CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I

Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
1.Hàm số
()y fx=
được gọi là đồng biến trên D nếu
12 1 2 1 2
, , () ()xx Dx x fx fx∀ ∈ <⇒ <

2.Hàm số
()y fx=
được gọi là nghịch biến trên D nếu
12 1 2 1 2
, , () ()xx Dx x fx fx∀ ∈ <⇒ >

II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số
()y fx=
có đạo hàm trên khoảng D
1.Nếu hàm số
()y fx=
đồng biến trên D thì
'( ) 0,fx xD≥ ∀∈

2.Nếu hàm số
()y fx=
nghịch biến trên D thì
'( ) 0,fx xD≤ ∀∈

'( ) 0
fx
=
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến
trên D
3.Nếu
'( ) 0,
fx xD= ∀∈
thì hàm số không đổi trên D
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN *Phương pháp : Xét chiều biến thiên của hàm số
()
y fx=

1.Tìm tập xác định của hàm số
()y fx=

2.Tính
' '( )
y fx=
và xét dấu y’ ( Giải phương trình y’ = 0 )
3.Lập bảng biến thiên
4.Kết luận
Ví dụ : Xét tính biến thiên của các hàm số sau:
1.y = -x
3
+3x
2

23
10
xx
y
x
−−
=
−

7.
2
6 10yxx= −+
8.
2
3
21
xx
y
x
−+
=
+

9.y=
21 3xx++ −
10.y=2x +
2
1x −
Trang 1
5. Tìm m để hàm số
3 22
( ) ( 1) ( 2)y fx x m x m x m
= =−+ + − + +
nghịch biến trên R
6. Tìm m để hàm số
( ) ( )
32
1
() 22 22 5
3
m
y fx x mx mx
−

= = −− +− +


nghịch biến trên R
7. Tìm m để hàm số
( )
( )
32
1
() 1 3 2
3
y f x m x mx m x= = −++−
tăng trên R
8.Tìm m để hàm số y= 3x

2
+(m+1)x+4m giảm trên (-1;1)
13.Tìm m để hàm số y=
2
23
21
x xm
x
− −+
+
giảm trên (
1
;
2
− +∞
)
14.Cho hàm số y=
2
21
2
x mx m
x
−+−
+

Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

32
() 3y f x x x mx m= =+ ++

xm
+
= =
+
giảm trên khoảng
( )
,1−∞

19. Tìm m để hàm số
( ) ( )
32
11
() 1 3 2
33
y f x mx m x m x= = −− + − +
tăng trên
( )
2,+∞

20. Tìm m để hàm số
(
)
( )
22
1 4 42
()
1
x m xm m
y fx
xm

2 2 ( 1)
x xx
x
−−
−=−

4. Giải phương trình sinx =x
5.Tìm m để phương trình có nghiệm
1
xx m+ +=

6.Tìm để phương trình có nghiệm m
2
1x +
- x = 0
7.Chứng minh rằng
2
0:1 cos
2
x
xx∀> − <
(HD xét hàm số
2
( ) 1 cos
2
x
y fx x= =−−
)
8.Chứng minh rằng
2

44
( ) (1 )y fx x x
= = +−
)
Dạng 3. Sử dụng tính đơn điệu để giải PT,BPT,BĐT Trang 2
11.Giải hệ phương trình
32
32
32
21
21
21
x yyy
y zzz
z xxx

+= + +

+= + +


+= + +


HD. Xét hàm đặc trưng
32
() ,y f x t t tt= =++ ∈

= +



= +



= +

Chủ đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
R
D ⊂
và
0
xD∈

1.
0
x
được gọi là một điểm cực đại của hàm số
()y fx=
nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm

