ôn thi vào lớp 10 môn toán

Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
+ Vận dụng các phơng pháp biến đổi căn thức: đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng
dạng; rút gọn phân số
+ Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:
Bài1:
1/
2 5 125 80 605 +
2/
485274123 +
3/
277512 +
4/
16227182 +
Phơng pháp: Đa thừa số ra ngoài căn rồi cộng trừ các căn thức đồng dạng.
Bài 2:
1/
15
1
15
1
+


2/

96220/5

200822009/6 +

Nhận xét:
Bài 1/



+=
=
134
1.33
Bài 2/



+=
=
538
5.315
Bài 3/



+=
=
178
1.77
Bài 4/

+=
yxb
yxa
.
(x>0; y>0) Thì :
222
)(.2.22 yxyyxxyxyxba +=+=+=
yx =
áp dụng tổng quát trên ta có :
1313)13(324/1
2
+=+=+=
Tơng tự để tính cho các bài 2;3;4;5;6.
Giải tiếp các bài tập sau: ( Gợi ý có thể nhân hoặc chia để tạo hai lần tích)
7/ A =
246625
8/ B =
5353 + Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

1
ôn thi vào lớp 10 môn toán

9/ C =
48135 +
10/ D =
7474 +



+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài2: Cho các biểu thức:
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 3: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+

Bài 5: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
b) Tìm x để
1 5
P 2

Bài 6: Cho biểu thức :
P =









+
+



















+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2













3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P


Bài 10: Cho biểu thức :
P =
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

3
ôn thi vào lớp 10 môn toán

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 11: Cho biểu thức
P =




1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
32
và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4=+ ba
Bài 12: Cho biểu thức :
P =









aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 13: Cho biểu thức:
P =









+

+










1
1

32
và b =
3
Bài 15: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2









+
++
+

+ x
xxx
x
xx
x



+


2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0
Bài 17: Cho biểu thức:
P =










+
+
+

+



P =









+


+







1
2
2
1
:
1
1
1
a

+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 3
Bài 20: Cho biểu thức:

2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +
a/ Rút gọn D
b/ Với giá trị nào của x thì D > 1
Dạng ii:
đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+=
axayabaxy

1
. và (d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) ct (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d

- ax b = 0
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung
giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (#) l s giao im ca (d) v (P).
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (#) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit
0>
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (#) cú nghim kộp
0=
c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (#) vụ nghim
0<
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x
0
;y
0
)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x
0
;y
0
vo cụng thc y = ax + b tỡm b.
2.Bit th hm s i qua im A(x

x
2

+) Do ng thng i qua im A(x
0
;y
0
) nờn cú phng trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = a

x
2
nờn:
Pt: a

x
2
= ax + b cú nghim kộp
+) Giải hệ



=
+=
0

,y
2
lần lợt là tung độ của A và B
Khi đó khoảng cách AB đợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:
2
12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB +=+=
IX. Mt s ng dng ca th hm s :
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số .
Bài 1 . cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m +1.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

7
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài 2 : Cho (P)
2
2
1

Bài 6 : Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d
) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc (
1
d
) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay =
đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 7 : Cho (P)
2
4


M là tiếp điểm của đờng thẳng (d
1
)với (P)và(d
1
)//(d).

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

8
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Bài 8 : Cho (P):
4
2
x
y =
và điểm M (1;-2)
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng:
baxy +=
mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy PT:
.2= mmxy
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
3. Gọi
BA
xx ;
lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA

Bài 12 : Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
1. Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
3. Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 13 : Cho (P):
4
2
x
y =
và đờng thẳng (d):
2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 14 : Cho (P):
2
xy =

Phơng trình và Hệ phơng trình

A/ Ph ơng trình bâc nhất một ẩn giảI và biện luận:
+ Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng
)0(0 =+ abax
+ Giải và biện luận:
- Nếu
0;0 == ba
thì phơng trình vô số nghiệm.
- Nếu
0;0 = ba
thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu
0

a
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
a
b
x =
ví dụ : Giải và bịên luận phơng trình sau:
14)1(4
2
+= mxxm
Giải:
144)14(144414)1(4
22222
+=+=+= mmxmmxmxmmxxm
2
)12().12)(12( =+ mxmm

.(2.0 =x
nên phơng trình vô nghiệm.
Bài tập : Giải và biện luận các phơng trình sau:
Bài 1 .
2
32
)1(
=
+

xmxm

Bài 2 .
( )
10
1
2
11
2
2
=

+
+
+

+

+
a

'
aa
Thì hệ phơng trình có một nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa ==
Thì hệ phơng trình có vô nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa ===
Thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm của mỗi phơng trình biểu diễn trênmặt phẳng toạđộ là đồ thị hàm số dạng:
baxy +=
Ví dụ: Giải các HPT sau:
Bài1 :
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


