Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 1. Đinh nghóa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghòch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x

a)
2
2 4 5
y x x
= − + +
b)
2
5
4 4
x
y x
= + −
c)
2
4 3
y x x
= − +

d)
3 2
2 2
y x x x
= − + −
e)
2
(4 )( 1)
y x x
= − −
f)
3 2

−
=
+
l)
1
2
x
y
x
−
=
−
m)
1
1
1
y
x
= −
−

n)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +
=

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a)
4 3 2
6 8 3 1
y x x x
= − + − −
b)
2
2
1
4
x
y
x
−
=
−
c)
2
2
1
1
x x
y
x x
− +
=
+ +

d)

y x x
= −

k)
sin 2
2 2
y x x
 
= − < <
 
 
π π
l) sin 2
2 2
y x x x
 
= − − < <
 
 
π πVẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)

Cho hàm số
( , )
y f x m
=
, m là tham số, có tập xác đònh D.

= 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu
y ax bx c
2
'
= + +
thì:

•
••
•

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R
a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔



<



≤


∆

3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
= + +
:

•
Nếu
∆
< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

•
Nếu
∆
= 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =
2
b
a
− )

>

< < ⇔ >


<

∆

•

1 2
0
0 0
0
x x P
S

>

< < ⇔ >


>

∆

•

1 2


∆
(1)
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 2/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12 •
Biến đổi
1 2
x x d
− =
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4
x x x x d
+ − =
(2)

•
Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

•
Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1.
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)

=
+
e)
3 sin(3 1)
y x x
= − +
f)
2
2 1
x mx
y
x m
− −
=
−

Bài 2.
Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghòch biến trên từng khoảng xác đònh (hoặc
tập xác đònh) của nó:
a)
5 cot( 1)
y x x
= − + −
b)
cos
y x x
= −
c)
sin cos 2 2
y x x x

=
+
e)
2
2 1
x mx
y
x m
− −
=
−
f)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−

Bài 4.
Tìm m để hàm số:
a)
3 2
3
y x x mx m
= + + +
nghòch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

y x m x m x
= − + + + +
đồng biến trên khoảng (2; +∞).
c)
mx
y m
x m
4
( 2)
+
= ≠ ±
+
đồng biến trên khoảng (1; +∞).
d)
x m
y
x m
+
=
−
đồng biến trong khoảng (–1; +∞).
e)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=

Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <,
≥
,
≤
). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác đònh do đề bài chỉ đònh.

•
Xét dấu f
′
(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.

•
Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f
′
(x) thì ta đặt h(x) = f
′
(x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h
′
(x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)

tan 2
a a
với a b
b b
< < < <
π
b) sin sin , 0
2
a a b b với a b
− < − < < <
π

c) tan tan , 0
2
a a b b với a b
− < − < < <
π

Bài 3.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2
sin , 0
2
x
x với x
> < <
π
π
b)

+ − > >
+
d)
(
)
2 2
1 ln 1 1
x x x x
+ + + ≥ +
Bài 5.
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
0
tan 55 1,4
> b)
0
1 7
sin 20
3 20
< < c)
2 3
log 3 log 4
>
HD: a)
0 0 0
tan 55 tan(45 10 )
= + . Xét hàm số
1
( )
1

 
−
 
 
.
c) Xét hàm số
( ) log ( 1)
x
f x x
= +
với x > 1.

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 4/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

•
Chọn được nghiệm x
0
của phương trình.

