Ôn tập hình học 9
Phần 1. Những kiến thức cơ bản
Dạng 1. Sự xác định và tính chất cơ bản cuả đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa : Tập hợp hay còn gọi là quỹ tích các điểm cách điểm O một khoảng cho trớc một
khoảng không đổi R > 0 đợc gọi là đờng tròn tâm O bán kính R. Ta thờng kí hiệu là (O ; R)
2. Hình tròn là tập hợp các điểm ở bên trong một đờng tròn và ác điểm của chính đờng tròn đó
3. Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định bởi một đờng kính của nó. Nếu AB là một đoạn thẳng cho
trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp tất cả các điểm M sao cho
ã
0
AMB 90=
. Khi đó tam O
sẽ là trung điểm của AB, còn bán kính
AB
R
2
=
4. Qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng luôn vẽ đợc một đờng tròn và chỉ một mà thôi. Đờng tròn
đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5. Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung đó ra làm hai phần bằng nhau. Ngợc
lại, đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung( không đI qua tâm ) thì cuông góc với dây
cung đó.
6. Trong một đờng tròn, hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm O. Trong hai
dây cung không bằng nhau, dây cung nào lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho tứ giác ABCD có
à
à
0
C D 90+ =

nhất với đờng tròn đó. Điểm đó đợc gọi là tiếp điểm.
2. Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Ngợc lại, đờng thẳng vuông góc với
bán kính tại giao điểm của bán kính với đờng tròn là tiếp tuyến của đờng tròn .
3. Hai tiếp tuyến của đờng tròn xuất phát từ một điểm thì bằng nhau và đờng thẳng nối điểm này với
tâm với tâm đờng tròn là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
4. Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác đợc gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó. Tâm
của đờng tròn nội tiếp là giao của ba đờng phân giác trong của tam giác .

1
Ôn tập hình học 9
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Lấy AO
làm đờng kính vẽ nửa đờng tròn tâm O cùng phía
với nửa đờng tròn (O). Một cát tuyến bất kì qua A
cắt (O) và (O) lần lợt tại C và D.
a. Chứng minh C là trung điểm của AD và các
tiếp tuyến tại C và D với các nửa đờng tròn song
song với nhau.
b. Nêu cách xác định điểm C sao cho BC là tiếp
tuyến của (O).
C
O
A
B
D
O'
2. Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) nội tiếp đ-
ờng tròn (O). Gọi D là trung điểm của AC; tiếp
tuyến của đờng tròn (O) tại A cắt tia BD tại E. Tia
CE cắt (O) tại điểm thứ hai F.

B
C
Dạng 3. vị trí tơng đối của hai đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
Giả sử hai đờng tròn (O;R) và (O;r) có R

r và d = OO là khoảng cách giữa hai tâm. Khi đó mỗi vị
trí tơng đối giữa hai đờng tròn ứng với một hệ thức liên hệ giữa R và r nh sau :
Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ
1. Hai đờng tròn cắt nhau
2
R r < d < R + r
2. Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
- Tiếp xúc trong
- Tiếp xúc ngoài
1
d = R r
3. Hai đờng tròn không giao nhau
- ở ngoài nhau
- Đựng nhau
0
d > R + r
d < R + r
B. Chú ý :
Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm vuông
góc với dây cung chung và chia đôi dây cung này

B
A
O

và BD bằng nhau.
AC // CD
ằ
ằ
AC BD =

C
D
A
B
C. Bài toán ví dụ :

1. Cho đờng tròn tâm O và một điểm M ở ngoài đ-
ờng tròn . MA, MB là hai tiếp tuyến của đờng tròn
(O). C là một điểm trên cung AB của đờng tròn tâm
M bán kính MA ( cung AB nằm trong đờng tròn
(O)). Các tia AC, BC cắt đờng tròn (O) tại P, Q (
P A,Q B
). Chứng minh PQ đi qua O.

B
A
O
M
C
Q
P
2. Cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB, K là
điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB lấy
một điểm M (M khác K và B). Trên tia AM lấy

E
O
C
B
4. Tam giác ABC vuông tại A. M là một điểm trên
AC. đờng tròn đờng kính CM cắt BM và BC lần lợt
tại D và N; AD cắt đờng tròn nói trên tại S. Chứng
minh :
a. Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn
b. CA là phân giác của góc SCB
c. Các đờng thẳng AB, MN, CD đồng quy .

S
N
O
B
C
M
D
A
Dạng 5. góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đờng tròn (O) tạo nên một góc gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax
và dây cung AB.
2. Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung
bị chắn.
B. Bài toán ví dụ :
1. Cho đờng tròn (O) cà đờng thẳng d ở ngoài đờng
tròn. A là hình chiếu của O trên d. Kẻ cát tuyến
ABC và hai tiếp tuyến Bx, Cy cắt d lần lợt tại D,E.

cắt DM tại I, DM cắt AC ở E và cắt BC kéo dài ở F.
chứng minh :
a. Các tứ giác BCED và ADCF nội tiếp đợc trong
một đờng tròn.
b.
ã
ã
MEC ABC=
c. I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEC

x
E
I
D
O
A
B
M
C
F
Dạng 6. góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn giữa hai cạnh
của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.
2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn có số đo bằng một nửa hiệu của số đo hai cung bị chắn giữa hai
cạnh của góc đó.

