Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
1
Chơng 1:
Nguyên hàm
Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1
)(
2


x
x
xg
2) Tính nguyên hàm của hàm số
32
)1(
1
)(


x
xf
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0#,)(
2
aaxxxg

nguyên hàm của hàm số
axxf
2
)(
Bài 5: CMR hàm số









0 xkhi0
0 xkhi
4
)1ln(
)(
2
xxx
xF
là một nguyên
hàm của hàm số














3
11
;
dx
x
x










3
1
2)
dxxxxxx .))(2(
44



2
dx
x
x
dx
x
dx




2)
.
sin
;.
sin1
dx
x
dx
dx
x
dx


3)
dx
xxx
dx
dx
x



xx
dx
dx
x
e
e
x
x
3)
49
3.2
;.)1(
3


dxdxe
xx
xx
x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
.cot; cos.sin
2

dxgxdxxx
2)



2
)(;
132
f(x)
23
24




xx
xf
x
xx
3)
94
194
)(;
2
1
f(x)
2
3
2





x

xxxxx
xf
432
2
2
4.3.2f(x);23)(
2)
x
xx
x
exf
10
52
f(x);)(
11
23




Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
)1(
;.)1.(
100
2
10


dx

)2()1(
)1(
2






x
c
x
b
x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
xxxxf
444
cossinf(x);cos)(
2)
xgxxxf
266
cotf(x);sincos)(
3)
x
xxxf
4

x
xx
xf
6)
22
3
)1x(x
1
f(x);
1
)(




xx
xf
7)
)x.ex.(1
1x
f(x);
1
1
)(
x






2
2
x-1
11
f(x);
3
)(
xx
x
x
xf




3)
;
1x
2
)(;
x1
1
)(
2




x
x

x
A






.
)23(
3
B;
1
1
24
2
4
2
3)
dx
xx
x
dx
xx
A






A
x
.
1)1(.1
B;
1
3
2
3
2





3)





65
B;
12.2
2
xx
dx
xx
dx
A

xxx
dx
A
6)







1
2
B;
1).43(
)186(
2
2
22
3
x
dxx
xx
dxxx
A
7)



1

xx
dx
A
3
cos.sin
1
B;
sin22sin
3)


dx
xx
x
xx
dx
A
1sincos
sin
B;
cos.sin
2
4
53
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)


dx
x






x
dx
x
dxx
A
4)
;
2
x
2
2



x
dx
A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1)

dxxaxA
2




ee
dxxxA
xx 2/
5
1
B;.sin.cos
4)


dx
ee
dxxxA
xx
x
4
1
B;).ln1(
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phơng pháp tích phân từng phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
x
x
x
xxf 2sinxf(x);
ln
f(x);ln)(
2
2


dxbxedxxxA
ax
).sin(.B;.cos.
2)

dxxxdxxeA
nx
.ln.B;.cos.
22
3)

dxxxdxexA
x
).3sin(.B;
232
4)



dxxx
x
dxex
A
x
).2cos(.B;
)2(
.
2
2
2

1)

dx
x
x
x
dx
A .
cos
B;
sin
23
2)




dx
x
x
dx
x
x
xA .
sin
cos
B;.
1
1
ln.

3
1
)()
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
)1(
1
)(


xx
xf
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
23
333
3
2



xx
xx
y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
)2(
)1()1(
2



)(
22




xx
xf
xx
xf
2)
)22(
1
)(;
)123(
1
)(
3222




xx
xf
xx
xf
3)
)54(
137
)(;


x
x
x
xx
xf
5)
1)x(x
1
f(x);
12
)(
22
3




xx
x
xf
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
1)




dx
xx
x




dx
x
x
xx
dxx
A .
)10(
B;
)1(
).1(
210
4
7
7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
1)





dx
x
x
xxx
dxx
A .

