Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12

1. Hai đường thẳng song song
a) Đònh nghóa:
a b P
a b
a b
, ( )

⊂
⇔

∩ = ∅



b) Tính chất•

( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( )
( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c



⊃ ⊃ ⇒


≡ ≡



 
•

,
a b
a b
a c b c

≠
⇒



 

2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
d // (P)

d a
Q d Q P a

⇒

⊃ ∩ =


•

( ) ( )
( ) ,( )
P Q d
d a
P a Q a

∩ =
⇒



 

3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
(P) // (Q)
⇔

( ) ( )
P Q
P R P Q
Q R

≠

⇒



 


•

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Q R
P Q a a b
P R b


∩ = ⇒


∩ =



QUAN HỆ SONG SONGTài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Đònh nghóa: a
⊥
b
⇔


(
)
0
, 90
a b =
b) Tính chất

• Giả sử
u

là VTCP của a,
v

là VTCP của b. Khi đó
. 0
a b u v

(P)
b) Tính chất

•
••
•
Điều kiện để đường thẳng
⊥
⊥⊥
⊥
mặt phẳng:
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b

⊂ ∩ =
⇒
⊥

⊥ ⊥


•
a b
P b
P a
( )


⊥


•
P Q
P Q
P a Q a
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )

≠
⇒
(

⊥ ⊥



•
a P
b a
b P
( )
( )

⇒
⊥



Cho
( ), ( )
a P b P
⊥ ⊂
, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′

3. Hai mặt phẳng vuông góc

a) Đònh nghóa:
(P)
⊥
(Q)
⇔


(
)
0
90
P Q( ),( ) =

b) Tính chất
•
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:

( )
( ) ( )
( )
P a

a A a Q

⊥

∈
⇒
⊂


∋ ⊥


•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R

∩ =

⊥
⇒
⊥


⊥



•
Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

•
Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.

•
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

•
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

•
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

•
Chứng minh d // a và a
⊥
(P).

•
Chứng minh d
⊂
(Q) với (Q)
⊥
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

•


1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng:
a//a', b//b'
⇒


(
)

(
)
, ', '
a b a b
=
Chú ý:
0
0
≤

(
)
a b
,
≤ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

• Nếu d ⊥ (P) thì


(
)
,( )
d P
≤ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng


(
)

(
)
( )
( ),( ) ,
( )
a P
P Q a b
b Q

⊥
⇒
=

⊥



0 ( ),( ) 90
P Q≤ ≤

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác

Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H)
trên (Q), ϕ =

(
)
( ),( )
P Q
. Khi đó: S
′
= S.cos
ϕ

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)
bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
bằng khoảng cách từ
một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
I
I
I

2 2 2
AB AC BC
+ =

•

2 2
AB BC BH AC BC CH
. , .
= =

•

2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +•

AB BC C BC B AC C AC B
.sin .cos .tan .cot
= = = =b)
Cho
∆
ABC có độ dài ba cạnh là:

sin
sin
sin
===•
Công thức độ dài trung tuyến:

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 2 4
a b c
b c a c a b a b c
m m m; ;
+ + +
= − = − = −

2. Các công thức tính diện tích

a) Tam giác
:

•

cba
hchbhaS
.
2
1


•

prS
=

•

(
)
(
)
(
)
S p p a p b p c
= − − −•

∆
ABC vuông tại A: 2
S AB AC BC AH
. .
= =•

∆

2
S AB AD sinBAD AC BD
. . .
= =
f) Hình thang:
( )
hbaS
.
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
S AC BD
.
=
IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:

V abc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:

c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện
thêm vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:

OABC
OA B C
V
OA OB OC
V OA OB OC
' ' '
. .
' ' '
=

* Bổ sung
•
••
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
•
••
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh
với diện tích các đáy. Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng α (45

3
5 3
6
=

CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
Tính thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)

⇒

xy
V x y
2 2
4
12
= − −

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tính
thể tích tứ diện theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) lấy các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của
PQ, QR, RP. Chú ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=

. .
 
