http://www.ebook.edu.vn
42

 
)(
)(
)(
)(
)(
zU
zY
kTuZ
kTyZ
zG  (2.59)
Dạng hàm truyền đạt gián đoạn có thể viết dưới dạng phân thức hữu tỷ

n
nn
m
mm
azaza
bzbzb
zA
zB
zG




du(k)(k)y(k)
T
 xc
(2.61)
trong đó ký hiệu t được thay thế bởi k. áp dụng phương pháp biến đổi Z cho cả 2 vế của phương trình
trạng thái, ta có:
)()()0()()1(
0000
kuzkxzxkxzzkxz
k
k
k
k
k
k
k
k














IxIcY

Từ đó ta có hàm truyền đạt gián đoạn

)(
)(
)()(
1
zA
zB
dzIczG
T


(2.63)
Quan hệ giữa hàm truyền đạt gián đoạn và hàm truyền đạt xung cũng có một vấn đề cần quan tâm khi
so sánh (2.63) và (2.69). Sự giống nhau này đem lại cả mặt tốt và mặt xấu. Mặt tốt là khi G(z) ta chỉ cần
http://www.ebook.edu.vn
43

thay thế q thay cho z là có được G(q) và ngược lại, như vậy vừa lợi dụng được các công cụ phân tích và
thiết kế trên miền thời gian cũng như trên miền phức mà không mất công chuyển đổi mô hình. Mặt khác
không tốt ở đây là sự giống nhau về hình thức nhiều khi gây sự nhầm lẫn đáng tiếc về bản chất. Thực
chất, z là biến phức còn q là một toán tử, A(z) và B(z) là những đa thức với biến phức z, còn A(q) và B(q)
là các toán tử viết dưới dạng đa thức theo q. Trên miền thời gian ta hoàn toàn có thể sử dụng A(q) và B(q)
hoặc A(q
-1
) và B(q
-1
) , nhưng không thể sử dụng A(z) và B(z). Cũng cần lưu ý rằng, một số tài liệu sử
















(z)U
(z)Y
(z)U
(z)Y
(z)U
(z)Y
(z)U
(z)Y
(z)
m
p
1
p
m
1

Chương 3 – Mô hình hoá lý thuyết quá trình

Mục đích của chương này là giúp người đọc hiểu rõ những tư tưởng cơ bản trong xây dựng mô
hình quá trình bằng phương pháp lý thuyết và nắm được các bước cụ thể. Để đạt được kết quả tốt cần nắm
vững các bước cụ thể và các ví dụ.

3.1. Tổng quan về các bước tiến hành
Việc xây dựng các mô hình toán học bằng phương pháp lý thuyết hay còn gọi là mô hình hoá lý
thuyết quá trình. Bằng cách áp dụng các định luật vật lý, hoá học và sinh học kết hợp với thông số kỹ
thuật công nghệ để tìm ra quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng của quá trình. Mô hình toán nhận được có
thể là hệ phương trình vi phân, đại số. Các bước chính bao gồm:
1. Phân tích bài toán mô hình hoá: Tìm hiểu lưu đồ công nghệ, nêu rõ mục đích sử dụng của mô
hình, từ đó xác định mức độ chi tiết, và độ chính xác của mô hình. Trên cơ sở công nghệ, mục
đích của mô hình tiến hành phân chia các quá trình con, nhận biết và đặt tên các biến quá trình và
các tham số quá trình. Liệt kê các giả thiết liên quan tới xây dựng mô hình nhằm đơn giản hoá mô
hình.
2. Xây dựng các phương trình mô hình: nhận biết các phần tử cơ bản trong hệ thống, viết các
phương trình cân bằng và phương trình đại số dựa trên các định luật bảo toàn, định luật nhiệt động
học, vận chuyển với mục đích đơn giản hoá mô hình đưa về dạng các phương trình chuẩn tắc.
3. Kiểm chứng mô hình: Phân tích bậc tự do của mô hình quá trình trên số lượng các biến và các
biến phụ thuộc. Đánh giá độ phù hợp của mô hình, tiến hành mô phỏng trên máy tính để kiểm
chứng.
4. Phát triển mô hình: Tuỳ theo mục đích sử dụng mô hình, có thể chuyển về dạng thích hợp hay
tuyến tính hoá mô hình phù hợp với bài toán phân tích hay thiết kế