{
}
00
() ( ), (,)\fx fx x ab x> ∀∈
. Khi đó
0
()fx
được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và
00
( ; ( ))Mx fx
được gọi là điểm cực tiểu của hàm số .
3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số
()y fx=
có cực trị tại
0
x
.Khi đó, nếu
()y fx=

có đạo hàm tại điểm
0
x
thì
0
'( ) 0fx=
.
III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
1.Định lý 1. (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )
Giả sử hàm số

0
'( ) 0fx=
và f(x) có đạo hàm
cấp hai khác 0 tại điểm
0
x
. Khi đó:
+ Nếu
0
''( ) 0fx<
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
0
x

+ Nếu
0
''( ) 0fx>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
0
x

PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN *Phương pháp1. (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số
()y fx=

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx

33
1
xx
x
−+
−

3. y=
2
2 45xx−+
6. y=(2x+1)
2
9 x−

7. y =
31xx++ −
8. y=
2
23
1
x
xx
+
++

9. y =
2
22
21
xx

''( ) và ''( )
i
fx fx

4.Kết luận
+Nếu
''( ) 0
i
fx<
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x

+Nếu
''( ) 0
i
fx>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x

Ví dụ 2: Dùng quy tắc II tìm cực trị của hàm số
1.y= 3x
5
-20x
3
+1 2. y =
2
56 4xx−+


9.
3
3
yx x
= −
10.
[ ]
sinx cos , ,y xx
ππ
= + ∈−

VD1: Tìm điều kiện của m sao cho :
1. y= x
3
-mx
2
+2(m+1)x-1 đạt cực đại tại x= -1
2. y=
2
1x mx
xm
++
+
đạt cực tiểu tại x=2
3. y=
422
22x mx m− −−

12
42xx−=

Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước Trang 4
VD3:Cho hàm số y=
2
2 21
1
x mx m
x
++−
+
.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
VD4:Cho hàm số y= 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2
VD5: Cho hàm số y= x
3
-3x
2
-mx+2 .Tìm m để
a. Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)
b. Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1
VD6:Cho hàm số

a. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và CĐ,CT và điểm M(-2;1) thẳng hàng
b. Tìm m để hàm số có CĐ,CT và trung điểm của đoạn nối 2 điểm CĐ,CT cách gốc O một
khoảng bằng 3
VD3.Cho hàm số
32
32yx x=−+
có đồ thị (C). Tìm giá trị của tham số m để điểm cực đại và điểm cực
tiểu của (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn :
22 2
24510x y mx my m+ − − + −=
.
VD4.Cho hàm số
42 4
22y x mx m m=− ++
.Tìm giá trị của tham số m để hàm số có cực đại và cực tiểu,
đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều .
VD5.Cho hàm số
2
2
1
x mx
y
x
++
=
−
.Tìm để điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nằm trên Parabol (P)
2
4yx x= +−


VD8.Cho hàm số
32
2 3(2 1) 6 ( 1) 1yx mx mmx= − + + ++

a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại
12
,xx
và
21
xx−
không phụ thuộc vào tham số m.
b.Tìm m để
1
CD
y >

VD9.Cho hàm số
32
1
() 1
3
y f x x mx x m= = − −+ +
.Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có
cực đại cực tiểu .Hãy xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất .
VD10.Cho hàm số
22
2( 1) 4
()
2
x m xm m

1
x m xm
y fx
x
+ + ++
= =
+
(Cm) . CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu
và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng
20
. ( B – 2005)
VD14.Cho hàm số
32
( ) (2 1) (2 ) 2y f x x m x mx= =− − +− +
.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các
điểm cực trị có hoành độ dương . ( CĐ – D – 2009)
VD15. Cho hàm số
42
2( 1)yx m x m=−++
(1) m là tham số
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa
độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại .
(B – 2011)
Chủ đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I.Định nghĩa: Cho hàm số
()y fx=
xác định trên
RD ⊆