•
Xét các hàm số y = f(x) (C
1
) và y = g(x) (C
2
). Ta cần chứng minh một hàm số đồng


Bài 2.
Giải các phương trình sau:
a)
5 5 5
1 2 3 0
x x x
+ + + + + =
b)
ln( 4) 5
x x
− = −

c)
3 4 5
x x x
+ =
d)
2 3 5 38
x x x
+ + =

Bài 3.
Giải các bất phương trình sau:
a)
3 4 5
1 5 7 7 5 13 7 8
x x x x
+ + − + − + − <
b)

2
2
x y y y
y z z z
z x x x

= + + −


= + + −

= + + −


c)
3 2
3 2
3 2
6 12 8
6 12 8
6 12 8
y x x
z y y
x z z

= − +


= − +


5
, 0
π

− = −


+ =


>


f)
x y y x
x y
x y
sin 2 2 sin 2 2
2 3
0 ,
2
π
π

− = −


+ =



f t t t
= − +

d) Xét hàm số f(t) = tant + t

I.

Khái niệm cực trò của hàm số

Giả sử hàm số f xác đònh trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.
a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
I
I
.
CỰC TRỊ

CỦA HÀM SỐ

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 5/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x

0
) = 0.
Chú ý:
Hàm số f chỉ có thể đạt cực trò tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
có đạo hàm.
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò1. Đònh lí 1:
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm
trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ
âm
sang
dương
khi x đi qua x
0
thì f đạt
cực tiểu
tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ
dương
sang
âm


Qui tắc 1:
Dùng đònh lí 1.

•
Tìm f
′
(x).

•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

•
Xét dấu f
′
(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trò tại x
i
.
Qui tắc 2:
Dùng đònh lí 2.

•
Tính f
′

.
Bài 1.
Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
2 3
3 2
y x x
= − b)
3 2
2 2 1
y x x x
= − + −
c)
3 2
1
4 15
3
y x x x
= − + −

d)
4
2
3
2
x
y x
= − +
e)
4 2

y
x
+ +
=
+
i)
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−

Bài 2.
Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3 4
( 2) ( 1)
y x x
= − +
b)
2
2
4 2 1
2 3
x x
y

= + −

Bài 3.
Tìm cực trò của các hàm số sau:
a)
3
2
1
y x
= +
b)
3
2
2 1
x
y
x
=
+
c) 4
x x
y e e
−
= +

d)
2
5 5 2ln
y x x x
= − + + e)


•
Hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
= + + +
có cực trò
⇔
Phương trình y
′
= 0 có hai nghiệm
phân biệt.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:
+
3 2
0 0 0 0
( )
y x ax bx cx d
= + + +

+
0 0
( )
y x Ax B
= +
, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y

−
.
Khi đó nếu x
0
là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y(x
0
) bằng hai cách:

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
hoặc
0
0
0
'( )
( )
'( )
P x
y x
Q x
=


d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +

Bài 2.
Tìm m để hàm số:
a)
3 2
( 2) 3 5
y m x x mx
= + + + −
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)
y x m x m m x m m
= − − + − + − −
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
3 ( 1) 2
y x mx m x
= − + − +

x m x m m
y
x
− + − + −
=
−

có cực đại, cực tiểu.
g)
2
1
x x m
y
x
− +
=
−
có một giá trò cực đại bằng 0.
Bài 3.
Tìm m để các hàm số sau không có cực trò:
a)
3 2
3 3 3 4
y x x mx m
= − + + +
b)
3 2
3 ( 1) 1
y mx mx m x
= + − − −

27
tại x =
1
3

b)
4 2
y ax bx c
= + +
có đồ thò đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trò bằng –9 tại x =
3
.
c)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
đạt cực trò bằng –6 tại x = –1.
d)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+

2
x x
x x
+ = +
.
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx
= − + −
đạt cực trò tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
8
x x
− ≥
.
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +
đạt cực trò tại hai điểm x

=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trò cực đại, cực
tiểu đạt giá trò nhỏ nhất.
c)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trò cực đại M và giá trò cực tiểu m thoả
4
M m
− =
.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 8/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

d)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −

c)
2
2
x mx m
y
x m
+ + −
=
−
có hai điểm cực trò nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trò luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành.
d)
2
1
x mx
y
x
+
=
−
có khoảng cách giữa hai điểm cực trò bằng 10.
e)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=

3 4
y x mx m
= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d):
3 2 8 0
x y
− + =
.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d):
2 3 1 0
x y
− − =
.
Bài 9.
Tìm m để đồ thò hàm số :
a)
2
( 1) 2 1

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trò nằm ở hai phía của trục hoành (tung).