Lợng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2
sin)(
2
x
xf
2)
;cot)(;)(
65
xgxfxtgxf
3)
;sin.cos)(;8sin.cos)(
233
xxxfxxxf
4)
xxxxf
xxxxf
3cos.2cos.cos)(
;4sin.2cos.cos)(


Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1)









xxxx
dx
xxx
dx
A
22
22
cos5cos.sin8sin3
B
;
cos2sinsin
4)





xx
dxx
x
dxx
A
442
cossin
.2cos
B;
1sin

cos2sin
)cos(sin
7)




1cos2
).sin(sin
B;
sin
.cos
2
3
3
4
x
dxxx
x
dxx
A
8)






12sin
B;


11
)1(
B;
1
2
2
2
xxx
dxxxx
xxx
dx
A
3)






322
)1(
B;
16
).54(
x
dx
xx
dxx
A

xx
dx
A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
Biết rằng



Cxx
x
dx
)3ln(
3
2
2
Tìm
nguyên hàm

dxxxF .3)(
2
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999). Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
10
1
)(


x
x
xF


)
4
cos(.2)(

3)
xxxx
xF 4.3.2F(x);)23()(
32x22

4)
xx
x
ee
exF




x
23
e
F(x):)(
5)
x
x
x
x
e
e

Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1)

dxxedxbxeA
xax
.sin.B;).sin(.
22
2)

dxexdxxxA
xn 32
.B;.ln.
3)

dxxxdxxA ).12ln(.B;).sin(ln
2
4)
;.).4252(
223

dxexxxA
x
5)



x
x
e
dxe

1
ln.
1
1
2



dx
x
x
x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1)






1.
)1ln(.
B;
1
2
2
x
dxxxx
e

2
1-
2
3
2x
x.dx
B;).1( dxxA
2)





2
1
5
2
22x
dx
B;.
527
e
x
dx
x
xx
A
3)





1
0
4
0
2
dx;B;
cos
.
xx
xx
ee
ee
x
dxtgx
A

5)






2
1
2
1
0

x
dx
ee
dx
A
xx
7)




2
4
4
1
2
1
2
;
sin
B;
1


x
dx
xx
dx
A
8)

B;
cos3sin
x
xx
x
dx
xx
dx
A

Bài 2: Tính các tích phân



2
4
2
0
2
)
4
(cos.sinB;.3sin.5cos




dxxxdxxxA
Bài 3: Tính các tích phân



2b
a
,
1. va2
2
dxaF

Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
CMR




4
0
4
0
2
2
)
5
103
(log dxdx
x
xx
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2)(
2

x

0
19
;.)1( dxxxA
2) (ĐHSP Quy Nhơn)


1
0
102
;.)321)(31( dxxxxI
3) (ĐHTM 1995)



1
0
2
5
;.
1
dx
x
x
I
4)



a
xa

1
1
0
2
2
1
0




dx
x
x
dx
x
x
A
2)
1
B;.
1
0
1
2
1
2
2
2
2

0
32

dxxA
6)
1998)(HVQY;.
1.
3
2
2


dx
xx
dx
A
7) (ĐHGTVT HN 1996)


3
0
25
;.1 dxxxA
Bài 3: Tính các tích phân sau
1)


3
0
4

dx
A
3) (ĐHQGTPHCM 1998)



2
0
4
sin1
.2sin

x
dxx
I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)



2
0
2
cossin711
.cos

xx
dxx
I
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT

7) (HVBCVT HN 1998)



2
0
2
3
cos1
.cos.sin

x
dxxx
I
8) (CĐSP TPHCM 1997)



6
0
2
sinsin56
.cos

xx
dxx
I
9) (HVNH HN 1998)



B
x
dxx
A
e
2) (ĐH CĐoàn 1999)



2ln
0
1
x
e
dx
I
3) (ĐH Y HN 1999)



1
0
2 xx
ee
dx
I
4)




dxxdx
x
x
A
2)
;
1
B;1
1
1
2
1
0
3



dx
xx
x
dxxxA
3)
;
1
B;2
1
0
6
2
2

2
0
4
6
.
cos31
sin
B;.cot


dx
x
x
dxgxA
6)








2
0
cos
6
0
2
cos.B;.cossin41

3
4
3
6
2
cos
sin
B;
cos
sin


dx
x
x
dx
x
x
A
9)





3
6
4
3
6

cos1
2sin
B;
2sin2
cossin

dx
x
x
dx
x
xx
A
**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
11)





ee
xx
dx
dx
x
x
A
1
2
1



2ln2
2ln
1
0
1
B;
1
xx
e
dx
e
dx
A
14)