= ⇔

∃∈ =


2. Nếu tồn tại một điểm
0
xD∈
sao cho
0
( ) ( ),fx fx x D≥ ∀∈
thì số
0
()m fx=
được gọi là giá trị
nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu
()
xD
m Min f x
∈
=

Như vậy
xD
00
, ()
()
,()
x Dfx m
m Min f x

1.Tìm tập xác định của hàm số
2.Tính
'( )fx
và giải phương trình
'( ) 0fx=
tìm nghiệm
12
, xx
thuộc tập xác định
3.Tính
12
( ), ( ), ( ) ( )fa fx fx fb

4.Kết luận: Số lớn nhất là
[ ]
,
ax ( )
x ab
M M fx
∈
=
và số nhỏ nhất là
[ ]
,
()
x ab
m Min f x
∈
=


() 4y fx x x
= =+−
(B-2003) 4.
2
ln
()
x
y fx
x
= =
trên
3
1, e


(B-2004)
5.
2
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
+
trên
[
]

2 cos
x
y fx
x
= = +
+

9.
( ) 1 sinx 1 osxy fx c= =+ ++
10.
( ) 2cos2 osx-3y fx x c==−+

11.
2
21 2y x x xx
= −+ +−− ++
12.
2sin .cos sin cosy xx x x= +−

13.
2
21
1
xx
y
x
++
=
+
trên

24y x xa= + +−
.Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên
[ ]
2,1−
đạt GTLN.
VD2. Cho hàm số
44
( ) sin os sin .cosy fx x c x m x x==++
.Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số
bằng 2.
VD3. Cho hàm số
cos 1
cos 2
kx
y
x
+
=
+
.Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1.
VD4. Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số
2
a +b
()
1
x
y fx
x
= =
+

h =
bán kính đáy
2
2
4
h
rR= −

VD4. Cho đường (C) có phương trình
22 2
xyR+=
.Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó
cắt hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất .
VD5. Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước .
Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số
Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Trang 7
VD6. Cho
22
1xy+=
. Tìm Max, Min của biểu thức
2
2
2( )
221
xy y
P
xy x
+

( CĐ Khối A – 2008)

VD9. Cho hai số thực thay đổi x,y thõa mãn
22
1xy+=
.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
2
2
2( 6 )
12 2
x xy
P
xy y
+
=
++

( ĐH Khối B – 2008)
VD10.Cho hai số thực không âm x, y thay đổi và thõa điều kiện x + y = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị
lớn nhất của biểu thức
22
(4 3 )(4 3 ) 25P x y y x xy= + ++

( ĐH Khối D – 2009)
Chủ đề 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đường tiệm cận đứng .
Đường thẳng (d):
0
xx=

0
lim ( )
xx
fx
+
→
= −∞

2.Đường tiệm cận ngang .
Đường thẳng (d):
0
yy=
được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số
()y fx
=
nếu

0
lim ( )
x
fx y
→+∞
=
hoặc
0
lim ( )
x
fx y
→−∞
=

khi và chỉ khi

[
]
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
→+∞ →+∞
= = −
hoặc
[ ]
()
lim ; lim ( )
xx
fx
a b f x ax
x
→−∞ →−∞
= = −

PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau:
1.
23

+
4.
2
()
5
y fx
x
= =
−

Dạng 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

Trang 8
Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
1.
2
() 2 1
1
y fx x
x
= = ++
+
2.
2
3 52
()
31
xx
y fx
x

2
21
()
21
x
y fx
x
+
= =
−
2.
2
21
()
2
x
y fx
xx
−−
= =
++

3.
2
() 2 4 2y fx x x x= = − −+
4.
2
() 3 2 4
y fx x x= = −+


= =− ++
−
và đường thẳng (dm)
2
y mx m= −+
. Xác
định m biết rằng (Cm) có cực đại cực tiểu và tiệm cận xiên của nó tạo với đường thẳng (dm)một góc
α
có
1
os
5
c
α
=
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
()
1
xm
y fx
mx
+
= =
−
.Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8.
Ví dụ 4. Cho hàm số
35

