ĐẠO HÀM
( )
( )
( )
2
/
/
2
//
/
/
/
//
/
//
/
.
.5
)0(
..
.4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
x
x
xx
x
C
a
xx
xx
2

ln..11
.2
1
.10
11
.9
...8
1.7
0.6
−
=
=
−=
=
=
=
=
=
=
−
=






=
=
=

/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
/
/1
/
u
u
u
u
u
u
uuu

=






=
−
αα
α
dcx
bax
y
+
+
=
.19
ta có
2
/
)( dcx
bcad
y
+
−
=
22
2
2

ca
ca
x
ba
ba
y
++
++
=• Tìm m để hàm số tăng (giảm)

1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng xác
đònh): y
/
≥ 0 ∀x ∈ R




≤∆
>

đònh : y
/
> 0 ( y
/
< 0 ) . Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm
c = 0

• Tìm m để hàm sốá có cự

c đại , cực tiểu

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y
/
= 0 có hai
nghiệm phân biệt



>∆
≠
0
0a


0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
• Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x

0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV: NBQ DLĐK
1
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu khi x qua x
0
 Chú ý :
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

sang
“
–
”
Cách 2:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:




≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy

 Cực đại: { y
/
(x

f
/
(x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi






≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf

•

• Tiếp tuyến của đường cong ( C)

1.Tiếp tuyến tại M(x
0
,y
0
): y = f
/
(x
0
).(x – x
0
) + y
0
2.Tiếp tuyến đi qua A(x
A ,
y
A
):
 (d): y = k.(x – x
A
) + y
A
= g(x)
 Điều kiện tiếp xúc:



A
= g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b
2
– 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt




>∆
≠
⇔
0
0a
• Nếu (*) là phương trình bậc 3 :
1) Đưa về dạng (x – x
0
)(Ax
2
+ Bx + C) = 0




==++

0)(
0
0
0
)2(
xg
A

• Dùng đồ thò (C) biện luận số

nghiệm phương trình f (x ) – g(m) = 0
 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*)
 Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của
(C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox )
 Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương
trình.

LŨY THỪA
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
GV: NBQ DLĐK
2
aaaa
n
....
=•
( n thừa số)
n

m
nmmnnm
n
n
n
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
=•
=•
==•
=






•
=•
1
.)()(
b


[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf
<⇔><<•
>⇔>>•
LOGARIT
) 1 a , 0 N a, (
log
a
≠>

NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log
1
log
log
1
log
loglog.log
log
log
log
logloglog
loglog.log
k
a
b

) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf
aa







>
>
>
≠<
⇔>
0g(x)]-1)[f(x)-(a
0g(x)
0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf
aa
SỐ PHỨC
*
1

idciba ..
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc
−+
−+
=
+
+
*
2121
zzzz
+=+
*
2121
zzzz
−=−
*
2
1
2
1
2121
;..




++−
+
++
±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
b < 0 :








++−
−
++
±=
2
.

22
3.
)]sin(.)[cos(.
21212121
ϕϕϕϕ
+++=
irrzz
4.
)]sin(.)[cos(
2121
2
1
2
1
ϕϕϕϕ
−+−=
i
r
r
z
z
5.
)]sin(.)[cos(
11
ϕϕ
−+−=
i
rz
6.
[ ]

−=
+=
+
=
+=+=
+
−
=+−=
+=+=
+=+=
+
+
−
=
+
+
−
=
++=
+
+=
+
+
+
=++
+
=
+=+=
+
+

)4
ln
1
ln
1
)3
1
)(1
)(
1
)2
)1
22
22
)(
)(
)()(
22
11
bax
a
bax
dx
x
x
dx
bax
a
bax
dx

dx
Cxdx
x
C
bax
a
dxbaxC
x
dxx
CkxkdxCxdx
dcx
dcx
x
x
baxbaxxx
αα
α
α
α
α
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
1.
∫
)().(
/)(
dxxuef
xu
Đặt
)(xut
=

2
2cos1
cos
22
x
x
x
x
−
=
+
=
• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt
2
tan
x
t
=
5.
∫
−
).(
22
dxxaf
Đặt
tax sin
=
6.
∫
+

axxt
±+=
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
∫∫
−=
b
a
b
a
vdxu
a
b
vudxvu
//
..
dxexP
bax
∫
+
).(
.
Đặt
baxbax
e
a
vev
xPxPu
++
==
==

1
chon )sin(
)(u có ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu
+
−
=+=
==
dxxuxP
∫
)(ln).(
.
Đặt:
∫
==
==
dxxPvxPv
x
xu
)(chon )(
1
u có taln
/
/


21
yS
b)(a ,
)( và)(
)(
π
dyxxV
dyx
ddycy
CC
H
d
c
CCOy
C
∫
∫
−=
−=



<==
2
2
2
1
d
c
2C1