CÁC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
…… ……
Vấn đề1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN-TỌA ĐỘ CỦAVECTO, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
1.Trong hệ tọa độ Oxy cho
(1; 2;1)a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2c i j k= + −
r
r r
r
.Tìm tọa độ các véctơ
a)
3 2u a b= −
r
r r
b)
3v c b= − −
r r r
c)
w 2a b c= − +
uur r r r
d)
3
2
2
x a b c= − +
r r r r

4.Trong hệ tọa độ Oxy cho
1
(1; 2; )
4
a = −
r
,
( 2;1;1)b = −
r
,
3 2 4c i j k= + +
r
r r
r
a) Tính các tích vô hướng
.a b
r r
,
.c b
r r
.Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
b)Tính
os(a,b)C
r r
,
os(a,i)C
r r
5.Cho A(1;-1;1) ,B(2;-3;2), C(4;-2;2),D(3;0;1),E(1;2;3)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật.Tính diện tích của nó.
b)Tính cos các góc của tam giác ABC

,
2v i j k= − −
r r r
r
2.Tính tích
, .wu v
 
 
r r uur
biết rằng
a)
(1; 2;1)u = −
r
,
(0;1;0)v =
r
,
w (1;2; 1)= −
uur
b)
( 1; 1;1)u = − −
r
,
(0;0;2)v =
r
,
w (1; 2; 1)= − −
uur
c)
4u i j= +

GV:Phan Thanh Nhật
Vấn đề 3 : PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU
1.Tìm tâm và bán kính mặt cầu
a)
2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 9x y z− + + + − =
b)
2 2 2
25
4 5 3 0
4
x y z x y z+ + − + + + =
2.Cho A(1;3;-7), B(5;-1;1) .
a)Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB
b)Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c)Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
3.Cho A(1;1;1) ,B(1;2;1) ,C(1;1;2) , D(2;2;1)
a)Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A,B,C,D
b)Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp Oxy, Oyz
4.Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy
5.Cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
a)Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện
b)Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c)Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
6.Chứng tỏ rằng phương trình
2 2 2 2
4 2 4 4 0x y z mx my z m m+ + + − + + + =
luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm
m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
7.Chứng tỏ rằng phương trình

đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.
6.Cho tứ diện ABCD ,biết rằng A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1).
a)Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
7.Cho mp(P):2x- y+2z- 2 = 0 và hai điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4).
a)Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b)viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c)Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)
8.Cho ba mặt phẳng
( )
( )
( )
: 2 2 1 0
: 2 1 0
: 2 2 3 0
x y z
x y z
x y z
α
β
γ
− − − =
− + − =
− + + − =
a)Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b)Tìm quỹ tích các điểm cách đều
( )
α
và
( )

c)Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox
10.Cho mặt phẳng (P):2x- y+2z- 3 = 0 và mặt cầu (C ):
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến
b)Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
12. Cho hai mặt phẳng
( )
: 2 2 5 0x y z
α
− + − =
và mặt cầu (C)
2 2 2
( 1) ( 1) ( 2) 25x y z− + + + − =
a)Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với
( )
α
b)Tính góc giưa mp
( )
α
với Ox
c)Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với
( )
α
một góc 60
0
13.Cho bốn điểm A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Viết phương trình mp ABC.
b)Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
14.Viết phương trình mp đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x- y+ z -4= 0 và 3x- y + z -1= 0

2
+( y+1)
2

+( z−1)
2
=9. Tìm m để mặt phẳng (P) tiếpxúc với mặt cầu (S ) .Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (Pvà(S ) .
GV:Phan Thanh Nhật
Vn 5 V TR TNG I GIA MT CU V MT PHNG
1.Trong khụng gian vi h to cho mt phng ,Oxyz cho mặt phẳng (P) 2x-2y-z-4=0 v mt cu (S)
x
2
+y
2
+z
2
-2x-4y-6z-11=0 Chng minh rng mt phng (P) ct mt cu (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh to tõm v tớnh
bỏn kớnh ca ng trũn ú.
2.( kt 45 2009-2010 S GD&T Dak Lak)
Cho Mt Cu (S):x
2
+y
2
+z
2
+2x-6y-15=0 v mt phng (P):x+2y+2z+4=0
a)Xỏc nh tõm I v bỏn kớnh R ca mt cu (S)
b) Chng t rng mp(P) ct mt cu (S) theo mt ng trũn v tớnh bỏn kớnh r ca ng trũn ú
c) vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi trc Oy, Vuụng gúc vi mt phng(P) v tip xỳc vi mt cu (S)
3. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho bn im A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3).

a)Qua A(3;-1;2) v song song vi ng thng
1 2
3
x t
y t
z t
=


= +


=

b)Qua A v song song vi hai mt phng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
c)Qua M(1;1;4) v vuụng gúc vi hai ng thng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
=


