53

- Tính phi tuyến
- Sự tương tác giữa các biến quá trình 4. Ví dụ thiết bị phản ứng liên tục
Xét thiết bị phản ứng liên tục trên hình 3.7. Giả sử dung dịch vào chứa A nguyên chất, trong bình
xẩy ra phản ứng một chiều A  B, tạo ra sản phẩm là tổng hợp của A và B. Tốc độ phản ứng riêng được
ký hiệu là k (s
-1
). Nồng độ ở đây có đơn vị là mol/m
3
(số mol trên một đơn vị thể tích) và được ký hiệu là
c. Ngoài các giả thiết được đặt ra tương tự như bình chứa chất lỏng trên đây, ta coi tốc độ phản ứng tổng
thể tỷ lệ trực tiếp với nồng độ của A trong bình (Phản ứng bậc nhất). Như vậy, số mol của A mất di do
phản ứng trên một đơn vị thời gian là - Vkc
A
.

Hình 3.7. Thiết bị phản ứng liên tục.
Ta có thể sử dụng phương trình cân bằng vật chất toàn phần (3.5) như trong ví dụ bình chứa:
FF
dt
dV

0
(3.12)
Các phương trình cân bằng thành phần cho cấu tử A và B được viết thành:
AAA


Thay thế đạo hàm của thể tích từ phương trình (3.12) và và rút gọn, ta nhận được phương trình vi phân
chỉ chứa đạo hàm của biến nồng độ:

54

0
0
A
n
A
A
c
V
F
ck
V
F
dt
dc







 (3.15)
Mô hình quá trình bao gồm hai phương trình vi phân (3.12) và (3.15).


3.3.2. Phương trình cân bằng năng lượng
Định luật bảo toàn năng lượng áp dụng cho hệ nhiệt động học, hay còn gọi là định luật thứ nhất
của nhiệt động học được diễn đạt như sau:

Biến thiên năng lượng tích luỹ

=

Tổng dòng năng lượng đưa vào

-

Tổng dòng năng lượng dẫn
ra

+

Tổng công suất nhiệt hấp thụ

-

Công tiêu hao ra bên ngoài


Năng lượng toàn phần của một hệ thống động học U

bao gồm nội năng U
1
, thế năng U
P

U
I
– nội năng của hệ thông (J)
ω
Vào
– lưu lượng khối lượng dòng vào hệ thống (kg/s hoặc kg/phút)
ω
Ra
– lưu lượng khối lượng dòng ra hệ thống (kg/s hoặc kg/phút)

55

h
vào
– enthalpy của dòng vào (tính trên đơn vị khối lượng, j/kg)
h
Ra
– enthalpy của dòng ra (tính trên đơn vị khối lượng, j/kg)
q – tổng lưu lượng nhiệt (công suất cấp nhiệt) bổ sung cho hệ thống thông qua dẫn nhiệt, bức xạ
nhiệt, hoặc phản ứng hoá học (J/s hoặc j/phut).

Enthalpy
Enthalpy trên một đơn vị khối lượng được định nghĩa là
VPuh
Δ
ˆ

(3.21)
trong đó
u – nội năng tính trên một đơn vị khối lượng (J/kg)

(3.22)
Enthalpy là một đại lượng phụ thuộc vào thành phần, nhiệt độ và áp suất nhưng chủ yếu vào nhiệt độ h =
f(P, T, x). Đây là một quan hệ phi tuyến và tương đối phức tạp. Tuy nhiên, đối với nhiều bài toán mô
hình hoá ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hoá, nếu như độ chính xác của mô hình không đòi hỏi
quá cao. Với định nghĩa nhiệt dung riêng tại một áp suất không đổi:
constP
P
T
h
C



 (3.24)
và giả thiết enthalpy tại nhiệt độ quy chiếu T
ref
là h
Ref
, ta có thể viết
)(
ReRe fPf
TTChh  (3.25)
Trong trường hợp áp suất và thành phần thay đổi không quá lớn, ta có thể sử dụng quan hệ đơn giản giữa
enthalpy và nhiệt độ:
TCh
P