= = =
 
 
 

⇒

a
V
3
3 3
50
=

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB
= 7
3
cm. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 5cm.
Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 8. Cho hình tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
b) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có mp(ABC′) tạo với đáy một góc 45
0
và

a
V ; cos
ϕ
= =

Bài 14. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB
= a
3
và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính
theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và
DN.
HD:
3
3 5
3 5
a
V ; cos
ϕ
= =

Bài 15. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC
= a, cạnh bên AA’ = a
2
. Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng
trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B′C.
HD:
3
2 7
2 7
a a

. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách
từ H đến (SCD).
HD:
3
a
d
=

Bài 19. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm
O′ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB.
HD:
3
3
12
a
V =

Bài 20. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
2aAD
=
, SA = a và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là
giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SMB). Tính thể tích của khối tứ
diện ANIB.
HD:
3
2
36
a

1
và tính
khoảng cách d từ A đến (A
1
BM).
HD:
5
3
a
d =

Bài 23. (Dự bò 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc

(
)
0
60
SBC ABC( ),( ) =
, ABC và SBC
là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC).
HD:
3
13
a
d =
Bài 24. (Dự bò 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥
(ABCD). AB = a,
2aSA
=
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,

C
1
có đáy ABC là tam giác vuông,
AB = AC = a, AA
1
=
2a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng
minh MN là đường vuông góc chung của AA
1
và BC
1
. Tính thể tích của tứ diện
MA
1
BC
1
.
HD:
3
2
12
a
V =

Bài 27. (Dự bò 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A

Chứng minh AC'
⊥ (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
HD:
3
3
16
a
V =

Bài 29. (Dự bò 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
.
Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
3
3
a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
HD:
3
10 3
27
V a
=

Bài 30. (Dự bò 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,


Bài 32. (Dự bò 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH
là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng
(SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:
3
2 2
2
3
16
a b
V
a b
.=
−

Bài 33. (Dự bò 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a và điểm K
thuộc cạnh CC′ sao cho CK =
2
3
a
. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD,
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
3 3
1 2
2
3 3
a a
V V;= =


b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng
2
1
2 2
a
cot
α
−

c) Tính thể tích khối chóp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a
cot
α
c) V =
3 2
1
1
6 2
a cot
α
−

Bài 2. Cho hình chóp SABC có 2 mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy. Đáy ABC
là tam giác cân đỉnh A. Trung tuyến AD = a. Cạnh bên SB tạo với đáy góc α và tạo
với mp(SAD) góc β.

cos sin
β
α β
α β
α β
+ +
−
−

V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−

Bài 3.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động
trên đường thẳng BC.
a) Chứng minh rằng SH ⊥ (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD.
b) Tìm tập hợp các hình chiếu của S lên DM.
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM.
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2 2
2 2
7 4 4

3
16
45
a

Bài 5.
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
SA, SB, SC, SD lần lượt tại A′, B′, C′, D′. Chứng minh:

SA SC SB SD
SA SC SB SD
+ = +
′ ′ ′ ′

HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài 6.
Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đường cao SH.
a) Chứng minh SA ⊥ BC.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp SABC.
ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a

HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
α
α
−
; V =
3
2
4
3 1
h
(tan )
α
−

Bài 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0
≤ x ≤ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông,
người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết x

2
=
2
2 2
a
cos sin
α β
−
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
2 2
3
a sin .sin
(cos sin )
α β
α β
−

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).
Bài 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB
= AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a .
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/236
Hình học 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

BCC
′
B
′
hợp với mặt bên ABB
′
A
′
một góc
α
.
a) Xác đònh góc
α
.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
3 3
8
a
sin
sin
α
α
.
HD: a)

C BI
′ ′
với I

, S
xq
=
2 2
4 1
h tan
α
−
.
Bài 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A
′
B
′
C
′
, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA
′
đến
mặt bên BCC
′
B
′
bằng a, mp(ABC
′
) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc
α
.
a) Dựng AH
⊥
BC, CK


Bài 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC
′
và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6

Bài 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2
mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là
α
. Tính diện tích xung quanh hình lăng
trụ.
HD: S

AJI
=
α
.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/236
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Hình học 12
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
4 3
a
tan
α
−
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
α
−
.
Bài 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B

tp
=
2
7 3 21
6
a
( )
+

Bài 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB
′
A
′
là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC
′
A
′
hợp với đáy góc nhò diện có số đo
α
(0 <
α
< 90

sin
α
c) S
xq
= a
2
(1 + sin
α
+
2
1
sin
α
+
)
Bài 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A
′
B
′
C
′
đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A
′
lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho

BAA
′
= 45
0

ϕ
.
a) Tính thể tích lăng trụ.
b) Gọi
α
là góc giữa 2 mp(ABB
′
A
′
) và (ABC) (0 <
α
< 90
0
).
Tính
ϕ
biết
α
+
ϕ
= 90
0
.
HD: a) V =
3 3
2
2
3 1
d tan
tan

′
nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc
α
.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC
′
B
′
). Xác đònh góc
α
.
b) Tính thể tích lăng trụ.
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
∆
ABC; vẽ KH
⊥
BB
′
.