1
0
3ln
0
B;
xx
x

;
1
1
ln
1
1
2
1
0
2










dx
x
x
x
A
17)



4


dxxxdxxxA
2)



2
0
3
4
2
.3cos.B;
sin
.



dxxe
x
dxx
A
x
3)




e
x
dxxdxxeA


2
1
2
1
2
.
ln
B;.)ln1( dx
x
x
dxxA
e
7)
;.
ln
1
ln
1
2
2








e

2
2
4
2
3
0
2
)(cosB;)1ln(


dxxdxxxA
11)




2
3
4
0
cos1
sin
B;sin
2



dx
x
xx

0
2
.cos.

dxxxI
2) (ĐHQG TPHCM 2000)


1
0
2
).(sin dxxeI
x

3) (CĐKS 2000)


e
dxxxI
1
.ln).22(
4) (ĐHSPHN2 1997)


4
0
.2sin.5

dxxeI
x



2)













2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B;.
1
1


dx
xx
x
dx
x
x
A
2)






0
2
0
2
.
cos1
sin.
B;.
cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x

3
).sin(sinB;.sin.A dxnxxdxxx
3)




4
4
4
357
2
1
2
1
92
cos
)1(
;.sin.A


x
dxxxxx
Bdxxx
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính








0
3
.sin. dxxxI
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính






dx
x
I
x
.
13
sin
2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính




1
1
4
.




2
;0

Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
8
b) CMR :


4
0
2
4
).().(


dxxgdxxg
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
1)
;
23
B;
)1(
.
0
1







x
dxx
x
dxxx
A
3)
;
)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2
23






xx
dxx
xxx
dxxxx
A
5)
;
34
B;
2
2
1
24
2
1
23





xx
dx
xxx
dx
A
6)
;
)4(
.

4
2
1
26






xx
dxx
xx
dx
A
8)






1
0
22
2
4
3
36
5

2) (ĐHNL TPHCM 1995)



1
0
2
65xx
dx
I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)



1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I
4) (ĐHNT HN 2000)




1
0

dx
I
7) (ĐH MĐC 1995 )



1
0
24
34xx
dx
I
8) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số
A,B,C để
21
)1(23
333
23
2








x
C
x

I
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x
x
dxx
I




x
1
t:HD
1
).1(
2
1
4
2
11)Xác định các hằng số A,B để
1
)1()1(
2
22







cho








11
)2)(1(
)(
2
2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx
dxxf
b) Tính

3
2
)( dxxf
Bài 6 Tích phân các hàm số lợng giác
Bài 1: Tính các tích phân sau

4
).sincos(B;
2cos
.


dxxx
x
dxxtg
A
3)
dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4
0






4)

.2sin

x
dxx
x
dxx
I
2) (ĐHSP TPHCM 1995)
Cho
xx
x
xf
cossin
sin
)(


HÖ thèng bµi tËp tÝch ph©n- øng dông cña tÝch ph©n
Tæ to¸n : Trêng THPT B×nh Giang Th¸ng 5/2007 VTT
9
a) T×m A,B sao cho










sincos
.cos

xx
dxx
xx
dxx
b) TÝnh



2
0
44
4
sincos
.cos

xx
dxx
I
4) (§H C«ng §oµn 1999): TÝnh



2
0
2sin1

x


4
0
4
cos

x
dx
I
8) (HVKTQS 1999):TÝnh



4
0
4
3
cos1
.sin.4

x
dxx
I
9) (§HNN1 HN Khèi B 1998)



2
0
cos1

0



13)(§HGT TPHCM 2000) TÝnh


3
6
6
2
cos
.sin


x
dxx
I
14)(§HNN1 HN 1998) TÝnh




2
6
.
cossin
.2cos2sin1




dxxxI
18) (HVNH TPHCM 2000)



4
0
2
cos1
.4sin

x
dxx
I
19) (§HLN 2000)




2
0
22
cos4sin3
)cos4sin3(

xx
dxxx
I
20) (§HM§C 2000)

a) T×m A,B ®Ó
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(
cos.
)(
2




b) TÝnh



0
2
).(

dxxhI
22) (§HBK HN 1998)


2
0

Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
10
25) (ĐHTCKT HN 1996)




