được hình thang
cân AA’B’B. Từ A hạ AH vuông
góc với A’B’ tại H, ta có:
A'H O'A' OA 10 (cm)= − =
Suy ra:
2 2 2 2
OO' AH AA' A'H 26 10 24 (cm)= = − = − =
.
+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại
K. Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm).
+ Bán kính đáy trên của khối nước trong xô là
1 1 1

0,25
Ghi chú:
− Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
− Điểm toàn bài không làm tròn.
4
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên toán - tin trường đại học vinh
Vòng I (150 phút)
Câu I.
1. Tính giá trị của biểu thức:
P
=
x
3
y
3
3 x y( )
.
2004

Biết rằng:

x
3
3 2 2
3
3 2 2

y
3

c
tương ứng là độ dài các
cạnh và các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng: (a
2
+b
2
+c
2
).(ha
2
+ hb
2
+hc
2
) > 36
Câu IV. Cho tam giác ABC, có
∧
A
=60
0
, AC = b, AB = c (với b > c). Đường kính EF của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M. Gọi I, J là chân đường vuông góc hạ từ E
xuống các đường AB, AC, gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng
AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AIEJ Và CMJE nội tiếp
b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.
c) Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c.
d) Tính IH + JK theo b,c

5

x
2
y
2
z
2
1
x
2
1
y
2
1
z
2
771
16
Câu VI. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x - y + 2004, trong đó các số thực x và
y thỏa mãn các hệ thức:

x
2
9
y
2
16
36
Câu VII. Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c nghiệm đúng phương trình:
x
2

2
y
2
y
2
3 y x
.
2 x 0

Bài 2: Các số x, y, z khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0. Tính giá trị biểu thức

P
yz
x
2
zx
y
2
xy
z
2
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x
2
-xy + y
2
= 2x - 3y - 2
Bài 4: Tìm tất cả các bộ ba số dương (x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình

2 x
2008


2 x
2008
y
2007
z
2006
2 y
2008
z
2007
x
2006
2 z
2008
x
2007
y
2006
P
x
2
y z
y
2
z x
z
2
x y
7

4
x
và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có
hoành độ lần lượt là -2 và 4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đó.
b) Viết phương trình đường (D).
c) Tìm vị trí của điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x
∈
[-2 , 4] sao cho ∆
AMB có diện tích lớn nhất .
Bài 4: ( 3, 5 điểm)
Cho hình vuông ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở E
và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song
với BD và AC cắt nhau ở I.
a) Tìm quỹ tích của điểm I.
b) Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường tròn cố định và
đường IH đi qua điểm cố định.
Bài 5: ( 1 điểm) Chứng minh rằng:
( 1999 1997 3 1) ( 1998 1996 2) 500
+ + + + − + + + >
HẾT
ĐỀ DỰ THI
8
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
MA TRẬN ĐỀ DỰ THI
Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng
Phương trình nghiệm
nguyên
0.5 0.5 0.5 1.5
Rút gọn biểu thức

và
3x y− +
có cùng tính chất chẵn lẽ
⇒
nghiệm là các bộ số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; 0 ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6)
b)Xét x = -1 ; x = 0
⇒
y tương ứng
Xét x
≠
0 và x
≠
-1 =>x (x+1) >0
=> x
3
< y
3
< (x+1)
3
: Vô lý
=> Bộ số (x ,y) là (0 ; 1) ; ( -1; 0)
Bài 2: ( 1, 5 điểm)
( )
2
2
1 ( 1 1) 1
2
x x
P
x

∈
(P) ; B(a; y
B
)
∈
(P) => A( -2 ;1)
B( 4 ; 4)
Phương trình (D) : y =
1
2
2
x +
c) ∆ AMB có AB không đổi => S
AMB max
⇔

MH
max
( MH ⊥ AB) lúc đó M
∈
(d) //AB và
tiếp xúc (P)
(d) : y=
1 2
1 1
1
2 4
x k k x x
−
+ ⇒ = ⇒ = =

∈
AB ( cố định)
* Giới hạn I
∈
AB và trừ 2 điểm A và B
* Đảo : Gọi I’ bất kỳ trên AB (
≠
A ,
≠
B ) .Gọi E’, F’ là
điểm đối xứng của I’ qua AC và BD
=>OA là phân giác của
¼
' 'I OE
; OB là tia phân giác của
·
' 'I OF
=>
¼
0
'OF' 180E =
=> E’ ; O; F’ thẳng hàng
* Kết luận : I
∈
AB ngoại trừ 2 điểm A và B
b)AEHI nội tiếp =>
¼
¼
0
45 IHFAHI AEI B= = ⇒