(3.26)
cho các chất lỏng, cũng như:
vPv

T
T
PP



(3.29)
Enthalpy của một hỗn hợp chất lỏng gồm nc cấu tử được xác định một cách đơn giản bằng cách lấy trung
bình của từng cấu tử





nc
i
ii
nc
i
iii
mx
mhx
h
1
1
(3.30)
trong đó:
x
i
– phần khối lượng của cấu tử thứ i trong hỗn hợp

sau:
- Dòng chảy chế độ xoáy và lấp kín các dường ống, nên thời gian trễ có thể xác định được từ lưu
lượng
- Quá trình tao đổi nhiệt diễn ra lý tưởng, có nghĩa là nhiệt độ T ở dòng ra là đồng nhất.
- Nhiệt lượng tiêu hao ra môi trường xung quanh có thể bỏ qua.
- Động năng và thế năng là không đáng kể so với nhiệt năng.
- Khối lượng riêng của dòng vào và dòng ra không thay đổi đáng kể.

57Hình 3.8. Quá trình trao đổi nhiệt trực lưu.
Ta cũng lưu ý rằng, trong quá trình trao đổi nhiệt trực lưu không có sự tích luỹ năng lượng, mặt
khác ta chỉ quan tâm đến giá trị các biến tại những vị trí quan sát cố định. Động học của hệ thống thể hiện
ở những phần tử trễ (do quá trình vận chuyển), phương trình cân bằng nhiệt chỉ phản ánh đặc tính của hệ
ở trạng thái xác lập.
Với giả thiết và phân tích trên đây, phương trình cân bằng nhiệt (3.21) được áp dụng và cho ta:
)()()()()()(
2222211111
tTtFthtFthtF


(3.33)
trong đó h
1
, h
2
và h lần lượt là enthalpy của các dòng vào và dòng ra. Sử dụng quan hệ giữa enthalpy và
nhiệt độ (3.25) và coi nhiệt độ riêng của hai dòng chảy là như nhau, phương trình (3.33) sau khi rút gọn
các số hạng liên quan tới h

Phương trình cân bằng nhiệt trước hết được biểu diễn với enthalpy theo (3.22) :
hFhF
dt
Vhd



00
)(
(3.36)
Do bình chứa tự tràn nên V= const và F
0
= F. Áp dụng (3.25), sau khi rút gọn, ta có phương trình cân
bằng nhiệt biểu diễn theo biến nhiệt độ:

58

)(
0
TT
V
F
dt
dT

(3.37)

Hình 3.9. Bình chứ nhiệt.

3.3.3. Phương trình cân bằng nhiệt

TTk
A
q
 (3.39)
trong đó:
T
s
– nhiệt độ lớp bề mặt
T
f
– nhiệt độ trung bình của dòng chảy
k – hệ số nhiệt đối lưu (phụ thuộc vào đặc tính dòng chảy và đặc tính nhiệt của lưu chất).

Hình 3.10. Truyền nhiệt qua lớp tường.
Trường hợp hai dòng chảy trao đổi nhiệt gián tiếp với nhau qua một bức tường (Hình 3.10, ví dụ thành
ống dẫn), hệ số truyền nhiệt tổng thể được xác định từ hệ số truyền nhiệt của bức tường, bề dày của bức
tường và hệ số truyền nhiệt đối lưu. Tuy nhiên, đây là quan hệ tương đối phức tạp, phụ thuộc vào nhiều
yếu tố, vì vậy cũng có thể xác định thông qua thực nghiệm. Công suất truyền nhiệt sẽ được tính theo công
thức
)(
21
TTuAq 
(3.40)
trong đó:
u – hệ số truyền nhiệt tổng thể
T
1
– nhiệt độ trung bình của dòng chảy thứ nhất
T
2