A
C
D

E
B
M
C
D
A
Dạng 7. quỹ tích cung chứa góc.
A. Các kiến thức cần nhớ :
1. Quỹ tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc a không đổi là hai cung tròn đối
xứng nhau qua AB, gọi là cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB.
Đặc biệt cung chứa góc 90
0
là đờng tròn đờng kính AB
2. Dựng tâm O của cung chứa góc a dựng trên đoạn thẳng AB :
- Dựng đờng trung trực d của AB
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc a
- Sau đo dựng Ax vuông góc với Ax.
O là giao điểm của Ax và d.

d
x'
x
a
O
A
B
5
Ôn tập hình học 9
B. Bài toán ví dụ :
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, K là điểm chính

E
F
O
A
B
C
D
S
N
M
2. Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O). Đờng
tròn đờng kính BC cắt AB và AC lần lợt tại E và F,
BF cắt CE tại H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua
BC. Chứng minh :
a. K nằm trên đờng tròn (O).
b. EF vuông góc với OA.

x
F
E
O'
H
O
A
B
C
K
3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O).
Gọi điểm chính giữa của các cung AB, BC, CD, DA
lần lợt là M, N, P, Q.

b. Chứng minh I là trung điểm của EF
c. Gọi C là điểm đối xứng của B qua I. Chứng
minh tứ giác AECF nội tiếp đợc.

I
B
A
O
O'
E
C
F
2. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và một đ-
ờng thẳng d vuông góc với AB tại H. M là điểm di
động trên nửa đờng tròn . Giao điểm của d với MA,
MB lần lợt tại C, D.
a. Chứng minh HC.HD = HA.HB
b. Gọi B là điểm đối xứng của B qua H. Chứng
minh tứ giác ACDB nội tiếp .
c. Khi M di dộng trên cả đờng tròn (O) thì tâm I
của đờng tròn ngoại tiếm tam giác ADC chạy trên
đờng nào ?

d
B'
C
O
A
B
M

Ôn tập hình học 9
Chuyên đề 3. chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuông góc .
A. Ph ơng pháp: Dựa vào các dấu hiệu song song, vuông góc để chứng minh .
B. Các bài toán :
Chuyên đề 4. chứng minh ba điểm thẳng hàng .
A. Ph ơng pháp: Có ba phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh ba điểm thẳng hàng :
- Chứng minh hai đờng thẳng tạo thành từ ba điểm đã cho cùng vuông góc hoặc cùng song song với một
đờng thẳng nào đó.
- Lợi dụng hai góc kề bù.
- Chứng minh đờng thẳng vẽ qua hai điểm đi qua điểm thứ ba.
B. Các bài toán :
Chuyên đề 5. chứng minh ba đờng thẳng đồng quy .
A. Ph ơng pháp: Có ba phơng pháp th ờng dùng nhất để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy :
- Dựa vào tính đồng quy của các đờng trong tam giác .
- Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thẳng thứ ba.
- Chứng minh các đờng đều đi qua một điểm cố định.
( mỗi phơng pháp trên có thể đợc vận dụng bởi những kĩ năng khác nhau.)
B. Các bài toán :
Chuyên đề 6. chứng minh điểm cố định .
A. Ph ơng pháp:
- Di chuyển các điểm di động đến những vị trí đặc biệt để phán đoán ra điểm cố định và chứng minh
điều phán đoán.
- Để xác định vị trí đặc biệt của một yếu tố để một hình nào đó có dạng đặc biệt ta giả sử hình đặc biệt
đó hình thành sau đó tìm ra mối liên hệ với các hình cố định để tìm ra sự ràng buộc của yếu tố cần tìm.
B. Các bài toán :
Chuyên đề 7. toán cực trị.
A. Ph ơng pháp: Chứng minh một đoạn thẳng là lớn nhất hay nhỏ nhất thờng dựa vào các kết luận sau :
- Đoạn thẳng nối liền hai điểm nhỏ hơn bất kì đờng gấp khúc nào nối hai điểm đó ( BĐT tam giác )
- Nếu cho trớc một điểm ở ngoài một đờng thẳng thì đờng vuông góc ngắn hơn mọi đờng xiên cùng kẻ từ
điểm đó tới đờng thẳng.

c. Chứng minh điều ngợc lại là nếu H là trực tâm
của tam giác cân ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam
giác AHC tiếp xúc với AB.
3. Cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C, D là hai
điểm trên đó. AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa
đờng tròn lần lợt tại E và F.
a. Chứng minh
ã
ã
ã
ã
ABD AFB, ABC AEB.= =
b. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc.
c. Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là
tiếp tuyến của nửa đờng tròn .
d. Giả sử CD cắt Bx tại G, phân giác của góc CGE
cắt AE, AF lần lợt tại N, M. Chứng minh tam giác
AMN cân.
9