3.2. Nhận biết các biến quá trình
Các biến đặc trưng cho một quá trình kỹ thuật gọi là biến quá trình bao gồm biến cần điều khiển,
biến điều khiển và nhiễu. Xây dựng mô hình lý thuyết tức là tìm cách mô tả đặc tính quá trình thông qua
toán học giữa các biến quá trình với sự hỗ trợ của các tham số quá trình (tham số công nghệ). Mặc dù
biến quá trình và tham số quá trình đều xuất hiện trong quá trình công nghệ nhưng việc phân biệt chúng là

tới các mục đích điều khiển đặt ra. Các đại lượng cần điều khiển thông dụng liên quan tới chất lượng sản
phẩm bao gồm nhiệt độ, áp suất, nồng độ, thành phần hợp chất. Đại lượng đại diện tiêu biểu cho năng
suất thường là lưu lượng. Các đại lượng liên quan tới an toàn của hệ thống thường là mức, áp suất, nhiệt
độ.
Trong thực tế việc xác định số lượng biến không phải bao giờ cũng đơn giản. Có nhiều loại biến,
biến ra là biến phụ thuộc, biến độc lập cũng như biến đặt, biến cần điều khiển, biến không cần điều
khiển
Các biến cần điều khiển rất quan trọng trong việc xây dựng mô hình và hiểu rõ bài toán, tuy nhiên
khi chưa có phương trình mô hình thì chưa thể đưa ra quyết định cuối cùng về các biến sẽ được điều
khiển vì một đai lượng cần được điều khiển có thể không đo được hoặc không dễ dàng điều khiển một
cách trực tiếp. Ta lấy thiết bị phản ứng làm ví dụ, mong muốn của ta là có thành phần đầu ra như ý muốn.
Tuy nhiên việc đo thành phần sản phẩm rất khó khăn và diễn ra chậm, do vậy thay vì điều khiển trực tiếp
nồng độ ra ta có thể điều khiển gián tiếp theo nhiệt độ và áp suất. Mặt khác nhiệt độ và áp suất cũng là
những đại lượng liên quan tới trạng thái an toàn của hệ thống, nên chúng là các đại lượng cần được lựa
chọn.
Biến điều khiển là một biến vào có thể can thiệp theo ý muốn để tác động đến biến cần điều khiển.
Ngoài ra còn các biến độc lập, biến nhiễu

3.2.1. Ví dụ bình chứa chất lỏng
Bình chứa chất lỏng là đối tượng rất quan trọng và phổ biến trong điều khiển quá trình. Bài toán
đặt ra cho bình chứa là duy trì trữ lượng trong bình tại một giá trị hoặc một phạm vi mong muốn, tuỳ theo
chức năng sử dụng bình chứa. Giá trị quan tâm cho bình chứa thường là mức hoặc trữ lượng. Đối với bình
http://www.ebook.edu.vn
46

chứa hơi ta thường quan tâm đến áp suất, đối với bình chứa chất rắn ta quan tâm đến mức hoặc khối
lượng. Trong thực tế bình chứa thường đảm nhận các chức năng:
- Bình chứa quá trình: Tạo không gian và thời gian thực hiện công nghệ (Quá trình phản ứng, quá
trình trộn, quá trình bay hơi
- Bình chứ trung gian: Giảm quá trình tương tác giữa các đại lượng tiếp theo, giảm thiểu sự biến

phụ thuộc vào quá trình đứng trước hoặc đứng sau sẽ được coi là nhiễu, biến còn lại phải là biến điều
khiển.