2
0
.
5cos3sin4
6cos7sin

dx
xx
xx
I
26) (ĐHBKHN 1996)


2
0
2
.cos.

dxxxI
27) (ĐHCĐ 1999)


2

0
815
)0(.2.B;.31.
2)




4
10
222
)0(
)1(
B; a
xx
dx
dxxaxA
a
3)






2
1
0
1
2

5)




22
0
2
2
1
2
.1B;
1.
dxxx
xx
dx
A
6)





2
7
0
3
1
0
4

A
8)
;
11
1
(*)
0
1
3





x
dx
x
x
A
***đổi biến lợng giác ****
9)



0
1
2
1
0
2


1
0
2
3
1
.
xx
dxx
I
2) (ĐH BKHN 1995)



2
3
2
2
1. xx
dx
I
3) (HVKTQS 1998)




1
1
2
11 xx





1
0
2
1
).1(
x
dxx
I
8) (ĐHTM 1997)



7
0
3
2
3
1
.
x
dxx
I
9) (ĐHQG TPHCM 1998)




I
3) (HVQY 1997)



3ln
0
1
x
e
dx
I
4) (ĐHAN 1997)


2
0
2
dxexI
x
5) (ĐHKT HN 1999 )


2
0
3sin
.cos.sin.
2

dxxxeI

1) (HVQY 1997)



2
0
2
dxexI
x
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
11
2) (ĐHQG HN 1998 )



1
0
1
x
e
dx
I
3) (PVBC&TT 1999)



e
dx
x

1
)1(
x
x
e
dxe
I
6) (ĐHTM 1998)



2ln
0
5
.5
x
e
dx
I
Bài 9 Tích phân các hàm số chứa giá
trị tuyệt đối
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản)
1)


2
0
2
2
0

x
4)



5
0
22
.434I dxxxxx



3
0
23
2
2
1
2
2
;.44B;.2
1
A dxxxxdx
x
x
Bài 2: Tính tích phân sau :
1)


8



3
0
23
;.2I dxxxx
Bài 10 Tính tích phân bằng tích
phân phụ trợ
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1)





6
0
4
0
cossin
cos
B
cossin
sin


xx
xdx
xx
xdx


x
xdx
Chơng 3:
Một số ứng dụng của
tích phân
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va0y;cos.sin
32

xxy
2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay;
xx
eey
3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va
12
1y;
2
3
sin21
2



xx

y=ax+2a
10)Tính diện tích giới hạn bởi
34:)(
2
xxyP
và 2 tiếp tuyến tại các
điểm A(0;-3) và B(3;0)
11)(ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay;)1(
5

x
exxy
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
12
12)Tính diện tích giới hạn bởi
4
0Oy voi trucx vacosy;sin
33

xxy
13)(HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
342:(C);0
23
xxxyy
và tiếp
tuyến với đờng cong (C) tại điểm có hoành
độ x=2
14)(ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi

4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
xyP 2:)(
2

và đờng thẳng có phơng trình
y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
2
2
1
31:)(P va2:)( yxyxP
Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn
bởi






0;
3
;0; yxxtgxyD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay
quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi


xyxyD ;
2
Tính thể tích vật thể tròn
xoay khi D quay quanh trục Ox
7) (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay
quanh Ox









xxxxyyD ;
2
;sincos1;0
44
8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi
phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới
hạn bởi các đờng
y=x.e
x
, x=1 , y=0 (0 x 1 )
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi
hình
1
164

b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn
bởi

xyxyD 4;)4(
232

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay
quanh Ox
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( xxyC
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0)
đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh
Ox
13) Cho miền (H) giới hạn bởi đờng cong
y=sinx và đoạn 0 x của trục Ox . Tính
thể tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Tổ toán : Trờng THPT Bình Giang Tháng 5/2007 VTT
13
Chơng 4:
Giới thiệu đề thi ĐH-CĐ
(từ năm 2002 trở lại )


4
0
2
2sin1
)sin21(

x
dxx
I
3) Khối D: Tính tích phân


2
0
2
.dxxxI
Năm 2004
1) Khối A: Tính tích phân



2
1
11
.
x
dxx
I
2) Khối B: Tính tích phân