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba
3 2
( )
y f x ax bx cx d
= = + + +
.
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 9/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk •
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được: f(x) = Q(x).f
′
(x) + Ax + B.

), (x
2
; y
2
) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.
2) Hàm số phân thức
2
( )
( )
( )
P x ax bx c
y f x
Q x dx e
+ +
= = =
+
.

•
Giả sử (x
0
; y
0
) là điểm cực trò thì
0
0
0
'( )
'( )
P x

3 2
3 6 8
y x x x
= − − +

d)
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
e
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−

Bài 2.
Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò của đồ thò hàm số:
a)

Bài 3.
Tìm m để hàm số:
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1
y x m x m x
= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trò song song
với đường thẳng y = –4x + 1.
b)
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )
y x m x m m x
= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thò nằm trên
đường thẳng y = –4x.
c)
3 2
7 3
y x mx x
= + + +
có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc
với đường thẳng y = 3x – 7.
d)
3 2 2
3
y x x m x m
= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 10/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

≥ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =


2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a
= =
.
b) Nếu hàm số f nghòch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]

(x).

•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x
n
trên [a; b] (nếu có).

•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).

•
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.

{
}
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )

= + −

d)
2
2
y x x
= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x
−
=
− +
f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+

g)

Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
3 2
2 3 12 1
y x x x
= + − +
trên [–1; 5] b)
3
3
y x x
= −
trên [–2; 3]
c)
4 2
2 3
y x x
= − +
trên [–3; 2] d)
4 2
2 5
y x x
= − +
trên [–2; 2]
e)
3 1
3
x
y
x
−

− +
=
+ −
trên [0; 1]
i)
2
100
y x
= −
trên [–6; 8] k) 2 4
y x x
= + + −

Bài 3.
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
a)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
b)
2
1
cos cos 1
y
x x

2 2
4 2 5 2 3
y x x x x
= − + + − +
h)
2 2
4 4 3
y x x x x
= − + + − +

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 11/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.

•
Chứng minh một bất đẳng thức.

•
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.

Bài 1.
Giả sử
{
}
( ; ; ) / 0, 0, 0, 1
D x y z x y z x y z

+ + + + = + + ≥
 
+ + +
 ⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P
=
.
Bài 2.
Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4

x y
x y
 
+ + ≥
 
 

⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
Bài 3.
Cho D =
{
}
( ; ) / 0, 0, 1
x y x y x y
> > + <
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:

2 2
1
1 1
x y
P x y

 
− − +
 

⇔

1 1 1 9
1 1 2
x y x y
+ + ≥
− − +⇒
P
≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Bài 4.
Cho D =

 
 
(1)
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 12/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)

3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
(3)

⇒
P
≥

9

0

≤
M (3)
Vì y
0
là một giá trò bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M
= =Bài 1.
Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
b)
2
2
2 7 23

D D
f x m f x M
= =
. Khi đó:
1) Hệ phương trình
( )f x
x D

=

∈

α
có nghiệm
⇔
m
≤

α

≤
M.
2) Hệ bất phương trình
( )f x
x D

≥

∈


m
≥

α
.
5) Bất phương trình f(x)
≤

β
đúng với mọi x
⇔
M
≤

β
. Bài 1.
Giải các phương trình sau:
a)
4 4
2 4 2
x x
− + − =
b)
3 5 6 2
x x
x
+ = +

R:
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 13/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk

a)
2
2 1
x x m
+ + >
b)
2
2 9
m x x m
+ < +
c)
4
4 0
mx x m
− + ≥

Bài 4.
Cho bất phương trình:
3 2
2 1 0
x x x m
− + − + <
.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 5.