Giải:
+ Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y

x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Bài2:
2 3 2

Vaọy HPT có nghiệm là
2
2
x
y
=


=
Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

11
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n

Bµi 3:
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =
 
 

+ = − = −
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT ®· cho trë thµnh:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   

1
2
3
1
2
1
1
1


=

L u ý : - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bµi tËp vỊ hƯ ph ¬ng tr×nh:
Bµi 1: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3
3 3
x y
c
x y
− =





Bµi 3 :
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bµi 4 a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ =


− = −

có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bµi 5 : Giải hệ phương trình sau:


+ +

Bµi 6 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Gi¶i hƯ khi a =3 ; b =-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y) = (
)3;2
Bµi 7 : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Ỉt Èn phơ)
7.1)







=
−
−
+
=

32423
yx
yx
(®k x;y
≥
2 )
7.4)
3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

− = −


+ = +


; 7.5)
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + − =


+ − − =

; 7.6)
( 5)( 2) ( 2)( 1)


Biªn so¹n : §ång §øc Lỵi - THCS C¶nh D¬ng

13
ôn thi vào lớp 10 môn toán

7.9)
1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =




=


; 7.10)
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y


c.Ph ơng trình bậc hai - hệ thức vi - ét
1.Cách giải ph ơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0)
* Nếu

> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x
1
=
-b -
2a

; x
2
=
-b +
2a


* Nếu

= 0 phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
-b

-b'
a
* Nếu

' < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
2.Định lý Vi ét: Nu x
1
, x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại : Nu cú hai s x
1

=
b
2
1
và

' =
acb
2
'
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2

5
6
S x x
P x x
= + =


= =

vy
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh cú dng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x + = + =
Bi tp ỏp dng:
1. x
1
= 8 và x
2
= -3
2. x
1
= 3a và x
2
= a
3. x
1
= 36 và x
2

x
= +
Theo h th c VI- ẫT ta c ú:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x

+
= + = + + + = + + + = + + = + =
ữ

1 2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 9
( )( ) 1 1 2 1 1
2 2
P y y x x x x
x x x x
= = + + = + + + = + + + =
Vy phng trỡnh cn lp cú dng:
2
0y Sy P + =
hay
2 2

«n thi vµo líp 10 m«n to¸n

(Đáp số:
2
5 1
0
6 2
y y+ − =
hay
2
6 5 3 0y y+ − =
)
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả
mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
(Đáp số :
2

b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =
)
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
2
0x Sx P− + =
(§iều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−
3 và ab =
−
4 n ên a, b là nghiệm của phương trình :
2
3 4 0x x+ − =
giải phương trình trên ta được
1
1x =
và
2

+ b
2
= 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần
tìm tích của a v à b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1
2
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=


=

=

Do ú nu a =

4 thỡ c = 9 nờn b =

9
nu a = 9 thỡ c =

4 nờn b = 4
Cỏch 2: T
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab = + + = + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ =

+ =

+ =

2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

+ =

=

Vy a = 9 thỡ b = 4
3) ó bit ab = 30, do ú cn tỡm a + b:
T : a
2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab + = + + = + = =
11
11
a b
a b
+ =


5
*) Nu
11a b+ =
v ab = 30 thỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

+ =

=

Vy nu a = 5 thỡ b = 6 ; nu a = 6 thỡ b = 5.
IV. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho tr -
ớc .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để ph ơng trình có nghiệm x= x
1
cho tr ớc có hai cách làm:
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
0


17
ôn thi vào lớp 10 môn toán

+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình
bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ
2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm
thứ2
V. TNH GI TR CA CC BIU THC NGHIM
i cỏc bi toỏn dng ny iu quan trng nht l các em phi bit bin i biu thc nghim ó
cho v biu thc cú cha tng nghim
1 2
x x+
v tớch nghim
1 2
x x
ỏp dng h thc VI-ẫT ri
tớnh giỏ tr ca biu thc
1.Ph ơng pháp: Bi n i bi u th c l m xu t hi n : (
1 2
x x+
) v
1 2
x x

Dạng 1.
2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

?x x =
Ta bit
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x = + = +
Dạng 6.
2 2
1 2
x x

( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= +
=
(
)
).(4)(
2121
2
21
xxxxxx ++
Dạng 7.
3 3
1 2
x x
=
( )
( )
( ) ( )

1 2
x x
[ ]
)(.)()()()(
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
2
1
=++== xxxxxxxx
Dạng 11 .
5 5
1 2
x x+
=

2
Dạng13
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

Dạng 14:
cbxax =+
21
( Xem phần ví dụ ở mục VII)

2. Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trỡnh, tớnh giỏ tr ca biu thc nghim