3.2.2. Ví dụ thiết bị khuấy trộn liên tục
Sơ đồ thiết bị khuấy trộn liên tục được minh hoạ trên hình 3.2a. Sản phẩm được pha chế từ hai
dòng nguyên liệu có nồng độ chất X khác nhau. Yêu cầu công nghệ là duy trì thành phần sản phẩm ra
theo theo khối lượng của X như mong muốn, trong điều kiện thành phần của hai dòng vào có thể thay đổi
nhẹ. Ta sử dụng các ký hiệu sau đây:
ω
1
và ω
2
– lưu lượng khối lượng của hai dòng nguyên liệu (kg/s hoặc kg/phút)
http://www.ebook.edu.vn
47

x
1
, x
2
– Thành phần hai dòng nguyên liệu (phần khối lương của X)
ω – lưu lượng khối lượng dòng sản phẩm ra (kg/s hoặc kg/phút)
x – thành phần của sản phẩm ra (phần khối lượng của X)
h – mức chất lỏng trong bình tính bằng m.

a) b)
Hình 3.2: Hai ví dụ điều klhiển thiết bị khuấy trộn.
Qua phân tích các mục đích điều khiển và tìm hiểu lưu đồ công nghệ, ta có thể thấy ngay hai biến
cần điều khiển là thành phần x và giá trị mức h. Thành phần x liên quan tới chất lượng sản phẩm, trong
khi h liên quan đến sự vận hành ổn định và an toàn của hệ thống. Ta cũng dễ nhận ra lưu lượng ω

thiết bị gia nhiệt lần lượt được ký hiệu là T
C1
và T
C2
, nhiệt độ dòng gia nhiệt vào và ra được ký hiệu là
T
H1
và T
H2
. Lưu lượng khối lượng các dòng được ký hiệu là ω
C
và ω
H
.
http://www.ebook.edu.vn
48Hình 3.3. Ví dụ bài toán điều khiển thiết bị gia nhiệt.
Xét quan hệ nhân quả, ta có thể nhận ra trong quá trình gia nhiệt có hai biến ra là T
C2
và T
H2
. Tuy
nhiên từ yêu cầu công nghệ ta có thể thấy ngay biến ra duy nhất cần điều khiển là T
C2
. Nhiệt độ của dòng
gia nhiệt T
H2
có thể đo và phản hồi về để sử dụng trong thuật toán điều khiển, nhưng không có lý do gì

D
) và sản phẩm đáy (x
B
).
- Đảm bảo năng suất: Lưu lượng sản phẩm đỉnh (D) và lưu lượng sản phẩm đáy (B).
- Đảm bảo độ an toàn và ổn định: nhiệt độ và áp suất trong tháp (T, P). ω
http://www.ebook.edu.vn
49Hình 3.4. Ví dụ bài toán điều khiển tháp chưng luyện hai cấu tử.
Trên sơ đồ công nghệ ta thấy rõ 5 van điều khiển, tương ứng tương ứng với 5 biến điều khiển là
lưu lượng hơi nước (S), lưu lượng nước làm lạnh (ω), lưu lượng sản phẩm đỉnh (D), lưu lượng sản phẩm
đáy (B), lưu lượng hồi lưu (L). Như vậy B và D vừa là biến điều khiển hoặc biến cần điều khiển, tuỳ theo
yêu cầu cụ thể của công nghệ. Các biến còn lại liên quan đến nguyên liệu vào và đóng vai trò là nhiễu quá
trình, bao gồm lưu lượng F, nhiệt độ T
F
, thành phần z
F
và tỷ lệ hơi V
F
.
Trong ví dụ ta cũng cần đơn giản hoá rất nhiều và bỏ qua nhiều biến trung gian. Chẳng hạn ta
không để ý đến các biến trạng thái thể hiện mức và nhiệt độ tại các đĩa trong tháp, bỏ qua nhiệt độ hơi
nước và nước làm lạnh, bỏ qua nhiễu do tổn thất nhiệt.

