PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Cho ∆ABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong k
o
gian.
a/ CMR: MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= 3MG
2
+ GA
2
+ GB
2
+ GC
2
.
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= k
2
.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ∆BCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý.
a/ CMR:

.
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’ =
CN. CMR: AM ⊥ BN.
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng :
a/
' ' 2AC A C AC+ =
uuuur uuuur uuur
b/
' ' 2 'AC A C CC− =
uuuur uuuur uuuur
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ:
a/
1 3
2a e e
→ → →
= − +
b/
1 2
2b e e
→ → →
= −
c/
1 2 3
2 7 3c e e e
→ → → →
= − +
d/
2 3
1

5
3
v
→
= −
c/
1
( ;0; )
2
m
π
→
=
d/
( )
0; 2;5p
→
= −
e/
(0; 0; 2)q
→
= −
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ:
(2; 5;3); (0; 2; 1); (1;7;2)a b c
→ → →
= − = − =
.
a/ Tính tọa độ của vectơ :
x a b c
→ → → →

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên
các trục Ox, Oy, Oz. Gọi
'
1
M
,
'
1
M
, M
3
’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng
Oxy, Oyz, Ozx. Tìm tọa độ của các điểm M
1
’, M
2
’, M
3
’. Áp dụng cho M(–1,2,3).
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục Ox.
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1).
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2).
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b/ Tính diện tích ∆ABC.
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5).
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó.
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1).
Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?

2
; 1)
Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ
a b
→ →
,
trong mỗi trường hợp sau :
a/
(4;3;1); ( 1; 2;3)a b
→ →
= = −
b/
(2; 4;5), (6;0; 3)a b
→ →
= = −
Bài 13: Cho ∆ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).
a/ Tính các góc của ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ∆ABC.
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó.
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1).
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1).
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có
(6;3; 2)AB = −
uuur
và
(3; 2; 6)AD = −
uuur
.
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,a b c

b/ Phân giác trong góc A của ∆ABC cắt BC tại D. Tìm tọa độ của D.
c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ∆ABC.
Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2).
a/ CMR: ABC là tam giác vuông.
b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B.
c/ Tính diện tích của ∆ABC.
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D.
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và
2OC i j k= + +
uuur r ur ur
.
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
b/ Tính chu vi và diện tích của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A.
e/ Tính các góc của ∆ABC.
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1).
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A.
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3).
a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc.
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu
vuông góc của P trên (ABC).
2
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và
( )

; ; 4
2 2
D
 
 
 
.
a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành.
b/ Tính diện tích hình bình hành đó.
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0).
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC).
b/ Tìm trực tâm H của ∆ABC.
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1).
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0.
a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α).
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên.
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz.
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0.
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0.
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0.
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số :
x t
y t
z t t
= +
= − +
= − − +

c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc
với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.
d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song
với trục Oy.
e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3).
f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X).
B/ Vò trí tương đối của hai mặt phẳng.
3
Bài 1: Xác đònh m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a/ Chứng minh (P) cắt (Q).
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R).
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R).
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y
+ z – 1 = 0.
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x +
y + z = 0.
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x
– z + 7 = 0.
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3).
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD).
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD).

Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận
(2; 3;5)a
→
= −
làm vectơ chỉ phương.
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
4
a/ Song song với đường thẳng a:
x t
y t
z t
= +
= − −
= − −





1 5
2 2
1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng:
3 2 7 0
3 2 3 0
x y z
x y z

− + − =

.
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy
biết p.trình tham số của d là:
a/
2 2
1 3
4 3
x t
y t
z t
= +


= − +


= − +

b/
1
2 4
3 2
x t
y t
z t
= − +



= =
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d:
2 5 0
2 3 0
x y z
x z
− + + =


− + =

trên mp: x + y + z – 7 = 0.
Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d
1
):
1 0
2 0
x y
x z
+ + =


− =

; (d
2



− =

tại giao
điểm của đường thẳng d và mp(P).
5