W
b
= công suất phát xạ trên một đơn vị diện tích
 - hằng số Stefan – Boltzmann
T – nhiệt độ tuyệt đối
Như vậy, hê số phát xạ của một vật bất kỳ chính là tỷ số giữa công suất phát xạ của vật đó so với
công suất phát xạ của vật đen:
b
W
W
ε  (3.43)
Công suất phát xạ toàn phần của của một vật qua một diện tích sẽ được tính theo công thức:
4
111
TAq

 (3.44)
Theo định luật kirchhoff, công suất phát xạ của hai vật ở trạng thái cân bằng nhiệt độ đặt cùng một môi
trường sẽ có quan hệ như sau:
2
2
1
1

ww
 (3.45)

3.3.4. Phương trình động học phản ứng hoá học
* Tốc độ phản ứng
Tốc độ phản ứng riêng k là một hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ, thường được biểu diễn theo

B
a
A
ccTkr )( (3.48)
* Điểm cân bằng hoá học
Điểm cân bằng hoá học trong một hệ thống phản ứng đạt được khi
0

i
nc
i
i

(3.49)
trong đó

i
– hệ số hoá học lượng pháp của cấu tử thứ i trong hỗn hợp (có dấu âm đối với chất tham gia
phản ứng và dương với sản phẩm)

i
– thế năng hoá học của cấu tử thứ i.
Thế năng hoá học của một cấu tử trong hỗn hợp chất khí được xác định theo công thức
iii
PRT ln
0


(3.50)
trong đó

P
00
ln














(3.52)
Biểu thức trong dấu ngoặc ở vế trái được định nghĩa là hằng số cân bằng hoá học (K
P
). Hằng số
này nói lên tỉ lệ cân bằng giữa sản phẩm và chất tham gia phản ứng. Lưu ý rằng, vế phải của (3.52) chỉ
còn phụ thuộc vào nhiệt độ.

3.3.5. Phương trình cân bằng pha
Đối với một hỗn hợp gồm hai pha (ví dụ pha lỏng và pha hơi), cân bằng pha được định nghĩa là
trạng thái mà thế năng hoá học của mỗi cấu tử ở hai pha bằng nhau:
II
i
I

PxP



1
,
P
Px
y
ii
i
 (3.55)
trong đó
x
i
- phần mol của cấu tử thứ i trong pha lỏng
y
i
- phần mol của cấu tử thứ i trong pha hơi
P
i
- áp suất hơi của cấu tử thứ i.
áp suất hơi của một cấu tử là một hàm chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ, thường được biểu diễn dưới dạng:
)/( BTA
i
i
eP

 (3.56)
Đối với chất lỏng không lý tưởng, định luật Raoult được mở rộng như sau:


(3.59)
Biết , ta dễ dàng xác định phần mol của cấu tử nhẹ trong thể hơi trong công thức

63

x
x
y
)1(1 



(3.60)

Hệ số cân bằng pha lỏng – hơi (giá trị K)
Hệ số cân bằng pha lỏng – hơi hay gọi tắt là giá trị K cũng rất hay được sử dụng. Nó được định
nghĩa là phần mol của cấu tử trong pha hơi chia cho tỷ lệ mol của chính cấu tử đó trong pha lỏng:
iii
xyK /
(3.61)
Giá trị K là một hàm phụ thuộc trước hết vào nhiệt độ và thành phần, sau đó là vào áp suất.

3.4. Phân tích bậc tự do của mô hình
Khi thiết kế hệ thống nhất thiết phải kiểm tra tính nhất quán của mô hình và một số tính chất khác
của mô hình quá trình. Trên cơ sở đó ta có thể đưa ra phân tích và kiểm chứng sự lựa chọn các biến điều
khiển và các biến được điều khiển thực.

3.4.1. Bậc tự do của hệ thống
Trong một số mô hình quá trình các biến không thể điều khiển độc lập được mà sự điều khiển các