= +


=


=

lờn mt phng (P):x+ y - z + 3= 0
6.Vit phng trỡnh giao tuyn ca hai mt phng
7.Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng:
v .cú phng trỡnh
2 1 '
2 3 ; 2 '
4 1 2 '
x t x t
y t y t
z t z t
= = += + = += = +

a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng và song song với đờng thẳng .
b) Cho điểm M(2;1;4) . Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng sao cho đoạn thẳng MHcó độ dài nhỏ nhất.
8.Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hai ng thng
6 3 '
, 1 ; ' 1 2 '
'
x a at x t
d y t d y a at
z t z t

a) Chng minh rng chộo nhau v vuụng gúc vi nhau.d và d
GV:Phan Thanh Nht
b) Viết phương trình tổng qu¸t của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng và song songvới đường thẳng
4 2 3
1 4 2
x y z− − −
= =
10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;1;1),B(0; −1;3) và đường thẳng
9 2
, 8 3
x t
d y t
z t
= −


= −


=

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của đoạn AB và vuông góc với AB
. Gọi K là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . Chứng minh rằng d vu«ng goc víi IK
b) Viết phương trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt
phẳng có phương trình x+y−z+1=0.
11. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho ®iÓm A (−4; −2; 4) vµ ®êng th¼ng d:
3 2
, 1
1 4
x t

d :
1 1 2
x y z
= =
vµ d’ :
1 2
,
1
x t
y t
z t
= − −


=


= +

(t là tham số).
a) Xét vị trí tương đối của và d vµ d’
b) Tìm tọa độ các điểm M thuộc d và N thuộc d’ sao cho đường thẳng MN song song với mặt (P) : x − y + z = 0 và độ dài đoạn
MN bằng
2
.
15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:
d :
1 1
2 1 1
x y z− +

x y z− − +
= =
−
1. Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
2. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A, vuông góc với d và cắt d’.
17.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
GV:Phan Thanh Nhật
. d:
1
1
2
x t
y t
z
= +


= − −


=

d’:
3 1
1 2 1
x y z− −
= =
−
1. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
2. Xác định điểm A trên d và điểm B trên d sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

b) (d)
1 2
2 2 1
x y z− −
= =
−
và (d’)
8 4
2 3 1
x y z+ −
= =
−

c) (d)
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và (d’)
7 2
6 9 12
x y z− −
= =

d) (d)
1 2
3
x t
y t

và
( )
:3 3 2 5 0x y z
α
− + − =
c)(d)
9 1 3
8 2 3
x y z− − −
= =
và
( )
: 2 4 1 0x y z
α
+ − + =
3.Tính góc giữa các cặp đường thẳng ở bài 7.
4.Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng ở bài 7(nếu chúng chéo nhau hoặt song song nhau)
5.Tính góc giữa cặp đường thẳng và mặt phẳng ở bài 8.
6.Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;3) đến các đường thẳng
a)(d
1
):
12 9 1
4 3 1
x y z− − −
= =
b) (d
2
):
1 2

a)Tìm giao điểm giữa (d) và
( )
α
b)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo lớn nhất
c)Viết phương trình mp chứa (d) và hợp với
( )
α
một góc có số đo nhỏ nhất
8.Trong không gian cho bốn đường thẳng
(d
1
):
1 2
1 2 2
x y z− −
= =
−
, (d
2
):
2 2
2 4 4
x y z− −
= =
−

(d

+ + − =
a)Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và BC
b)Tìm trên mp
( )
α
điểm cách đều 3 điểm A,B,C
c)Tìm phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mp
( )
α
10.Cho tứ diện ABCD.Biết rằng A(1;1;2), B(1;2;1), C(2;1;1), D(1;1;-1)
a)Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD
GV:Phan Thanh Nhật
b)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
c)Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên mp (BDC)
d) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng DB
e)Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp (BCD)
11.Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M(2;-1;1) qua mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
12.Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A(2;-1;5) quađường thẳng
1 2 3
1 2 3
x y z− − −
= =
13.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) và mp
( )
: 2 0x y z
α

: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho MA
2
+MB
2
nhỏ nhất
17.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3) và mp
( )
: 2 0x y z
α
+ + − =
Tìm điểm M trên mp
( )
α
sao cho MA
2
+MB
2
+MC
2

nhỏ nhất
18.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5),C(-1;-2;-3), D(1;5;1) và mp
( )
: 1 0x y z

=


= −


= +

Và (d
3
) là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) ( )
: 2 4 3 0, : 2 1 0x y z x y z
α β
− + − = − − + =
Viết phương trình song song với (d
1
) cắt cả hai đường thẳng (d
2
) và (d
3
)
20.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t



=


=

(d
2
):
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

22.Cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
và (d’):

=

.
a)Chứng tỏ rằng (d) và (d’ ) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa chúng
b)Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng
c)Tính góc giữa (d
1
) và (d
2
)
24.Cho hai đường thẳng (d
1
):
1 3
2
x t
y t
z t
= +


