Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11

I. HỆ THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:

OP
OQ
AT
BT
cos
sin
tan
' cot
α
α
α
α
=
=
=
=

Nhận xét:


Giá trị lượng giác
I II II IV
sin
α

+ + – –
cos
α

+ – – +
tan
α

+ – + –
cot
α

+ – + –

3. Hệ thức cơ bản:
sin
2
α
+ cos
2
α
= 1; tan
α
.cot

sin( ) sin
α α
− = −

cos( ) cos
π α α
− = −

cos sin
2
π
α α
 
− =
 
 

tan( ) tan
α α
− = −

tan( ) tan
π α α
− = −

tan cot
2
π
α α
 

sin
tang

p
A

M

Q

B

T'

α
αα
α
T

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 1/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt


cos sin
2
π
α α
 
+ = −
 
 

tan( ) tan
π α α
+ =

tan cot
2
π
α α
 
+ = −
 
 

cot( ) cot
π α α
+ =

cot tan
2
π

3
2
π

2
π

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2

2
2
−

–1 0 1
tan 0
3
3

1
33
−

–1 0

0
cot

3

1
3
3

0
3
3

+
+ =
−

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+ Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
   
− +
   
−
= =
−2. Cơng thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t =
tan
2
α
:
Đặt:
t k
tan ( 2 )
2
α
α π π
= ≠ +
thì:
t
t
2
2
sin
1
α
=
+
;
t
t

2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 

cos cos 2 cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =cos cos 2sin .sin
2 2

cos .cos
a b
a b
a b
−
− =sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =

sin cos 2.sin 2.cos
4 4
π π

α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=
+

3
3
3
2
sin 3 3sin 4sin
cos3 4 cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−

.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π

* y = sin(f(x)) xác định
( )
f x
⇔
xác định.

cos
y x
=
: Tập xác định D = R; Tập giá trị
1, 1
T
 
= −
 
; hàm chẵn, chu kỳ
0
2
T =
π
.

=
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π

* y = tan(f(x)) xác định
( )
f x
⇔

( )
2
k k Z
≠ + ∈
π
πcot
y x
=
: Tập xác định
{
}
\ ,

2
Thì hàm số
1 2
( ) ( )
y f x f x
= ±
có chu kỳ T
0
là bội chung nhỏ nhất của T
1
và T
2
.
CHƯƠNG I

HÀM SỐ LƯNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/240.

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 Bài 1. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
a)
2
sin

f)
tan
6
y x
 
= −
 
 
π

g)
cot
3
y x
 
= +
 
 
π
h)
sin
cos( )
x
y
x
=
−
π
i) y =
1

cos 2sin 2
y x x
= + +
f)
4 2
sin 2 cos 1
y x x
= − +

g) y = sinx + cosx h) y =
3 sin 2 cos2
x x
−
i) y =
sin 3 cos 3
x x
+ +

Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a) y = sin2x b) y = 2sinx + 3 c) y = sinx + cosx
d) y = tanx + cotx e) y = sin
4
x f) y = sinx.cosx
g) y =
sin tan
sin cot
x x
x x
−
+

sin 2 cos
2
x
y x
= +
e)
tan cot 3
y x x
= +
f)
3 2
cos sin
5 7
x x
y
= −

g)
2sin . cos3
y x x
=
h)
2
cos 4
y x
=
i) y = tan(
−
3x + 1)
HD: a)

0
của hàm số.
– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T
0
có thể chọn:

0
0,
x T
 
∈
 
hoặc
0 0
,
2 2
T T
x
 
∈ −
 
 
.
– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ
v k T i
0
. .
=

ngun phần đồ thị y = f(x) ở phía trên trục hồnh và lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx.
– Tập xác định: D = R.
– Tập giá trị:
1, 1 .
 