AHK
=
α
.
b) V =

.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết

BA D
′
= 1v. Tính thể tích hình hộp.
HD: a) S
xq
= 2
2 2
1 2
S S
+
b) V =
1 2
2 2
4
2 1
2
2
S S
S S
.
−

Bài 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
′
B
′

cos( ).cos( )
α β α β
+ −

c) Tìm hệ thức giữa
α
,
β
để A
′
D
′
CB là hình vuông. Cho d không đổi,
α
và
β
thay đổi
mà A
′
D
′
CB luôn là hình vuông, đònh
α
,
β
để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
α
– sin

xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của
đáy. Cho BB
′
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3
3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
Bài 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và

BAD

(
)
ABB A ABCD
,
′ ′
. Tính
α
biết
α
+
β
=
4
π
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.
b) S
BDD
′
B
′
=
2
3
3
a
sin
α
; S
ACC


·
=
a
o
4 Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 , AB' hợp với đáy
(ABCD) một góc . Tính thể tích của hình hộp .

^
a
5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA (ABC) . Mặt bên (SBC) tạo với
mặt phẳng đáy một góc . Tính thể tích khối chóp .

a6 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng a và các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc .
Tính thể tích của khối chóp .

o
a 3
7 Khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , BC = a ; SA = SB = SC = và
2
mặt bên SAB hợp với đáy một góc 60
a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) .
c) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

c) Gọi M là trung điểm AB
D
8 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông cân AB = BC = a . Gọi B' là
trung điểm của SB , C' là chân đường cao hạ từ A của SAC .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC .

14 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể
tích của khối chóp tứ giác đều .
a

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 15/236·
= a a
15 (YHN-2000) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh
đáy AB = a và SAB . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và

16 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao bằng a và các mặt bên là tam giác cân có góc ở
đỉnh bằng .a

17 Tính thể tích của khối tám mặt đều có cạnh bằng a .
18 Cho hình lập phương có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của
các mặt hình lập phương

19 Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng a . Tính thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đều
·
=
o
a 5
20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , BAD 60 , SA = SC = , SB = SD.
2
a) Tính thể tích của khối chóp .
^

¢ ¢ ¢
D
¢ ¢ ¢
¢
o
o

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho .

^
7 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a ,
AA' (ABC) . Tính thể tích của khối ABCC'B' .
¢ ¢ ¢
o
8 Cho lăng trụ xiên ABC.A B Ccó đáy là tam giác đều cạnh a .Hình chiếu vuông góc của A lên mp
(ABC) trùng với trung điểm I của BC , cạnh bên tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích của khối lăng
trụ này .

o
9 (BT20-P28sgk) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A'
cách đều ba điểm A,B,C , cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 .
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó .
b) Chứng minh rằng mặt bên BCC'B' là một hình chữ nhật .
c) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ .

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 16/236

b
o
2 2
a) Chứng tỏ rằng BIC là tam giác vuông cân .
b) Chứng minh : tan + tan 1a b =1 Cho hình chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là tam giác đều nằm trong hai mặt phẳng vuông góc
nhau . Biết BC = a , tính thể tích của khối chóp S.ABC .
3
a
ĐS : V =
8
2 Cho hình chóp S.ABC có SA AB, SA BC , BC AB . Biết AB = BC a 3, SA = a .Tính the
å
tích của khối chóp S.ABC .
^ ^ ^ =
3
a
ĐS : V =
2
3 Một khối chóp tam giác có các cạnh đáy bằng 6,8,10 . Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với
đáy góc 60 . Tính th
o
ể tích khối chóp đó . ĐS : V = 16 3

µ
a 3
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , A 60 , SA = SB = SD = .
2
6 Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a , tam giác ABC vuông ở C có ca
ïnh huyền AB = 2a . Gọi
H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .
a) Tính thể tích của khối chóp
3
H.ABC
a 3
H.ABC . V
7
b) Chứng minh rằng : AH SB và SB (AHK) .
c) Tính thể tích khối chóp S.AHK .
=
^ ^
3
H.ABC
2a 3
V
21
7 Tính thể tích của khối hộp ABCD.A B CD . Biết khối chóp C.CB D là một tứ diện đều cạnh a .