()y fx=
có đồ thị (C) tại một điểm .
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
00
(, ) ()
Mx y C∈
có dang :
0 00
'( )( )yy fx xx−= −
.
Trong đó
0
'( )fx
được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm
00
(, )Mx y
.
2.Bài toán 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
()y fx=
có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước.
1.Gọi
00
(, )Mx y
là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có
()MC∈
00
()y fx⇒=

Phương trình tiếp tuyến có dạng
0 00

Trang 9

() ( )
'( )
AA
fx kx x y
fx k
= −+


=

(I)
3.Giải hệ (I) tìm k. Thay k vào (1) để viết phương tình tiếp tuyến .
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ví dụ 1. Cho hàm số
32
() 4 6 4 1y fx x x x= = − +−
có đồ thị (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2.
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
4 10xy− −=
.
c.Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Ví dụ 2.Cho hàm số
2
()
1

y fx
x
−
= =
−
biết :
b. Tung độ tiếp điểm bằng
5
2

c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
: 30xy∆ +−=

d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
:4 10 0
xy∆ −+ =

e. Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0) Ví dụ 1 Gọi
()
m
C
là đồ thị hàm số
32
11
()
323
m

x
y fx
x
+
= =
−
(C). Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Ví dụ 5.Cho hàm số
2
()
1
x
y fx
x
= =
+
có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C)
tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam, giác OAB có diện tích bằng
1
4
. ( Khối D – 2007)
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Dạng2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước

Trang 10
Ví dụ 6.Cho hàm số
2
()
23

= =
−
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
( Đại học An Ninh – 2001)
Ví dụ 9.Cho hàm số
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
−
có đồ thị (C). Xác định m để đường thẳng
:2dy xm= +
cắt đồ thị
(C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
(CĐ-SPTPHCM – 2005)
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
() 3 4y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Viết phương trình Parabol đi qua các điểm cực
trị của đồ thị (C) và tiếp xúc với đường thẳng
22yx=−+
( Đại học An Ninh – 1999)
Ví dụ 11. Cho hàm số
32
1

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 20xy− +=

b. Tiếp tuyến tạo với
:2yx∆=−
một góc
0
45

c. Tiếp tuyến tạo với
:
yx∆=−
một góc
0
60

Ví dụ 14. Cho hàm số
21
()
1
x
y fx
x
−
= =
−
có đồ thị (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận của đồ thị (C). Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B.
a. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

Ax y

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k.
d:
()
AA
y kx x y= −+
(1)
2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm
Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

Trang 11

() ( )
'( )
AA
fx kx x y
fx k
= −+


=

(I)
3.Số nghiệm của hệ phương trình này chính là số tiếp tuyến đi qua điểm A .
Ví dụ 1.Cho hàm số
3
( ) 3 (C)y fx x x
= = −
.Tìm trên đường thẳng x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ

32
() 3 2 1y fx x x x= =−+ + −
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
21
yx= −
các điểm
kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Ví dụ 8.Cho hàm số
32
() 3 2y fx x x= =−+
có đồ thị (C). Tìm trên đường thẳng
32yx
=−+
các điểm kẻ
được hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C).
Ví dụ 9. Cho hàm số
1
()
1
x
y fx
x
+
= =
−
có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách
từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất.
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
() 3y fx x x= = +

có đồ thị
1
()C
và hàm số
()y gx=
có đồ thị
2
()C

+ Hai đồ thị
1
()C
và
2
()
C
cắt nhau tại điểm
00 00
(; ) (;)Mxy xy⇔
là nghiệm của hệ phương trình
()
()
y fx
y gx
=


=



1
()C

và
2
()C
và có đạo hàm tại điểm
0
x
.
+Hai đồ thị
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau tại một điểm chung
00
(, )Mx y
nếu tại điểm đó
chúng có chung cùng một tiếp tuyến . Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm.
+Hai đồ thị
1
()C
và
2
()C
tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