= − +


=

GV:Phan Thanh Nhật
Và (d
2
) là giao tuyến của hai mặt phẳng

b) Xác định tỷ số
b
a
để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , AC cắt BD tại gốc toạ độ
O.Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN.
3.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.
a)Chứng minh rằng
' ( ' ')A C AB D⊥

b)Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng tâm của tam giác AB’D’
c)Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD)
d)Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’)
e)Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’
4.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k ,(
0 2k a< <
)
a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất
b)Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên.
c)Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và lúc đó MN song song với AC.
5.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc
·
0
60BAD =
và đường cao SA = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC)

là mp song song với BC và
vuông góc với mp(SBC), gọi I là trung điểm của BC.
a)Tính khoảng cách từ I đến mp
( )
α
b)Tính góc giữa AB và
( )
α
8.Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 60
0
. gọi M là trung điểm cạnh
AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA'
theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông.
9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆. Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a.
Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
10. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2
2
). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
GV:Phan Thanh Nhật
b) Gi s mt phng (ABM) ct SD ti N. Tớnh th tớch hỡnh chúp S.ABMN.
12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết
A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đờng thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
13. Trong khụng gian vi h ta Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCDcú ỏy ABCD l hỡnh ch nht, AC ct BD ti gc ta O . Bit
A( 2;1;0),B( 2;1;0), S(0;0;3)
a) Vit phng trỡnh mt phng qua trung im M ca cnh AB , song song vi hai ng thng, AD, SC.

1. Vit phng trỡnh mt phng cha AB v vuụng gúc vi mp (P).
2. Tỡm ta im M (P) sao cho MA + MB nh nht.
6)( d b 1 khi A nm 2007). Cho lng tr ng ABCA
1
B
1
C
1
cú AB = a, AC = 2a, AA
1

2a 5=
v
o
120BAC =

. Gi
M l trung im ca cnh CC
1
. Chng minh MBMA
1
v tớnh khong cỏch d t im A ti mt phng (A
1
BM).
7) ( d b 2 khi B nm 2007). Trong khụng gian Oxyz cho cỏc im A(2,0,0); M(0,3,6)
1. Chng minh rng mt phng (P): x + 2y 9 = 0 tip xỳc vi mt cu tõm M, bỏn kớnh MO. Tỡm ta tip im.
2. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha A, M v ct cỏc trc Oy, Oz ti cỏc im tng ng B, C sao cho V
OABC
= 3.
8) ( d b 1 khi B nm 2007). . Trong mt phng (P) cho na ng trũn ng kớnh AB = 2R v im C thuc na ng

1
B
1
C
1
cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng
aACAB
==
, AA
1
= a
2
. Gi M, N ln lt l trung im ca on AA
1
v BC
1
. Chng minh MN l ng vuụng gúc chung ca cỏc ng thng
AA
1
v BC
1
. Tớnh
11
BCMA
V
.
GV:Phan Thanh Nht
11)(Đề dự bị 2 khối D năm 2007).Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng
2
z

2
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
12(Đề dự bị 2 khối D năm 2007). Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA
1
.
Chứng minh BM ⊥ B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
13. (Đề dự bị 1 khối A năm 2006).
Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 60
0
. Gọi M,N là trung điểm các cạnh A’D’ và
A’B’.Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN
14.(Đề chính thức khối D năm 2007).
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với
đáy và SA =
2a
.H là hình chiếu của A lên SB .Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách
từ H đến mặt phẳng (SCD)
15. (Đề chính thức khối B năm 2007).
Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của
SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1
3
2
0
x 2
dx
x +1
2 1
 
−
 ÷
+
 
∫
x
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SA vu«ng gãc víi mp(ABCD) vµ SA = a. Gäi
E lµ trung ®iĨm cđa c¹nh CD. TÝnh SH theo a víi H lµ h×nh chiÕu cđa S lªn ®êng th¼ng BE.TÝnh thĨ tÝch cđa khèi nãn trßn xoay
khi quay
∆SHE
quanh SH.
Câu V (1 điểm) Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: abc = 1.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab bc ac 3
+ +
c a + c b a b +a c b a +b c 2
≥
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) . Thí sinh chỉ đựoc làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

=+−−
=++−
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
vµ ®iĨmA(1, 2, 3)
a. LËp ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A vu«ng gãc víi
( )
1
d
vµ c¾t ®êng th¼ng
( )
2
d
.
b. LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu t©m A c¾t
( )
1
d
t¹i A, B ph©n biƯt sao cho AB = 3
Câu VII.a (1,0 điểm) Cho n
∈
N
*
tho¶ m·n :
1 2 2 3 3 4 2 2 1

2
1
1
:
1
−
=
−
=
− zyx
d
;
( )

0532
02
:
2



=−+−
=−+
zyx
zyx
d
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
), (d
2