http://www.ebook.edu.vn
75

Đối với hầu hết các hệ thống gia nhiệt thì đặc tính ở trạng thái xác lập được quan tâm là chủ yếu.
Xét lại phương trình truyền nhiệt của thiết bị gia nhiệt trạng thái xác lập:
)()(
1221 CCpCCHHpHH
TTCTTC 


Ta suy ra
)(
2112 HH
pCC
pHH
CC
TT
C
C
TT 


(3.102)
Có thể thấy quan hệ phi tuyến giữa biến điều khiển trực tiếp 
c
và biến cần điều khiển T
C2
, bởi ngay cả
khi các biến nhiễu (
H
, T

C
:
12
1
C
pC
C
Tu
C
T  (3.105)
mô hình nhận được sau khi biến đổi gồm hai phương trình tuyến tính (3.103) và (3.105) và một phương
trình phi tuyến u = q/
C
. Hiểu theo một cách khác, ta sử dụng phép biến đổi để tách một mô hình phi
tuyến thành hai mô hình tuyến tính đơn giản hơn Thực tế sách lược điều khiển được áp dụng cho các
thiết bị gia nhiệt dầu nóng chính là dựa trên mô hình dẫn suất này. Hiệu quả cách làm này được minh hoạ
trên hình 3.17.

Hình 3.17. Tuyến tính hoá mô hình thiết bị gia nhiệt qua phép biến đổi.

http://www.ebook.edu.vn
76

3.6. Một số ví dụ quá trình tiêu biểu
3.6.1. Chuỗi ba thiết bị phản ứng liên tục đẳng nhiệt
* Phân tích bài toán
Thiết bị phản ứng đẳng nhiệt bây giờ được mở rộng thành chuỗi gồm ba thiết bị nối tiếp, như
minh hoạ trên hình 3.25. Sản phẩm B được tạo thành qua phản ứng nguyên liệu A trong các thiết bị khuấy
trộn lý tưởng. Nhiệt độ trong các thiết bị khuấy trộn có thể khác nhau, tuy nhiên ta coi không thay đổi do
phản ứng là đẳng nghiệt. Ta giả thiết khối lượng riêng của các dung dịch trong các thiết bị không khác

và F
3
, cũng như nồng độ c
A0
của dòng nguyên liệu. Tuỳ
theo yêu cầu của bài toán điều khiển, lưu lượng vào F
0
(cũng như lưu lượng ra F
3
) có thể được coi là biến
điều khiển hoặc nhiễu, và lưu lượng F
3
cũng có thể đồng thời đóng vai trò vừa là biến ra vừa là biến vào.
Nồng độ c
A0
của dòng nguyên liệu chắc chắn được coi là nhiễu. Khối lượng riêng, tốc độ phản ứng riêng
và nhiệt độ tại các bình được coi là tham số quá trình tuy nhiên sự thay đổi của chúng có thể được xếp
chung vào nhiễu quá trình hoặc sai lệch mô hình.

Hình 3.25. Chuỗi thiết bị phản ứng liên tục đẳng nhiệt.
* Xây dụng các phương trình mô hình
Giả thiết các phản ứng có bậc n. Với mỗi thiết bị ta có thể viết ngay các phương trình cân bằng vật
chất. Ví dụ cho thiết bị gia nhiệt thứ nhất ta có:
10
1
FF
dt
dV

(3.106)

0
1
0
111
1
0
1
)(
A
n
AA
A
c
V
F
ckc
V
F
dt
dc

(3.108)
Tương tự (3.106) và (3.108), ta có các phương trình mô hình tương ứng với hai thiết bị còn lại:
21
2
FF
dt
dV

(3.109)

2
333
3
2
3
)(
A
n
AA
A
c
V
F
ckc
V
F
dt
dc

(3.112)
Mô hình nhận được chứa tổng cộng 6 phương trình vi phân phi tuyến thể hiện quan hệ giữa 11
biến: (3.106), (3.3.108) – (3.112). Tham số mô hình giờ đây bao gồm các tốc độ phản ứng riêng (k
1
, k
2
,
k
3
) và bậc của phản ứng n.
* Phân tích bậc tự do

2
1A11A
1
c
V
F
)c(kc
V
F
0 1
2
2
222
2
)(0
AAA
c
V
F
ckc
V
F

(3.113)
http://www.ebook.edu.vn
78


,,, xy
c
c
c
x
x
x
xcdFu
A
A
A
A





















(3.114)

1
22
21
2222
2
2
2 x
V
F
u
V
cc
xckx
V
F
dt
dx
AA
A



(3.115)