đgl điểm uốn của đồ thò hàm số
y = f(x)
nếu tồn tại một khoảng (a;
b) chứa điểm x
0
sao cho trên một trong hai khoảng (a; x
0
) và (x
0
; b) tiếp tuyến của đồ
thò tại điểm U nằm phía trên đồ thò còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thò
2. Tính chất:•
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x
0
, f
′′
(x
0
) = 0 và
f
′′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
(
)
0 0

= − +

d)
4
2
2 3
4
x
y x
= − +
e)
4 3 2
12 48 10
y x x x
= − + +
f)
5 4
3 5 3 2
y x x x
= − + −

Bài 2.
Tìm m, n để đồ thò của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:
a)
3 2
3 3 3 4
y x x mx m
= − + + +
; I(1; 2). b)
3

2
3 2
x
y mx
m
= − + −
; I(1; 0) f)
3 2
3 4
y mx mx
= + +
; I(–1; 2)
Bài 3.
Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có 3 điểm uốn:
a)
5
4 3
4
(4 3) 5 1
5 3
x
y x m x x
= − + + + −
b)
2
2
1
1
x mx
y

2 3
1
x x
y
x
−
=
+

d)
2
2 1
1
x
y
x
+
=
+
e)
2
1
x
y
x
=
+
f)
2
2

+
i)
3
2
4 5
x
y
x x
=
− +

IV
.
ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊTài liệu lưu hành nội bộ Trang 14/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

Bài 5.
Tìm m, n để đồ thò của các hàm số:
a)
4 3 2
2 6 2 1
y x x x mx m
= − − + + −
có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).
b)
3
2

của đồ thò hàm số
( )
y f x
=
nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim ( )
x x
f x
+
→
= +∞
;

0
lim ( )
x x
f x
+
→
= −∞
;
0
lim ( )
x x
f x
−
→

=
;
0
lim ( )
x
f x y
→−∞
=•
Đường thẳng
, 0
y ax b a
= + ≠
đgl
đường tiệm cận xiên
của đồ thò hàm số
( )
y f x
=

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞


•
Nếu bậc(P(x))
≤
bậc(Q(x)) thì đồ thò có tiệm cận ngang.

•
Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của
tiệm cận xiên
, ta có thể áp dụng
các công thức sau:

[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −

hoặc
[ ]
( )
lim ; lim ( )
x x
f x
a b f x ax

x
+
=
−

d)
2
4 3
1
x x
y
x
− +
=
+
e)
2
( 2)
1
x
y
x
−
=
−
f)
2
7 4 5
2 3
x x

x
+
=
−
c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=
−

d)
2
2
2 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
e)
3
2

9
x
y
x
+
=
−
c)
2
1
4 3
y
x x
=
− +

d)
1
1
x
y x
x
−
=
+
e)
3
2 3
3
y x x

−
=
c)
2
ln( 5 6)
y x x
= − +

Bài 5.
Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:
a)
y
x m x m
2 2
3
4 2(2 3) 1
=
+ + + −
b)
2
2
2
3 2( 1) 4
x
y
x m x
+
=
+ + +
c)

f)
2
3
2 2 1
y
x mx m
=
+ + −

Bài 6.
Tìm m để đồ thò của các hàm số sau có tiệm cận xiên:
a)
2
(3 2) 2 1
5
x m x m
y
x
+ + + −
=
+
b)
2
(2 1) 3
2
mx m x m
y
x
+ + + +
=

y
x
+ −
=
−

Bài 8.
Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích S đã chỉ ra:
a)
2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
; S = 8 b)
2
(2 1) 2 3
1
x m x m
y
x
+ − − +
=
+
; S = 8

x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số•

′′
.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao
điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể
vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
2. Hàm số bậc ba
3 2
( 0)
y ax bx cx d a
= + + + ≠
:•
Tập xác đònh D = R.