() ()

24y mx m=−−
cắt đồ
thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Ví dụ 3.Cho hàm số
42
( ) 2( 2) 2 3y fx x m x m= =−+ + − −

()
m
C
. Định m để đồ thị
()
m
C
cắt trục Ox tại
bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 4.Định m để đồ thị hàm số
32
() 1y f x x mx m= =−+ −−
cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt .
Ví dụ 5.Cho hàm số
42
( ) (3 2) 3y fx x m x m= =−+ +
có đồ thị
()
m
C
.Tìm m để đường thẳng y = - 1 cắt đồ
thị
()

3
( O là gốc tọa độ )
( Khối B – 2010)
Ví dụ 9. Cho hàm số
32
( ) 2 (1 )
y f x x x mx m
= = − +− +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
123
;;xxx
thõa mãn điều kiện
222
123
4xxx++<
. ( Khối A – 2010)
Ví dụ 10.Cho hàm số
32
12
()
33
y f x x mx x m= = − −+ +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt có hoành độ
123
;;xxx
thõa mãn điều kiện
222
123

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng
cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. ( Khối D – 2011)

Trang 13
Chủ đề 7. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN I. PHƯƠNG PHÁP
Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
()y fx=

1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
+ Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)
+ Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số
3. Đồ thị
+ Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có)
và lấy thêm một số điểm đặc biệt khác)
+ Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét
Lưu ý: Để vẽ tốt đồ thị hàm số ta cần nắm được hình dạng của nó từ bảng biến thiên và các điểm đặc biệt.
PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
32
() 3 1y fx x x= =−+
b.
32
( ) 2 3 12 13y fx x x x= =+−−

c.
42
() 2 3y fx x x= =+−
d.
42
() 2 3y fx x x= =−+ +

e.
42
11
()
22
y fx x x
= = −
f.
42
() 5 4y fx x x= =−+

Ví dụ 3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a.
21
()
2
x
y fx
x
+
= =
+
b.

a.
2
1
()
2
xx
y fx
x
+−
= =
+
b.
2
25
()
1
xx
y fx
x
−+ −
= =
−

c.
2
2
()
1
xx
y fx

()
22
xx
y fx
x
−+
= =
+
Ví dụ 1.Cho hàm số
3
() 3 1y fx x x= =−+
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
3
3 10x xk− − +=

Ví dụ 2. Cho hàm số
1
()y f x mx
x
= = +
có đồ thị (Cm)
Dạng 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Dạng 2. Một số bài toán liên quan đến khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Trang 14

x
−
= =
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm điểm trên đồ thị (C) thõa :
1. Có tọa độ nguyên
2. Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số
3. Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)
4. Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Ví dụ 5.Cho hàm số
32
() 3 6y fx x x= =−−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình:
32
36xx a− −=

Ví dụ 6.Cho hàm số
3 2 2 32
( ) 3 3(1 )y f x x mx m x m m= =−+ + − + −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 (C1)
b. Tìm k để phương trình
3232
3 30xxkk−+ + − =
có ba nghiệm phân biệt
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

b) Cho hàm số
( )
113
23
++−+= xmmxxy
(C
m
).Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để đường thẳng (d):
13yx= −
cắt đồ thị (C
m
) tại ba điểm phân biệt A, B và C(0; 1) sao cho
10=AB
.
Câu 3(3,0 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
( )
32
24
+−= xxxf
trên đoạn [0; 2].
ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 15
a) Tìm m để hàm số
2 32
( 5) 6 6 5y m m x mx x
= + − −+
đạt cực tiểu tại x = 1

41
y x mx
=−−
. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C tạo thành một
tam giác vuông.
HẾT
SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2010 – 2011
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm)
Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+ 3
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình
x
4
- 2x
2
+ 3m – 5 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt.
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số
2
2
x
y
x
−

x
+
=
−
vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị.
2/ Tìm tất cả các số thực m để bất phương trình
21x mx m+ ≤ −+
vô nghiệm.