=
¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢
3
a 2
V =
2

¢ ¢ ¢ ¢ ¢

2
SBD
AB= a.
a) Tính diện tích SBD theo a .
b) Chứng minh rằng : BD SC .
c) Tính (SC,(SBD)).
d) Tính thể tích hình chóp .
a 3
Đáp số : a) S c) HS
2
D
^
=
·
3
S.ABCD
2 2 a
C = arccos d) V
3 3
=

3
11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A B C có chiều cao h và hai đường thẳng B C,BC vuông góc với nhau .
h 3
Tính thể tích lăng trụ đó. V=
4
¢ ¢ ¢ ¢ ¢

1
12 Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CM = CD . Tính tỉ số thể tích của hai tứ

, tính góc của mp(AMN) và mặt đáy của lăng trụ .
Bài 02: Cho lăng trụ xiên ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy ABC là tam giác đều tâm O và hình chiếu của C
/
trên đáy
(ABC) trùng với O. Cho khoảng cách tư ø O đến CC
/
là a và số đo nhò diện cạnh CC
/
là 120
0
.
a) Chư ùng minh mặt bên ABB
/
A
/
là hình chữ nhật.
b) Tính thể tích lăng trụ .
c) Tính góc của mặt bên BCC
/
B
/
và mặt đáy ABC.
Bài 03: Cho hình hộp ABCDA
/

b) Lấy điểm M trên BC. Mặt phẳng MB
/
D cắt A
/
D
/
tại N. Chư ùng minh MN

C
/
D.
c) Tính góc của hai mặt phẳng (A
/
BD) với mặt phẳng (ABCD).
Bài 05: Cho hình lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
có đư ờng chéo bằng a
a) Dư ïng và tính đoạn vuông góc chung của hai đư ờng thẳng AC và DC
/
.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác A
/
C
/

.
b) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
c) Điểm M lư u động trên SC. Tìm quỹ tích hình chiếu của S xuống mặt phẳng MAB.
Bài 08: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy a và góc giư õa hai cạnh bên kề nhau là

.
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp trong hình chóp .
c) Tính diện tích của thiết diện giư õa hình chóp và mặt phẳng qua AB và vuông góc với SC.
Bài 09: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền là a và một góc nhọn 60
0
. Mặt bên qua
cạnh huyền vuông góc với đáy, mỗi mặt còn lại hợp với đáy góc

.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Tốn THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 19/236
a) Tính thể tích hình chóp này .
b) Một mặt phẳng qua cạnh đáy và cắt cạnh bên đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với 2 và 3 . Tìm tỉ số thể tích
của hai phần của hình chóp do mặt phẳng ấy tạo ra .
Bài 10: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có trung tuyến AD = a và hai mặt bên SAB
và SAC vuông góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với đáy một góc

và hợp với mặt phẳng SAD góc

.
a) Tính thể tích hình chóp .
b) Tính khoảng cách tư ø A đến mặt (SBC).
Bài 11: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABCvuông tại A và góc C = 60
0

.
a) Tính thể tích của hình chóp.
b) Gọi I và J là điểm giư õa của AB và BC. Mặt phẳng qua IJ và vuông góc với đáy chia hình chóp thành hai
phần. Tính thể tích của hai phần này .
Bài 15: Lấy điểm C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn đư ờng kính AB = 2R và H là hình chiếu của C lên AB.
Gọi I là trung điểm của CH. Trên nư ûa đư ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng của nư ûa đư ờng tròn tại I ta lấy
điểm D sao cho góc ADB bằng 90
0
. Đặt AH = x.
a) Tính thể tích của tư ù diện DABC theo R vàx . Tính x để thể tích này lớn nhất .
b) Xác đònh tâm I và tính hình cầu ngoại tiếp tư ù diện AIBD.
c) Chư ùng minh khi C lư u động trên nư ûa đư ờng tròn thì tâm hình cầu ở câu b chạy trên đư ờng thẳng cố đònh.
Bài 16: Đáy của hình chóp là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Mặt bên qua cạnh huyền
vuông góc với đáy, mỗi mặt bên còn lại tạo với đáy góc 45
0
.
a) Chư ùng minh rằng chân đư ờng cao hình chóp trùng với trung điểm cạnh huyền.
b) Tính thể tích và diện tích toàn phần hình chóp.
Bài 17: Cho hình lập phư ơng ABCD.A
/
B
/
C
/
D
/
. Gọi O làgiao điểm các đư ờng chéo của ABCD. Biết OA
/
= a.
a) Tính thể tích hình chóp A

b) Tính góc do mặt bên tạo với đáy.
c) Xác đònh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tính bán kính mặt cầu đó .
Bài 20: Một lăng trụ ABC.A
/
B
/
C
/
có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB
/
= a, chân đư ờng vuông góc
hạ tư ø B
/
xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC .
a) Tính góc giư õa cạnh bên và đáy và tính thể tích của lăng trụ .
b) Chư ùng minh rằng mặt bên AA
/
C
/
C là hình chư õ nhật.
Bài 21:
Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng ( α) đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt đáy hình nón
một góc 60
0
, đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB
có số đo bằng 60
0
. Tính diện tích thiết diện SAB.
Bài 22: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = 2a và SA vng góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của