•
Đồ thò luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

•
Các dạng đồ thò:

a > 0 a < 0
y’ = 0 có

2 nghiệm phân biệt


4 2
( 0)
y ax bx c a
= + + ≠
:•
Tập xác đònh D = R.

•
Đồ thò luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.

•
Các dạng đồ thò:
y

x

0

I

y

x

0

I
•
Tập xác đònh D = \
d
R
c
 
−
 
 
.

•
Đồ thò có một tiệm cận đứng là
d
x
c
= −
và một tiệm cận ngang là
a
y
c
=
. Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.

•
Các dạng đồ thò:


'
b
x
a
= −
và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thò hàm số.

•
Các dạng đồ thò:

a.a′
′′
′ > 0 a.a′
′′
′ < 0

a > 0

a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt
⇔
ab < 0

x

0

y

x

0

0

ad – bc > 0

x
y
0

ad – bc < 0

x
y

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 18/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12

y
′
= 0 có 2 nghiệm phân biệt

= − −
e)
3
2
1
3 3
x
y x
= − +
f)
3 2
3 4 2
y x x x
= − − − +

Bài 2.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số:
a)
4 2
2 1
y x x
= − −
b)
4 2
4 1
y x x
= − +
c)
4
2

x
+
=
+
b)
2 1
1
x
y
x
+
=
−
c)
3
4
x
y
x
−
=
−

d)
1 2
1 2
x
y
x
−

+ +
=
+
b)
2
2
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+

d)
1
1
1
y x
x

3 2
y x x
= − + −
c)
4 2
2 3
y x x
= − −

d)
1
1
x
y
x
+
=
−
e)
2
2
1
x x
y
x
− +
=
−
f)
2

): y = g(x). Để tìm hoành độ giao điểm của (C
1
) và
(C
2
) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hoành độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thò.
2. Đồ thò hàm số bậc ba
3 2
( 0)
y ax bx cx d a
= + + + ≠
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇔
Phương trình
3 2
0
ax bx cx d
+ + + =
có 3 nghiệm phân biệt.

⇔
Hàm số
3 2
y ax bx cx d
= + + +
có cực đại, cực tiểu và
. 0
CĐ CT

1
2 4
x
y
x
y x x

−
=

 −

= − + +

c)
3
4 3
2
y x x
y x

= −

= − +


d)
4 2
2
1

x
y x


=

−

= − +


Bài 2.
Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
y m x
3
3 2
( 2)

= − −

= −

b)
3 2
2
3 2
1 13
2 12


d)
2 1
2
2
x
y
x
y x m

+

=

+

= +

e)
1
1
2
x
y
x
y x m

+

=

y mx


= − + +

−

= +

h)
2
3 3
2
4 1
x x
y
x
y mx m

− +

=

−

= − −

i)
y x x
y m x

1
x x m
y y x m
x
− +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
c)
2
; 2
1
mx x m
y y mx
x
+ +
= = +
−
cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
d)
2
4 5
; 2
2
x x
y y mx
x
+ +
= = +
+

3 2
3 2 ; 2
y x x mx m y x
= + + + = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
3 (1 2 ) 1
y mx mx m x
= + − − −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2
( 1)( 3)
y x x mx m
= − − + −
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2 2
2 2 2 1; 2 2
y x x x m y x x
= + − + − = − +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2 2
2 3 ; 2 1
y x x m x m y x
= + − + = +
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
Bài 5.

AB ngắn nhất.
b)
4 1
;
2
x
y y x m
x
−
= = − +
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn
AB ngắn nhất.
c)
2
2 4
; 2 2
2
x x
y y mx m
x
− +
= = + −
−
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính
AB theo m.
Bài 7.
Tìm m để đồ thò của các hàm số:
a)
3 2


2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

• Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x)

• Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thò ta biến đổi (*) về
một trong các dạng sau:
Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 21/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12
Dạng 1:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ
giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m
• d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.
• Dựa vào đồ thò (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)
Dạng 2:
F(x, m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (2)

) + y
0
(4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình
hoành độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)
d: y = m(x – x
0
) + y
0

• d quay quanh điểm cố đònh M
0
(x
0
; y
0
).
• Viết phương trình các tiếp tuyến d
1
, d
2
, …
của (C) đi qua M
0
.
• Cho d quay quanh điểm M
0
để biện luận.


dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò.

