Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
• Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y = F(x) là một
nguyên hàm của hàm số y = f(x) khi và chỉ khi F′(x) = f(x), ∀x∈(a, b).
• Nếu y = F(x) là một nguyên hàm của hàm số y = f(x) thì tập hợp tất cả các
nguyên hàm của hàm số y = f(x) là tập hợp I =
{ }
+ ∈
F( x ) c c R
và tập hợp
này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
= = +
∫
I f ( x )dx F( x ) c
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x∈(a,b).
Cho x một số gia ∆x sao cho (x + ∆x) ∈ (a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
( )
( ) ( )
′

= ∆


′
= ∆



dy y x dx
df x f x dx

• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do
( ) ( )
df x f x x
′
= ∆
nên f(x) khả vi tại điểm x ⇔ f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất: Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:

( ) ( )
(
)
−
± = ± = + =
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
=


=

( )
( )
=
∫
d f x dx f x dx
4.2. Nếu F(x) có đạo hàm thì:

( )
( )
( )
= +
∫
d F x F x c
4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
( ) ( ) ( ) ( )
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
( ) ( ) ( ) ( )
 
− = −
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:
( ) ( )
=

số dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn
được dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định
sau tồn tại
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
x
dx sin x cos x
e dx ; ; sin x dx ; dx ; dx
ln x x x

nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
2
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch π
bất kì của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm
chia:
−
= < < < < =
0 1 n 1 n
a x x x x b
. Trên mỗi đoạn
[ ]
−k 1 k
x ,x
lấy bất kì điểm
[ ]
1k k k

Nếu tồn tại
( )
→
=
∑
k
n
k k
Max 0
k 1
lim f
∆
ξ ∆
(là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích
phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là:
( )
∫
b
a
f x dx

Khi đó hàm số y = f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]
2. Điều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên
[a, b] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
( )
∫
b

ξ ξ
n
C
1
2
C
3
C
k-1
N
k
N
n-1
C
n
C
n
N
N
1
C
k
B
1
2
B
B
k
B
n

a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
( ) ( ) ( ) ( )
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
( ) ( ) ( ) ( )
 
− = −
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
( ) ( )
=
∫ ∫
b b
a a
kf x dx k f x dx
, ∀k ≠ 0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:
( ) ( )

ϕ ϕ
;
( )
( )
= =m a; M b
ϕ ϕ
.
Khi đó ta có:
( ) ( )
[ ]
( )
′
=
∫ ∫
b M
a m
f x dx f t t dt
ϕ ϕ
4.10. Công thức tích phân từng phần:
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′ ′
= −
∫ ∫
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng

+
∫
+ c
( ) ( )
1
sin ax b dx cos ax b c
a
−
+ = + +
∫
1
ax b ax b
e dx e c
a
+ +
= +
∫
( ) ( )
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
+ = − + +
∫
1
ax b ax b
m dx m c
a ln m
+ +
= +
∫

a a x
a x
+
= +
−
−
∫
( )
( )
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
= + +
+
∫
( )
2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
= + + +
+
∫
2 2
x x
arcsin dx x arcsin a x c
a a

= − + +
∫
2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a x
x x a
+ +
= − +
+
∫
( )
2 2
2
x x a
arc cotg dx x arc cotg ln a x c
a a
= + + +
∫
( ) ( )
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
 
+ = + + − +
 ÷
 
∫
( )

ax
ax
e a sin bx b cos bx
e sin bx dx c
a b
−
= +
+
∫
( )
2 2
ax
ax
e a cos bx b sin bx
e cos bx dx c
a b
+
= +
+
∫
5
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
−
Trần Phương
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải
chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng
minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:

= − = − = +
 ÷  ÷
− + − + +
   
−
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
a x
 
− +
 
= + = − = +
 ÷  ÷
+ − + − −
   
−
∫ ∫ ∫ ∫
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
( )
2 2
2 2
dx
ln x x a
x a
= + +
+

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a
a x
= +
+
∫
(với
x
tg u
a
=
)
Đặt
x
tg u
a
=
,
(
)
u ,
2 2
π π
∈ −
⇒
( )
( )

=
,u∈
,
2 2
π π
 
−
 
 
⇒
( )
( )
2 2
2 2
dx d a sin u
du u c
a x
a 1 sin u
= = = +
−
−
∫ ∫ ∫
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
2 2
dx 1 x
arctg c
a a
a x
= +
+

x x ; x x
−
−
= =
1
n
n
n
n
1 1
x ; x
x
x
;
−
=
m
n
n
m
1
x
x
;
−
=
m
nk
n
k

a a a
a
±
 
± ±
= = = =
 ÷
 
L
V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x −
∫
( )
3
2
1 1 1
dx 1 dx
1 1
x
x x
x x
− +
 
= = + + +
 ÷

1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
 
 
= + − + + = + − × + +
 
 
 
∫
3.
( )
( )
( )
17
2 2 2
d 2
d 1
2 5
2
2 5
x
x
I
x
x
= =
+
+

 
+
∫ ∫ ∫
5.
( )
( )
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
 
= + = − +
 
−
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c= − − = − − +
∫ ∫
7

∫
( )
3 2 2 2
4 5 6
10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1
x 1
− + − − + − +
= = =
− −
−
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 2 3 2
7 8
15 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
− + − + − +
= =
− +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∫∫∫
−−+=+−=−+=

15 16 17
4 2 2
10
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
= = =
+ − − −
−
∫ ∫ ∫
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
= = =
− +
+ + − +
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
21 22 23
2 2 2 2 2 2
x dx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3

1 e 1 e e e e
−
−
+ +
= = = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
ln 2 ln 4 1 e
3x
32 33 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 ln x
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e
−
+ − −
+
= = = =
− +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx= + = − = −
∫ ∫ ∫