Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( )
( )








=∧
=++⇔=⇔⊥
==⇔=∧⇔=⇔
++=





=
=
=
⇔=
++=
=
±±±=±
−+−+−==

....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka
babababa

k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1
14. M là trung điểm AB







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC
++=∧=
∆
20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD

→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB
=
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AHSV
BCD
.
3
1

với (d): ta có
d
an
=
α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng 4.1)
 H là trung điểm của MM
/
2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
 H là trung điểm của MM
/

TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của α

n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B

2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A

.
.
nn
nn


=
),cos(
βα
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→
=
AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→

βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp
α
chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mpα chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mpα song song (d
/
) nên
α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d

chứa (d) và đi qua
■ Mp
α
chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp
α
đi qua
)(dM
∈
và A nên
α
bAM
=
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
2
//
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
°
],[ AM nvtpt
A qua
→
=
d
a






+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và α

11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d chéo d’
⇔
[
d
a

,
/
d

a
]
0
≠
và [
d
a

,
/
d
a
].
→
MN
=0
 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM

a
AMa
dAd
];[
),(
=
Kc giữa 2 đ ường thẳng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d
d
d
aa
MNaa
ddd
=
6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có vtpt

α
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (
∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp
α

α


=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α

d1
,
a

d2
]
+ Mpα chứa d
1
, (d)
; mp
β
chứa d
2
, (d)

⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =
α

∩

β

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK

1
// ∆ ; mpα
2
chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mpα qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ α
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d =
α

∩

β

Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến
mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, α:
tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mp
α
)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I
và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α
=−+−+−


tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
A,B,C,D
∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I
€ (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
4
MẶT CẦU
Hình học 12
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tiếp diện
α
của mc(S) tại A :
α
qua A,
→

α
α----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV:NBQ DLĐK
5