HẾT

Trang 16
SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I
ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2009 – 2010
Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)
I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)
Câu 1(4,0 điểm) Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 2
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x
3
– 3x
2
– m = 0.
Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số
23
1

() 25fx x x
=+−

1/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol
2
10
()
2
xx
y gx
−+
= =
tại điểm A(1;5).
2/ Tìm m để phương trình f(x) = m có hai nghiệm thực phân biệt.

HẾT
a fx gx
>


⇔

− −=


(ít gặp)
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
8 13
24
xx x−+ −
=
ĐS :
{ }
2; 3−−

2.
2
56
51
xx
−−
=

3.

ĐS :
{ }
1; 7−

6.
3
(322) 3 22
x
−=+
ĐS :
1
3

−



7.
11
5 6.5 3.5 52
x xx+−
+− =
ĐS :
{ }
1

8.
2323 5 5
3 .5 3 .5
x x xx++

xx+
=
ĐS :
{ }
2

13.
12
2 .3 .5 12
xx x−−
=
ĐS :
{ }
2

14.
25
39
xx−−
=

15.
44
1
3 81
x
x
−
−
=

xx
+
−=−
ĐS :
{ }
2; 3±−

2.
3
( 1) 1
x
x
−
+=
ĐS :
{ }
3

3.
12 12
22 2 33 3
xx x xx x−− −−
++ =−+
ĐS : 2
4.
31
13
( 10 3) ( 10 3)
xx
xx

,0
fx
ta t
= >
với a và
()fx
thích hợp để đưa phương trình biến số x đã cho về phương trình mới với
biến t, giải phương trình này tìm t (nhớ so điều kiện t > 0) rồi từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
9 4.3 45 0
xx
− −=
ĐS : 2
2.
2
2 2 60
xx
+ −=

3.
9 8.3 7 0
xx
− +=

4.
22
4 6.2 8 0
xx
− +=

9.
22
4 16 10.2
xx−−
+=
ĐS : 3; 11
10.
22
5 52
42 4
xx xx+− +−+
−=−
(đặt t=
2
5
2
xx+−
) ĐS : 2
11.
2 33
8 2 12 0
x
xx
+
− +=
ĐS : 3;
6
log 8

12.

x xx+
++−=
ĐS :
35
()
2
log 4
+

18.
2 22
2 69 35 2 69
3 4.15 3.5
xx xx xx+− +− +−
+=
ĐS : 1; -4
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
3.8 4.12 18 2.27 0
xxxx
+ −− =
(ĐH A-2006) ĐS : 1
2.
22
2
22 3
x x xx− +−
−=
(ĐH D-2003) ĐS : -1; 2
3.

8.
22 2
32 65 2 37
444 1
xx xx xx−+ ++ ++
+= +
(HV Quan Hệ Quốc Tế-1999) ĐS :
1; 2; 5±−

9.
cos cos
( 7 4 3) ( 7 4 3) 4
xx
+ +− =
(ĐH Luật HN-1998) ĐS :
k
π

10.
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
22
xx
xx−
− − +=
(ĐH Y HN-2000) ĐS : 1
Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa
Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

=
ĐS :
3
0; log 2−

2
42
2. 2 3
xx−−
=
ĐS :
3
2;log 2 2−

3.
2
56 3
52
xx x−+ −
=
ĐS :
5
3;2 log 2+

1
4. 3 .4 18
x
x
x
−

3 log
5 25
x
x
−
=
ĐS :
5

log 5
43
8. .5 5
x
x =
ĐS :
4
1
;5
5

9.
9
log
2
9.
x
xx=
ĐS : 9
1
10. 5 .8 500

là hàm hằng hoặc
()
fx
là hàm nghịch biến,
()gx
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fu fv
=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra
() ()fu fv u v
= ⇔=
.
Ví dụ 1: Giải phương trình
3 40
x
x+−= Cách 1 :
3 4 0 3 4 (*)
xx
xx+−=⇔ +=