−
 

– Chu kỳ: T = 2.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π

– Tịnh tiến theo véctơ
2 .
v k i
=
 
π

 
π

– Tịnh tiến theo véctơ
2 .
v k i
=
 
π
ta được đồ thị y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
1

3
2
π
−
−π
2
π
−
0


−
0

2
π
3
2
π

π

2π

5
2
π
y = cosx

–1
y

x
x 0
2
π

π


3
2
π

2
π

y
0 –1

0
1

1

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 6/240.

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11
2
lim
x
y
→±
= ∞
π:
2
x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = .
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 
 
π π
:
– Tịnh tiến theo véctơ
.
v k i

0,
 
 
π
:
– Tịnh tiến theo véctơ
.
v k i
=
 
π
ta được đồ thị y = cotx.
Nhận xét:
– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số ln giảm trên tập xác định D.
x
2
π
−

0 +
∞

–
∞

x
y

3
2
π
ππ
π
−
−−
−


5
2
π
ππ
π
y = tanx

x
y

2
− π
− π− π
− π

3
2
π
ππ
π


2
π
ππ
π

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 7/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx.
– Vẽ đồ thị y = sinx.
– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đối xứng qua Ox.

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = 

sinx



sin , nếu sin x 0
sin
-sin x, nếu sin x < 0.
x
y x


y
x
–2

3
2
π
ππ
π
−
−−

π
ππ
π
−
−−
−
y = –sinx

1

–1
π
ππ
π
2
π
ππ
π
−
−−
−
3
2
π
ππ
π
2

2
π

2
π

y = cosx
1
0 –1

0
1
y = 1 + cosx

2

1
0 1
2
2
π

2
π
ππ
π
y = cosx
2

1

–
1

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/240.

Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Đại số 11 Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x.
– y = sin2x có chu kỳ T =
π

– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
O

y

x
2
π
ππ
π
4
π
ππ
π
1
2
π
ππ
π
4
π
ππ
π

π
ππ
π
−
−−
−
4
π
ππ
π
1

3
2
π
ππ
π
2
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y = sin2x

–
1

y = sin2x

0 –1

0
1
0

x
2
π
−

4
π
−

0
4
π

2
π

2x
−π


 
 
π
có chu kỳ T =
2
π
.
π

3
4
−
π

2
π
−

4
π
−

0
4
π

2
π

3
4
π

π

x
4

π

y sin x
4
π
 
= +
 
  2
2
−

–1

2

π

3
4
π
−

2
π
−

4
π
−

0
4
π

2
π

3
4
π

π

x
4

3
4
π

y cos x
4
π
 
= −
 
  2
2
−

–1

3
2
π
ππ
π
O

y

x
−π
−π−π
−π

3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
4

π
ππ
π
y = sin x
4
π
ππ
π
 
  
 
+
++
+
 
  
 
 
  
 

1

2 / 2
2 / 2
−
−−
−
–1


Ví dụ 13: Vẽ đồ thị
cos sin 2 cos
4
y x x x
 
= − = +
 
 
π
có chu kỳ T =
2
π
.
2
π

3
4
π

π

x
4
π
+

3
4
π
−

2
π
−

4
π
−

0
4
π

0
2
2

1
2
2

0
2
2
−

2 sin x
4
π
 
+
 
 

–1

2

1 0

1
21 0

1

3
2
π
ππ
π
O

y

x

−π
−π−π
−π

π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π

5
4
π
ππ
π
7
4
π
ππ
π
y = 2 sin x
4
π
ππ
π
 
  
 
+
++


3
4
π
ππ
π
−
−−
−
2
π
ππ
π
−
−−
−
−π
−π−π
−π
5
4
π
ππ
π
3
2
π
ππ
π
π

π

3
4
π
−

2
π
−

4
π
−

0
4
π

2
π

3
4
π

π

cosx –1
2


1
2
2

0
cosx – sinx –1 0 1
2

1 0 –1
2
−

–1
cosx sin x
−1
0

1
21



– Chu kỳ T =
π
.
−π
o
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y = cosx – sinx
2
1
1
−
−−
−