3.3. Xây dựng các phương trình mô hình
Sau khi xác định được các biến và các tham số quá trình, bước tiếp theo là tìm cách xây dựng mối
quan hệ giữa chúng biểu diễn qua các phương trình mô hình. Các phương trình của một mô hình toán học
được phân ra làm hai loại phương trình cân bằng và phương trình cấu thành. Các phương trình cân

trong đó M
tích luỹ
là lượng tích luỹ bên trong hệ thống,
i
vao

là lưu lượng của dòng vào,
i
ra

là lưu lượng
của dòng ra khỏi hệ thống. Phương trình cân bằng toàn phần có thể biểu diễn theo đơn vị khối lượng hoặc
số lượng mol. Lưu ý rằng với một hệ thống ta chỉ có thể viết chính xác một phương trình cân bằng vật
chất toàn phần. Tại điểm làm việc (Điểm cân bằng), lượng tích luỹ bên trong hệ thống không thay đổi, vì
vậy ta có tổng lưu lượng vào đúng bằng tổng lưu lượng ra.
0


i
ra
i
vao

(3.2)
Trong hỗn hợp gồm nhiều cấu tử hoá học, định luật bảo toàn vật chất được áp dụng cho từng cấu
tử với lưu ý thêm về kết quả của các phản ứng hoá học. Phương trình cân bằng vật chất viết cho từng cấu
tử j (Còn gọi là phương trình cân bằng thành phần) được diễn đạt như sau:
dt
dM
dt

Quay lại ví dụ bình chứa chất lỏng trên hình 3.1. Trước khi xây dụng các phương trình mô hình ta
đưa ra 3 giả thiết:
- Các lưu lượng vào và lưu lượng ra không phụ thuộc vị trí quan sát.
- Khối lượng riêng chất lỏng mọi vị trí trong bình là như nhau.
- Lưu lượng ra phụ thuộc không đáng kể vào chiều cao chất lỏng trong bình.
Phương trình cân bằng vật chất cụ thể trong (3.1) được viết như sau:
FF
dt
Vd



00
)(
(3.4)
Trong thực tế ta có thể giả thiết thêm là khối lượng riêng của dòng vào không thay đổi đáng kể, có nghĩa
là 
0
=  = const, phương trình (3.4) trở thành:
http://www.ebook.edu.vn
51

FF
dt
dV

0
(3.5)

2. Ví dụ quá trình pha trộn trực lưu








3
1
1
1

,
A
F
l
F
l









3
2
2

52

A – tiết diện của bình chứa (m
2
, giả thiết là đều từ trên xuống dưới)
Mục đích đặt ra là thiết kế sách lược điều chỉnh, vì thế mô hình không đòi hỏi quá chi tiết. Trước
hết ta cũng đưa ra giả thiết là trễ vận chuyển có thể bỏ qua. Tiếp theo, quá trình khuấy trộn được giả thiết
là lý tưởng, có nghĩa là chất lỏng đồng nhất mọi vị trí trong thiết bị. Khối lượng riêng của hỗn hợp trong
thiết bị không thay đổi đáng kể.

Hình3.6. Ví dụ thiết bị khuấy trộn liên tục.
Phân tích các mục đích điều khiển ta được bảy biến quá trình. Hai biến ra là mức chất lỏng trong
bình h và thành phần x của sản phẩm, 5 biến vào bao gồm các lưu lượng vào–ra (ω
1
, ω
2
, ω) và thành phần
của các dòng vào (x
1
, x
2
). Trong đó hai biến ra là các biến cần điều khiển và hai lưu lượng vào (ω
1
, ω
2
) là
các biến điều khiển quá trình.
Trong ví dụ này, bên cạnh phương trình cân bằng vật chất toàn phần ta còn có một phương trình
cân bằng thành phần:


212211


Thay V = Ah và đưa các phương trình vi phân về dạng chuẩn, cuối cùng ta có










x
Ah
xx
Ahdt
dx
Adt
dh
)(
1
)(
1
)(
1
212211
21