• Ta thấy
Cách 2 :
3 4 0 3 4 (*)
xx
xx+−=⇔ +=

Ta thấy
1x =
là một nghiệm của phương trình (*)
• Nếu
1x >
, ta có
1
333
1
x
x

>=

>


3 314
x
x⇒ + >+=
(vô lý)
• Nếu
1x <

x
x
= +
2 ( 3) 1
xx
⇔= +31
1 ( ) ()
22
xx
⇔= +
(*)
• Ta thấy
2x =
là một nghiệm của phương trình (*)
Ví dụ 3: Giải pt
11
3.9 (3 7).3 2 0
xx
xx
−−
+ − +−=
(1)
Đặt
1
3, 0
x
tt

Trang 20
• Đặt :
31
() ( ) ()
22
() 1
xx
fx
gx

= +



=


Ta có :
3 31 1
'( ) ( ) .ln( ) ( ) ln( ) 0 x
2 222
xx
fx R= + < ∀∈

Suyra
31
() ( ) ()

x =
là một nghiệm của phương trình (*)
 Đặt :
1
() 3
() 2
x
fx
gx x
−

=

=−+


Ta có :
1
'( ) 3 .ln 3 0
x
fx xR
−
= > ∀∈

Suy ra
1
() 3
x
fx
−

xx
+ +− =
ĐS : 2
4.
22
3.25 (3 10).5 3 0
xx
xx
−−
+ − +−=
ĐS :
{ }
5
2;2 log 3−

5.
2
(2 3) 2(1 2 ) 0
xx
xx+−+− =
ĐS :
{ }
0;2

6.
3
8 .2 2 0
xx
xx
−

Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
(2 3) (2 3) 4
x xx
− ++ =
(Học Viện Công Nghệ BCVT-1998) ĐS : 1
2.
2
12
2 2 ( 1)
x xx
x
−−
−=−
(ĐH Thủy lợi-2001) ĐS : 1
3.
1
24 1
xx
x
+
−=−
(ĐH Bách khoa TPHCM-1995) ĐS : 1
4.
(3 2) (3 2) (5)
x xx
+ +− =
(Học Viện Quan Hệ Quốc Tế-1997) ĐS :
∅


log ( )
()
a
b
a
fx b
fx a
<≠

= ⇔

=


Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (5 1) 4x +=
ĐS : 3
2.
3 9 27
log log log 11xx x++ =
ĐS : 729
3.
33
log log ( 2) 1xx+ +=
ĐS : 1

Trang 21
4.

2
log 1 log (3 ) log ( 1)x xx+− − = −
ĐS :
1 17
2
+

10.
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2xx− + −=
ĐS : 2
11.
42
21
11
log ( 1) log 2
log 4 2
x
xx
+
−+ =+ +
ĐS :
5
2

Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
22

log log log .logx x xx+=
(ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6
6.
5 3 59
log log log 3.log 225xx+=
(ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3
7.
23
48
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x xx+ += −+ +
(ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS :
2;2 2 6−

8.
22 2
23 23
log ( 1 ) log ( 1 ) 6xx xx
+−
++ + +− =
(ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS :
43

9.
22
93
3
11
log ( 5 6) log log 3
22

−
+ −=
ĐS :
5
3;
4

4.
2
2
log 16 log 64 3
x
x
+=
ĐS :
1
3
4;2
−

5.
22
3
log (3 ).log 3 1
x
x =
ĐS :
12
3
±

x
+=
ĐS : 2
9.
1
33
log (3 1).log (3 3) 6
xx+
− −=
ĐS :
33
28
log 10;log
27Trang 22
10.
22
12 13
log (6 5 1) log (4 4 1) 2 0
xx
xx xx
−−
− +− − +−=
ĐS :
1
4

11.