Bài 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
3 3
3 1; 3 1 0
y x x x x m
= − + − + − =
b)
3 3
3 1; 3 1 0
y x x x x m
= − + − − + + =

y

x

m

A

(C)

c.
(d) : y = m

c.


b
2

d
1

d

d
2
22
2

O

y

x
0

d
3

d
1

y
0


IIV

(
–
)

(+)

M

x

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 22/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0
y x x x x m m
= − + − − − − =
d)
3 3
3 1; 3 4 0
y x x x x m
= − + − − + + =

e)
4

2
2 4 2
; 2 2( 2) 3 2 0
2 3
x x
y x m x m
x
− +
= − + − + =
+

c)
2
2
1
; ( 1) 2 1 0
x
y m x x
x
+
= − + − =

d)
2
2
2 4
; 2( 1) 4( 1) 0
2 4
x x
y x m x m

= − + + + = ≤ ≤
−
α α α π

c)
2
2
3 3
; cos (3 )cos 3 2 0 (0 )
2
x x
y m m
x
+ +
= + − + − = ≤ ≤
+
α α α π

d)
3 2 3 2
3 6; cos 3cos 6 0
y x x x x m
= − + − + − =

Bài 4.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Dùng đồ thò (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:
a)
2
5 7

1
t t
x x
y e m e m
x
− +
= − + + + =
−

d)
2
2
5 4
; (5 ) 4 0
t t
x x
y e m e
x
− +
= − + + =

Bài 5.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. Từ đồ thò (C) hãy suy ra đồ thò
(T). Dùng đồ thò (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a)
2 2 2
3 6 3 6 3 6
( ) : ; ( ) : ; 2 0
1 1 1
x x x x x x

2 2 2 2
( ) : ( 1) (2 ); ( ): ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )
C y x x T y x x x x m m
= + − = + − + − = + −

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 23/232
Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk Giải tích 12
f)
2 2
2
1 1
( ) : ; ( ) : ; ( 1) 2 1 0
x x
C y T y m x x
x
x
+ +
= = − + − =

Bài 6.
Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
+
= =
−

− =
.
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2
2 ( 1) 1 0
x m x m
− + + + =

Bài 8.
Cho hàm số
2
( )
1
x
y f x
x
= =
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1).
c) Dùng đồ thò (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2
(1 ) (1 ) 1 0
m x m x
− − − + =
( .1 )
2
( .1 )
. 0





>



•
Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm
⇔
(C) tiếp xúc với Ox

⇔

2
( .2)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y

o

x
2

y
CT

y
CĐ

Tài liệu lưu hành nội bộ Trang 24/232
Giải tích 12 Tài liệu giảng dạy phụ đạo tổ Toán THPT Phan Chu Trinh Đăk Lăk
•
Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

⇔

2
( .3)
. 0
CĐ CT
f có cực trò
h
y y


> >

< <

 •
Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

⇔
(C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

⇔

2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)
CĐ CT
CĐ CT
f có cực trò
y y
x x
a f hay ad


− + − − + =
d)
3 2
6 3( 4) 4 8 0
x x m x m
− − − + − =

x
1

x
A

x
B

x
C

C

(C)

y
CĐ

y
A

o

CĐ

y
A

o

x
2

x
a < 0
y
CT

B

f(0)

x"
0

C

x
1

(C)

y


y

A

x
0

o

x
1

B

x'
0

(y
CT
= f(x
0
) = 0)

x

(H.2)

x
1

B

f(0)

x
C

x
2

x
1

x
A

x
B

C

(C)

y
CĐ

y
A

o