2
33

cc
V
cc
x
V
F
V
F
x
AA
aA
AA






























0
0
1
0
0
1
00
1
1
3
32
2
21
1
10
33
22
1



,
333
3
3
2
A
ckVF
V




từ mô hình trạng thái tuyến tính (3.108) ta cũng có thể biến đổi sang mô hình ma trận truyền đạt. Tuy
nhiên, cách làm này ở đây khó cho ta cái nhìn sâu sắc về mặt vật lý. Nếu chỉ cần mô hình hàm truyền đạt
thì nên bắt đầu từ phương trình (3.114), (3.115), 3.116). Ta viết 3 phương trình này gọn lại sau đây:

dkukx
dt
dx
du 111
1

1222
2
xkukx
dt




,
111
1
2
A
d
ckVF
F
k

222
21
2
2
A
AA
u
ckVF
cc
k


 ,
222

F
k



Biến đổi Laplace cho cả hai vế của từng phương trình trong (3.118) và đưa về dạng chuẩn ta có:

)(
1
)(
1
)(
1
1
1
1
1
sd
s
k
su
s
k
sx
du






)(
1
)(
2
3
3
3
3
3
sx
s
k
su
s
k
sx
du





(3.121)
Thay thế lần lượt (3.120) và (3.119) vào (3.121), ta có:







s
k
su
s
k
sxsy
dudu





















s
k
duddduu
)(
)1)(1)(1(
)(
)1)(1)(1(
)1()1)(1(
)(
321
321
)(
321
321132213
sd
sss
kkk
su
sss
kkkskkssk
sG
ddd
sG
dduduu
d
    


- Thiết bị khuấy trộn lý tưởng, nghĩa là nhiệt độ và nồng độ tại mọi điểm giống nhau và giống nhiệt
độ và nồng độ ra.
- Áp suất và khối lượng riêng của dòng quá trình, trước cũng như sau phản ứng, được coi là không
thay đổi đáng kể.
Với giả thiết trên hệ thống bao gồm tổng cộng 8 biến quá trình. Trên cơ sở đó có thể dễ nhận hấy
rằng có 5 biến vào (F
0
, T
0
, c
A0
, F, ρ) và 3 biến ra (V, T, c
A
). Phân tích các mục đích điều khiển kết hợp
với sơ đồ công nghệ, ta tiếp tục nhận biết các biến cần điều khiển, các biến điều khiển tiềm năng và các
biến nhiễu minh hoạ trên hình 3.28.

Xây dựng các phương trình mô hình

Hình 3.28: Các biến quá trình trong phản ứng thu nhiệt sợi đốt
http://www.ebook.edu.vn
81

Thiết bị phản ứng là một là một ví dụ mô hình hoá tương đối tiêu biểu, bởi vì trong đó có áp dụng
nhiều quan hệ hoá lý cơ bản. Trước hết ta có thể viết lại phương trình cân bằng vật chất toàn phần:
FF
dt
dV

0



(3.125)
Để xây dựng phương trình cân bằng năng lượng, trước hết ta thấy rằng công suất thu nhiệt do quá
trình phản ứng hấp thụ q
R
tỷ lệ thuận với tốc độ phản ứng:
AR
Vkcq

 (3.126)
Hệ số sinh nhiệt  có dấu âm đối với phản ứng toả nhiệt và dấu dương với phản ứng thu nhiệt. ta
có thể đưa ra giả thiết là thế năng và động năng không đáng kể so với nội năng. Phương trình cân bằng
năng lượng được viết như sau:
)()(
)(
00000
PFFPqquFuF
dt
Vud
R


)
ˆ
(()
ˆ

C
FTTF
dt
VTd



(3.129)
khai triển đạo hàm bên vế trái của phương trình (3.129)
)Vkcq(
C
1
FTTF
dt
dT
V
dt
dV
T
A
p
00



và thay thế dV/dt từ phương trình cân bằng vật chất (3.123) :
)(
1
)()(
000 A

0
0
 (3.130)

Phân tích bậc tự do
Mô hình nhận được gồm 8 biến quá trình (q, V, F
0
, F, T
0
, T, c
0
, c). Ba phương trình mô hình được
xây dựng lần lượt là: Phương trình cân bằng vật chất toàn phần (3.123), phương trình cân bằng thành
phần (3.124), và phương trình cân bằng nhiệt (3.130). Số bậc tự do của mô hình là 8 – 3 = 5. Thực ra ta
cũng còn một phương trình mô hình quá trình là quan hệ giữa tốc độ phản ứng và nhiệt độ (3.125), nhưng
nếu xết cả phương trình đó thì số biến quá trình sẽ tăng thêm 1 (tốc độ phản ứng riêng k), nên hệ số bậc tự
do không thay đổi.
Đối với bài toán thiết bị phản ứng ta chưa phân tích kỹ các mục đích điều khiển, nhưng trên cơ sở
phân tích bậc tự do ta có thể có những kết luận sơ bộ. Trước hết, số lượng tối đa biến phụ thuộc (tức là số
biến đầu ra) có thể điều khiển được cũng chỉ bằng số phương trình, tức là 3. Thứ hai nếu đã chọn 3 biến
cần điều khiển (Ví dụ V, T và c), thì 5 biến còn lại phải là biến vào thì mô hình mới nhất quán. Trong
trường hợp này, ta xét thấy hoàn toàn hợp lý. Tiếp theo, nếu chọn 3 biến cần điều khiển thì chúng ta cũng
phải chọn 3 biến điều khiển từ 5 biến vào. Yêu cầu trên chỉ có thể được thoả mãn nếu ta bổ sung thêm
một van điều khiển trên dòng lưu lượng để thay đổi lưu lượng F
0
. Trường hợp F
0
lại do quá trình trước
quyết định thì số lượng biến tối đa có thể điều khiển được độc lập ở đây chỉ còn lại là 2 (Ví dụ V và c
hoặc V và T). Thực tế là nồng độ c phụ thuộc vào T, nên ta chỉ có thể gián tiếp điều khiển nồng độ thông