−π−π
−π
o
4
π
ππ
π
2
π
ππ
π
3
4
π
ππ
π
π
ππ
π
5
4
π
ππ
π
y = 

cosx – sinx


2


tanx
||
3
−

–1
3
3

0
3
3

1
3

||
cotx 0
3
3
−

–1
3
−

||
3


–∞

+
∞4 3
3

2

4 3
3

+
∞x

y

−

6
π
ππ
π
−
−−
−

6
π
ππ
π
4
π
ππ
π
3
π
ππ
π
2
π
ππ
π
O

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/240.


b)
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
= − ≤ ≤

= +
= ⇔ ∈

= − +

π
π π

c)
sin sin sin sin( )
u v u v
= − ⇔ = −

d) sin cos sin sin
2
u v u v
 
= ⇔ = −
 

x x k k Z
= − ⇔ = − + ∈
π
π2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z
= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈
π
π2. Phương trình cosx = cosα
αα
α
a)
cos cos 2 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ± + ∈
α α π

b)
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
= − ≤ ≤

cos 0 ( )
2
x x k k Z
= ⇔ = + ∈
π
πcos 1 2 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ∈
π

cos 1 2 ( )
x x k k Z
= − ⇔ = + ∈
π π2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )
x x x x x k k Z
= ± ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈
πII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

e) tan cot tan tan
2
u v u v
 
= − ⇔ = +
 
 
π

Các trường hợp đặc biệt:

tan 0 ( )
x x k k Z
= ⇔ = ∈
π

tan 1 ( )
4
x x k k Z
= ± ⇔ = ± + ∈
π
π4. Phương trình cotx = cotα
αα
α

cot cot ( )
x x k k Z

( ).
2
x k k Z
≠ + ∈
π
π

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện:
( )
x k k Z
≠ ∈
π

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện
( )
2
x k k Z
≠ ∈
π

* Phương trình có mẫu số:
•
sin 0 ( )
x x k k Z
≠ ⇔ ≠ ∈
π

•
cos 0 ( )
2
Bài 1. Giải các phương trình:
1)
cos 2 0
6
x
 
+ =
 
 
π
2)
cos 4 1
3
x
 
− =
 
 
π
3)
cos 1
5
x
 
− = −
 
 
π

( )
1
sin 3 1
2
x
+ =
8)
( )
0
2
cos 15
2
x − =
9)
3
sin
2 3 2
x
 
− = −
 
 
π

10)
1
cos 2
6 2
x
 

− =
 
 
π
15) cos(2x + 25
0
) =
2
2
−

Bài 2. Giải các phương trình:
1)
x x
sin(3 1) sin( 2)
+ = −
2) cos cos 2
3 6
x x
   
− = +
   
   
π π

3)
cos3 sin 2
x x
=
4) x x

   
π π
8) cot 2 cot
4 3
x x
   
− = +
   
   
π π

9)
x x
tan(2 1) cot 0
+ + =
10) x x
2
cos( ) 0
+ =

11) x x
2
sin( 2 ) 0
− =
12) x x
2
tan( 2 3) tan 2
+ + =
13)
2


II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Nếu đặt:
2
sin sin : 0 1.
t x hoặc t x thì điều kiện t
= = ≤ ≤Dạng Đặt Điều kiện
2
sin 0
asin x b x c
+ + =

t = sinx
1 1
t
− ≤ ≤

2

≠ ∈
πTài liệu lưu hành nội bộ Trang 15/240.
Đại số 11 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
(
)
2
tan 1 3 tan 3 0
x x
+ − − =

5)
(
)

( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =

5)
3
cos
x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan
x
+
= 0
7)
2
1
sin
x
= cotx + 3 8)
2
1

)
0 ; 2
π
.
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc
(
)
;
−
π π
.
Bài 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
   
   
π π
.