34
15

ữ

4.
( )
2
1 2
x x+
(46)
b) Cho phng trỡnh :
2
8 72 64 0x x + =
Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:
1.
1 2
1 1
x x
+
9
8

ữ

2.
2 2
1 2
x x+
(65)

1 2
1 1x x
x x

+
(1)
3.
2 2
1 2
x x+
(1) 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
5
6

ữ

5.
1 2
1 1
1 1x x
+

e) Cho phng trỡnh

Q
5 5 80
5.8 (4 3) 2.8
5 2
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + +
= = = =
+


+ VI. TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIM
NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S
lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau:
1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x
1
v x
2
(thng l a 0 v 0)
2- p dng h thc VI-ẫT:
a
c
xx
a
b
xx =

1
;x
2
nên ta không biện luận bớc 1)
Giải:
B ớc2 : Theo h th c VI- ẫT ta cú :
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m

+ = + = +




= =

2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= = + + + =
+
Vớ d 2: Gi
1 2
;x x
l nghim ca phng trỡnh :
( )
2
1 2 4 0m x mx m + =
. Chng minh rng
biu thc
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + +
khụng ph thuc giỏ tr ca m.
Theo h thc VI- ẫT ta c ú :
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m

1m

. Do ú biu thc A khụng ph thuc vo m
Bi tp ỏp dng:
1. Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
2 2 1 0x m x m + + =
. Hóy lp h thc liờn h gia
1 2
;x x
sao cho
1 2
;x x

c lp i vi m.

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

20
1
ôn thi vào lớp 10 môn toán

Hng dn:
B1: D thy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m = + = + = + >
. Do ú phng trỡnh ó cho

=




B3: T (1) v (2) ta cú:
( )
1 2
1 2 1 2 1 2
1
2 2 5 0
2
x x
x x x x x x
+
+ = + =
Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + =
.
Tỡm h thc liờn h gia
1
x
v
2
x
sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.
Hng dn: D thy
2 2

2

(thng l a 0 v 0)
- T biu thc nghim ó cho, ỏp dng h thc VI-ẫT gii phng trỡnh (cú n l tham s).
- i chiu vi iu kin xỏc nh ca tham s xỏc nh giỏ tr cn tỡm.
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m + =
Tỡm giỏ tr ca tham s m 2 nghim
1
x
v
2
x
tho món h thc :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Bi gii: iu kin phng trỡnh c ú 2 nghim x
1
v x
2
l :

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

21
2
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n


∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥
≥ −
∆ = − − − ≥ 





 


Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−

+ =



−


Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1 2
&x x
là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥
2 2
4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥
7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m

⇔ − + = ⇔

=

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :
( )
2
2 4 7 0mx m x m+ − + + =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
2 0x x− =
2. Cho phương trình :
( )

3 5 6x x− =
Hướng dẫn cách giải:
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ
2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm
1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x
nên ta có
thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra
ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm
1 2
x x+
và
tích nghiệm
1 2
x x
rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0 &
15
m m≠ ≤
-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)

x x x
x x x x
x x x
+ =

⇒ + =

+ =

(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m+ − = ⇒ = = −

BT2: - ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
- Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ = −


= −

1
m
m m
m
=

− = ⇔

=

(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m∆ = − + + = + + = + ≥
với mọi số thực m nên phương
trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x
−


x x x x x x
x x x
x x x x x x
= + +

= + + +

= +

= + +
(2)
- Th (1) vo (2) ta c phng trỡnh:
0
(45 96) 0
32
15
m
m m
m
=


+ =

=

(tho món )
Kết luận :
Để giải loại toán này ta lấy hệ số x
1

= ;8x
2
=
Nhân vế theo vế của hai phơng trình vừa rút.
Thay biểu thức tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm theo (Vi ét) rồi giải phơng trình có ẩn là
tham số
VIII. XC NH DU CC NGHIM CA PHNG TRèNH BC HAI
Cho phng trỡnh:
2
0ax bx c+ + =
(a 0) .Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú 2
nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
Ta lp bng xột du sau:
Du nghim x
1
x
2
1 2
S x x= +
1 2
P x x=

iu kin chung
trỏi du

m
P < 0
0 0 ; P < 0.
cựng du,


m
m m
P
P m m
P

= +


=


< <


<
= + <
= <




Vy vi
2 3m < <
thỡ phng trỡnh cú 2 nghi m trỏi du.
Bi tp tham kho:

Biên soạn : Đồng Đức Lợi - THCS Cảnh Dơng

24

C m≥
(v ì
0A ≥
)
min 0C m A⇒ = ⇔ =
C k≤
(v ì
0B ≥
)
max 0C k B⇒ = ⇔ =
Ví dụ 1: Cho phương trình :
( )
2
2 1 0x m x m+ − − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m

2
m =
Ví dụ 2: Cho phương trình :
2
1 0x mx m− + − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
biểu thức sau:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m