phân biệt 6 biến vào (F
0
, T
0
, c
A0
, F, F
j
, T
j0
) và 4 biến ra (V, T, c
A
, T
j
). Phân tích các mục đích điều khiển
kết hợp với sơ đồ công nghệ, ta tiếp nhận được các biến cần điều khiển, biến điều khiển và biến nhiễu như
minh hoạ trên hình 3.30. Ngay ở đây ta nhận ra 3 biến ra (V, T, c
A
) không thể điều khiển độc lập, nếu sử
dụng hai biến điều khiển. Việc chọn các biến vào được điều khiển chờ sau khi phân tích phương trình mô
hình. Chú ý rằng, nhiệt độ nước làm lạnh T
j
cũng là một biến ra, nhưng không cần điều khiển.

Xây dựng các phương trình mô hình quá trình
Tương tự như ví dụ trước, ta viết lại các phương trình cân bằng vật chất cho quá trình phản ứng;
FF
dt
dV


Khác với ví dụ trước ở đây ta phải quan tâm đến phương trình truyền nhiệt, trên cơ sở đó xây
dựng phương trình cân bằng nhiệt cho cả thiết bị làm mát bên trong và phần vỏ làm mát. Công suất truyền
http://www.ebook.edu.vn
84

nhiệt giữa quá trình phản ứng tại nhiệt độ trung bình T và dòng nước lạnh tại nhiệt độ trung bình T
j
được
xác định theo công thức (3.40) :
)(
jH
TTuAQ  (3.134)
Công suất nhiệt sinh ra do phản ứng tỷ lệ với tốc độ phản ứng:
n
AG
VkcQ

 (3.135)
trong đó  có dấu âm. Với giả thiết đã đặt ra, ta dễ dàng xây dựng phương trình cân bằng năng lượng cho
thiết bị phản ứng và vỏ làm mát như sau:

AjH00
Vkc)TT(uA)FhhF(
dt
)Vh(d
 (3.136)
)TT(uA)hFhF(
dt
)Vh(d
jHjj0j0jj

dt
)VT(d
C 

với C
P
nhiệt dung riêng của dòng quá trình và được coi là một hằng số. Khai triển đạo hàm hai vế, thay
thế đạo hàm dV/dt từ (3.131) và tốc độ phản ứng riêng từ (3.133), ta nhận được:

n
A
RTE
P
jH
P
cek
C
TTuA
VC
TT
V
F
dt
dT
/
00
0
1
)(
1

phương trình (3.131), (3.132), (3.138) và (3.139) đúng bằng số biến ra.

Phân tích bậc tự do
Với tổng cộng 10 biến quá trình và 4 phương trình độc lập, số bậc tự do của mô hình là 6, đúng
bằng số biến vào. Như vậy, mô hình đã đảm bảo tính nhất quán. Tuy nhiên, số biến điều khiển là 2, nên
http://www.ebook.edu.vn
85

chỉ hai trong 3 biến ra (V, T, c
A
) có thể điều khiển độc lập một cách đồng thời. Để đảm bảo vấn đề an
toàn, thể tích hoặc mức trong thiết bị phản ứng nhất định phải được khống chế. Để điều khiển hai biến
còn lại ta có các phương án sau:
1. Bổ sung van điều khiển trên dòng vào của chất phản ứng nếu cho phép (chất phản ứng được cấp từ
một bình chứa có dung tích đủ lớn)
2. Điều khiển nhiệt T để đảm bảo an toàn, đồng thời thông qua đó gián tiếp điều khiển nồng độ c
A
.
3. Sử dụng sách lược điều khiển lựa chọn, trong trường hợp bình thường điều khiển nồng độ c
A
.
4. Sử dụng sách lược điều khiển nối tầng, vòng điều khiển trong điều khiển nhiệt độ và vòng điều
khiển ngoài điều khiển nồng độ.
Giả thiết nước lạnh trong vỏ làm mát có nhiệt độ đồng nhất thực tế là không hoàn toàn hợp lý.
Trong nhiều trường hợp ta có thể đơn giản sử dụng thêm một biến trung gian cho nhiệt độ trung bình
trong vỏ làm mát:
)(
2
1
0 jjjA