=> BĐT đã được chứng minh
SỞ GD VÀ ĐT ĐẮC LẮC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
10
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN : TOÁN (CHUYÊN)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1.5 điểm) Cho f(x)= -(
2
m
+1)x+2(1+
2
)m+4+2
2
, m là tham số. Định m để f(x)
≤
0
với mọi x
∈
[1;2]
Bài 2: (1.5. điểm) Cho x,y,z là các số nguyên khác nhau đôi một.Chứng minh:
5 5 5
( ) ( ) ( )x y y z z x− + − + −
chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
Bài 3: (1.5. điểm) Chứng minh phương trình :
2 2
1 1 1
xy

∈
BC).
Chứng minh O nằm trên đường tròn ngoại tiếp
MNPV
THI TUYểN VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - THPT CHUYÊN QUảNG BÌNH
11
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Năm học 2002-2003
Câu 1(2 điểm):
Cho đường thẳng có phương tr“nh
1) Xác định trong mỗi trường hợp sau:
a/ (d) đi qua điểm
b/ (d) cắt trục tung tại B có tung độ bằng 3
2) T“m để 2 đường thẳng được xác định trên và đường thẳng đôi một song song
Câu 2(1,5 điểm):
CMR:
Câu 3(2 điểm):
Cho phương tr“nh:
1) Xác định giá trị của để phương tr“nh (1) có 2 nghiệm phân biệt
2) Với giá trị nào của th“ phương tr“nh (1) có một nghiệm bằng ? T“m nghiệm kia.
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn tâm , đường cao
. Giả sử là một điểm trên cung nhỏ ( không trùng với và ), từ hạ
vuông góc với ( thuộc )
1) CM tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
2) CM góc bằng góc
3) CM rằng khi thay đổi trên cung nhỏ th“ góc không đổi
4) CM song sonh với
Câu 5(1 điểm):
1) CMR: Với , ta có:
2) CMR:

b) Phương tr“nh (1) có hai nghiệm phân biệt thõa mãn .
Câu 3(1,0 điểm): T“m GTLN của biểu thức: (x>0).
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường phân giác
trong và ngoài của góc A cắt BC lần lượt tại D và E. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC ở F.
a) CM tam giác FAD cân tại F.
b) CM:
c) Đặt AB=m, AC=n. Tính tỷ số theo m và n
Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên có thể t“m được 2005 số liên tiếp nhau mà không có số
nào nguyên tố không?
Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên
Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh hai số sau:
và
Câu 2(2,0 điểm): Giải phương tr“nh:
Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B. Từ C kẻ tia Cx vuông góc với
AB. Trên tia Cx lấy hai điểm E, F sao cho CE=CA và CF=CB. Vẽ đường tròn tâm đi qua ba
điểm A, C, E và đường tròn tâm đi qua ba điểm B, C, F, chúng cắt nhau tại điểm thứ hai D.
a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng.
b) Khi C di động trên đoạn thẳng AB (C không trùng với A và C cũng không trùng với B), chứng
minh đường thẳng CD luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5(1,5 điểm):
An hỏi B“nh: Bố của bạn năm nay bao nhiêu tuổi?
B“nh đáp: Năm 1986, tuổi của bố m“nh là một số có hai chữ số và bẳng tổng các chữ số năm sinh
của bố m“nh. Hỏi bố của B“nh sinh năm nào và năm 2005 này bố của B“nh bao nhiêu tuổi?
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH
14
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
Năm học 2006-2007
Ngày thứ nhất
Câu 1(1,5 điểm): T“m tất cả các giá trị của x thõa mãn:

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
15
Tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 các năm qua
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 01 :)( 1, 5 điểm)
a) Thực hiện phép tính : A =
(
)
+ − −
2
5 3 3 5
b) Giải phương trình :
2
x 4x 4x 1 5+ − + =
Bài 02 : ( 1, 5 điểm)
Cho phương trình : x
2
– 2mx + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Tìm m để phương trình có 2 trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.
c. Đặt A = (x
1
-x
2
)
2
– x
1