0
, gọi

ASB = α; tìm α để góc nhị diện (SC) bằng 60
0
.
Bài 29:
Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
cạnh a. Gọi O
1
là tâm của hình vng A
1
B
1
C
1
D
1
. Tính thể tích
khối tứ diện A
1
B
1

0
. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B trên SA, SC.
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABC
b. Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc một mặt cầu, xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 34: Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng ( α ) song song với AD và BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB tương
ứng tại các điểm M, N, P, Q.
a. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b. Xác định vị trí của để cho diện tích của tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SD = a.
a. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
b. Tính cosin của góc nhị diện (SAB,SAD)
Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao
cho:
2
SM SN
BM DN
 
.
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số
SP
CP
.
b. Tính thể tích hình chóp S.AMNP theo thể tích V của hình chóp S.ABCD.
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC, SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.
a. Tính thể tích hình chóp theo x, y.
b. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?
Bài 38: Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận AB = a, (a > 0) là đoạn vuông góc
chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho AM = BN = 2a. Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.
Bài 39: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B

Cho tứ diện O.ABC có cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC = a. Kí hiệu
K, M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của
CE với mặt phẳng (OMN).
a) Chứng minh rằng: CE vuông góc với mặt phẳng (OMN).
b) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a.
Bài 44: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD =
6a
. Chứng minh mp(SAB) vuông góc với mp(SAC).
Bài 45:
Cho tứ diện ABCD với tâm diện vuông đỉnh A. Xác định vị trí điểm M để: P = MA + MB + MC + MD
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 46: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA
1
= a. Tính cosin của góc
giữa 2 mặt phẳng (ABC
1
) và (BCA
1
).
Bài 47: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M, N là trung điểm AB và AC.
a) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SAC) và (SBC).
b) Tính cosin góc giữa 2 mặt phẳng (SMN) và (SBC).

a) Xác định thiết diện của lăng trụ với mp (P) qua MN và vuông góc với mp(BCC
1
B
1
). Thiết diện là hình gì.
b) Tính diện tích thiết diện.
Bài 53:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M; N lần lượt là trung điểm SA và
BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23/236
Bài 54: Trong mặt phẳng (P), cho một hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên đường
thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Tính theo a thể tích hình cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
Bài 55: Cho tứ diện ABCD có
= 2, AB = BC = CD = DA = DB = 1AC
.
a. Chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác vuông .
b. Tính diện tích toàn phần của tứ diện ABCD.
Bài 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC = 2a.
Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho
= = 2
SM SN
SB SD
. Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P .Tính thể tích
hình chóp S.MANP theo a
Bài 57: Cho lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A’C, D]

b. Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn có : OA + OB + OC + AB + BC + CA = k không đổi.
Hãy xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC.
Bài 66: Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm
trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng
hình vuông tạo với đáy của hình trụ một góc 45
0
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 67: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mặt
phẳng (P) đi qua điểm M và chứa đường chéo A'C' của hình vuông A'B'C'D'.
a. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng (P) .
b. Mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành hai khối đa diện hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa
diện đó gấp đôi diện tích của khối đa diện kia.
Bài 68: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình
chóp bằng nhau và bằng
2a
.
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 24/236
a. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD
b. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SC, SD. Chứng minh rằng SN vuông góc với
mặt phẳng (MEF).
c. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Bài 69: Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông
aACAB 

tạo với nhau một góc 45
0
.
Bài 72:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a :
a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AD' và B'C'.
b. Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỉ số AM:MD = 3. Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến mp (AB'C).
c. Tính thể tích tứ diện A.B'D'C'.
Bài 73: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C bán kính a, chiều cao
3
=
4
h a
; và cho hình chóp đỉnh S, đáy
là một đa giác lồi ngoại tiếp C.
a. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp (mặt cầu ở bên trong hình chóp, tiếp xúc với đáy và với các mặt bên
của hình chóp).
b. Biết thể tích khối chóp bằng 4 lần thể tích khối nón, hãy tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Bài 74: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các cạnh SB, SD sao
cho
3
BN
SN
BM
SM

.
a. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số
SP
CP