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho

+ =
+
α α2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
⇔ − = =
+
α β

• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+

• (2)
2 ( )
x k k Z
⇔ = ± + ∈
α β π


t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)
b c t at c b+ − + − =
Vì
2 0,
x k b c
≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .
a c b a b c
= − − ≥ ⇔ + ≥
∆

Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t
=

sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin3 2
x x+ =
4)
sin cos 2 sin 5
x x x
+ = 5)
(
)
(
)
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0
x x
− − + + − =

6)
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 
 
π

Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)

+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Bài 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
4
x
 
+
 
 
π
+ sin
4
x
 
−
 
 
π
=
3 2
2
2)
3 cos2 sin 2 2sin 2 2 2


• Khi
cos 0
x
≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0
x
≠
ta được:

2 2
.tan .tan (1 tan )
a x b x c d x
+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

2
( ) . 0
a d t b t c d
− + + − =

Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc
1 cos2 sin 2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +

4sin 3 3 sin .cos 2cos 4
x x x x
+ − =

4)
2 2
1
sin sin2 2cos
2
x x x
+ − =

5)
(
)
(
)
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1
x x x x
+ + − = −

6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2
x x x x
+ + =

7)
2 2

2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1)
3 2 3
sin 2sin .cos – 3cos 0
+ =
x x x x 2)
2
2 1
3 sin .cos sin
2
x x x
−
− =

3)
x x x x x x
3 2 2 3
sin 5sin .cos 3sin .cos 3cos 0
− − + =

cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
 
= ± = ≤
 
 
∓
π2 2
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t
⇒ = ± ⇒ = ± −

•
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này
tìm t thỏa
2.
t ≤
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
•

cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x

∓
π2
1
sin .cos ( 1).
2
x x t
⇒ = ± −

•
Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài 1.
Giải các phương trình:
1)
( )
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
− + + =
2)
(
)
2 sin cos 3sin 2 2
x x x
+ + =

3)
(

)
( )
1 2 1 sin cos sin 2
x x x
− + − =
4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0
5) sin2x +
2 sin 1
4
x
 
− =
 
 
π

6)
( )
(
)
2
sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0
x x x x
− − + − + =

Bài 3.
Giải các phương trình:
1) sin
3
x + cos

2
3x =
3
2

3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2
Bài 2.
Giải các phương trình sau:
1) sin
6
x + cos
6
x =
1
4
2) sin

x = cos2x 4) sin2x = 1 +
2
cosx + cos2x
5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos
2
x
7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin
2
3x
8) sinx + sin2x + sin3x =
2
(cosx + cos2x + cos3x)
Bài 4.
Giải các phương trình sau:
1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0
3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x
4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1
Bài 5.
Giải các phương trình sau:
1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x
3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos
2
2x = sin
2
2x + sinx
Bài 6.

a) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
i)
2sin 1
1 cos
x
y
x
−
=
−
. ii)
1
3 cot 2 1
y
x
=
+
.
b)

Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
2 2
2 3sin cos cos 1
x x
y x= − +

Bài 2: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)


x
x
−
+ = . c)
( )
6 6
10 10
2 2
1 sin cos
sin cos
4 sin 2 4cos 2
x x
x x
x x
+
+ =
+
.
b)

2
sin (1 tan ) 3sin (cos sin ) 3x x x x x+ = − + d) sin 3 os3 2cos 0x c x x+ + =Bài 4: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

6 6 4 4
1
sin cos (sin cos ) cos 2

a)

(
)
0
2sin 45 3x + = − . b)
sin cos 2 0
3
x x
π
 
− + =
 
 
.
b)

cos2 3sin 2x x+ = . d) cos 2 sin cos3 cos 0x x x x+ + = .
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:

a)

3
cos 2 3 cos 2 3
2
x x
π
 
− − =

sin 5 sin 3 2sin 2 7 8sin
4 2
x
x x x
π
 
− − + = −
 
 
. Tìm các nghiệm của
phương trình thoả mãn điều kiện
1 3x − <ĐỀ 3
Bài 1: (2 điểm)

a)

Tìm tập xác định của hàm số:
1
sin 2 cos
y
x x
=
−

b)

Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)

cos5 sin 4 cos3 .sin 2
x x x x
= , với
0;
2
x
π
 
∈
 
 
c)
1 3 cos3 1
tan 2
2sin 2 sin 2
x
x
x x
π
−
 
+ − =
 
 

a)

Tìm tập xác định của hàm số:
1
1 cos2
2tan 2
3
y x
x
π
= + −
 
−
 
 
.
b) Tìm tập giá trị của hàm số:
4 4
sin cos 1y x x= + +
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

3
2sin 2 0
4
x
π
 
− − =
 

1 cot 2x cot
2 sin cos 3
cos
x
x x
x
+
+ + = d)
1 2cos
2 2 sin
cos (sin cos ) sin cos
x
x
x x x x x
= +
− −

Bài 4: (1 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1 1 1
sin sin 2 sin 3 sin 4
2 3 4
y x x x x= + + + với
0 x
π
≤ ≤ĐỀ 5
Bài 1: (2 điểm)
a) Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

cos(2 30 ) cos( 60 ) 0x x+ + − =
b)

2
1
cos 3
6 2
x
π
 
− =
 
 
d)
1
3sin cos
cos
x x
x
= −
Bài 3: (3,5 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)

2 2
1 sin sin cos sin 2cos
2 2 4 2
x x x
x x
π

x x
y
x
+
=
−
.
b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
4 2 4 2
sin (1 sin ) cos (1 cos )y x x x x= + + +
Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

3 cot 2 1 0
3
x
π
 
− + =
 
 
. c)
sin 3 cos 2 0
4 3
x x
π π
   
− + − =
   
   

−

b)

2
3sin 2 2sin 1
x x
− = d)
2
(sinx cos ) os2 3sin cos 0x c x x x− + − + =
Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình:
(
)
4 4
2 sin cos cos 4 2sin 2 0x x x x m+ + + + =
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
π
 
 
 ĐỀ 7
Bài 1: (2 điểm)

a)
Xét tính chẵn lẻ của hàm số:
3

 
. c)
3tan 3
2
x
= , với
)
0;2x
π
∈


.
b)
sin (1 sin ) cos (cos 3)x x x x− = + . d)
4 4
1
cos sin sin cos
2
x x x x− + =
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

( )
tan3 tan 2 sin 4 sin 2
x x x x
− = −
. c)
2
tan 2 cot 8cos

− + + =
 
 
ĐỀ 8
Bài 1: (2 điểm)
a)
Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
1 tan
1 tan
x
y
x
+
=
−

b)
Tìm tập giá trị của hàm số:
1 2 sin3y x= −

Bài 2: (3,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

2cos 3 0, (0;2 )x x
π
− = ∈ c)
2


b)
2
sin (sin cos ) 1
0
cos sin 1
x x x
x x
+ −
=
+ −
d)
3 1 cot
3tan 2 2 2cos2 0
cos2 1 cot
x
x x
x x
−
− − + =
+
Bài 4: (1 điểm) Cho phương trình:
2
2
2 10
2tan 0
sin sin 2

Baøi 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2
con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố
D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả
bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS: có 12 đường.
Baøi 2: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi
có bao nhiêu trận đấu?
ĐS: có 25.24 = 600 trận
Baøi 3: a) Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có
mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
b) Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
ĐS: a) 18. b) 15.
Baøi 4: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội
chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu
cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là
như nhau?
ĐS: 36.
Baøi 5: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu
vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a) 35. b) 29.
Baøi 6: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập
một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin.
Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên?
Baøi 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế
dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.

x A y A vaø x y
∈ ∈ + =
.
ĐS: a) 25. b) 20. c) 5 cặp.
Baøi 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao
nhiêu cặp sắp thứ tự (x; y), biết rằng:
, ,
x A y A x y
∈ ∈ >
.
ĐS:
( 1)
.
2
n n
−

Baøi 12: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi).
ĐS: Số cần tìm có dạng:
abcba

⇒
có 9.10.10 = 900 (số)
Baøi 13: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS: a) 6
6


Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 25/240.