1.
3
3
22
4
log log
3
xx+=
(ĐH Công Đoàn-2000) ĐS : 2
2.
2
22
log ( 1) 6log 1 2 0xx+ − ++ =
(Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3
3.
9
4log log 3 3
x
x +=
(ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS :
3; 3

4.
4 22 3
log ( 1) log ( 1) 25xx
−+ −=
(ĐH Y HN-2000)
5.
22
log 2 log 4 3

xx
xx x
−+
+−+ − =
(ĐH Khối A-2008) ĐS :
5
2;
4

9.
22
37 23
log (9 12 4 ) log (6 23 21) 4
xx
xx x x
++
++ + + +=
(ĐH Kinh Tế Quốc Dân-2001) ĐS :
1
4
−

10.
22
log log
2
(2 2) (2 2) 1
xx
xx+ +− =+
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 0;1

= ⇔

=


•
log ( ) log ( )
ab
fx gx=
đặt
t
=
suy ra
()
()
t
t
fx a
gx b

=


=


. Khử x trong hpt để thu được phương trình
theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.

π
+Trang 23
5.
2
53
log ( 6 2) logxx x−−=
ĐS : 9
6.
4
64
2log ( ) log
xx x
+=
(ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16
Bài 2 : Giải các phương trình sau
1.
2
log (9 2 ) 3
x
x
+ −=
(ĐH Huế-2000) ĐS : 0; 3
2.
57
log log ( 2)xx
= +
(ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5

• Bước 2 : Chứng minh
()fx
là hàm đồng biến,
()gx
là hàm nghịch biến hoặc
()fx
là hàm đồng
biến,
()gx
là hàm hằng hoặc
()fx
là hàm nghịch biến,
()gx
là hàm hằng. Từ đó suy ra tính duy nhất
nghiệm
Cách 2 :
Đưa phương trình đã cho về dạng
() ()fu fv=
, rồi chứng minh
f
là hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn
nghịch biến trên D). Từ đó suy ra
() ()fu fv u v= ⇔=
.
Bài 1 : Giải các phương trình sau
1.
5
log ( 3) 4xx−=−
ĐS : 4
2.

2.
2
2
3
2
3
log 3 2
2 45
xx
xx
xx
++
=++
++
(ĐH Ngoại Thương-2001) ĐS :
1; 2−−

CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :
1.
22
22
22
log ( ) 1 log ( )
3 81
x xy y
x y xy
−+

+=+

22
1
log ( ) log 1
25
yx
y
xy

−− =



+=

(ĐH A-2004) ĐS : (3;4)

Trang 24
4.
23
93
12 1
3log (9 ) log 3
xy
xy

−+ − =


−=


xy

=


−=


ĐS :
(5;2)
2
log log 2
7.
12
yx
xy
xy
+=



+=


ĐS : (3;3)
33
4 32
8.
log ( ) 1 log ( )
xy

xy

− +=


−=


ĐS : (1;1),
(9;3)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau :
1.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
xy
xy
−

=


+=


ĐS : (-2;7)
2.
22
11
11


= +


+++=


ĐS : (1;3), (3;1)
4.
22
1
22
xy x
x yy x
xy
+−

+= +


−=−


ĐS : (-1;-1), (1;0)
5.
22
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y xy
x xy y

thì
() ()
() ()
fx gx
a a fx gx
>⇔>

• Nếu
01a
<<
thì
() ()
() ()
fx gx
a a fx gx>⇔<

Tổng quát :
[ ]
() ()
0
( 1) () () 0
fx gx
a
aa
a fx gx
>


>⇔


)
[
)
2; 1 1;− − ∪ +∞

3.
2
2 16
11
() ()
39
xx x+−
<
ĐS :
84xx<− ∨ >Trang 25