NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1)
TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN
I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ
1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm
các hàm số thường gặp để tính
Ví dụ : Tính I = =
2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng

I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x .

*1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành
tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu
thức ,hoặc tử thức là hằng số.

= q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x)
là hằng số.
Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ
hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

*2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.

+ Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b)

I
1
= = = ln + C

+ Dạng II: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b )


)(x- x
2
) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2)
cho : = + .

Do đó : I
3
= = A + = Aln(x-x
1
)+Bln(x-x
2
) + C

b -Nếu x
2
+bx+c = (x- x
0
)
2
.(x
0
là nghiệm kép của mẫu thức )

Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I
3
= = = - + C

(1 + tan
2
t) Ta có:

I = = = = + C

+ Dạng IV : I
4
= .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số

a-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c có 3 nghiệm phân biệt x
3
+ax
2
+bx+c = (x – x
1
)(x – x
2
)(x – x
3
)

Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + +
Do đó :

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

= A.ln + . ln + (Bx
0
-C). + D (Đổi dấu rồi,yên tâm)

c-Nếu g(x) = x
3
+ax
2
+bx+c = (x- x
1
)(x
2
+px + q) trong đó x
2
+px+q = 0 vô nghiệm

Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = +

= + = + +

Do đó : I
4
= = A + . + .

= A.ln(x-x
1
) + .ln(x
2
+px+q) + (C - ). + D


xx
dx
; Chú ý:
c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x
2
+2x+3)

e/ I = = + +

g/ I= Chú ý: = (x-2)(x
2
+4x+4)

5. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x
2
+4x+4)

c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3)

d/ I = Chú ý : = (x+1)(x
2
-x+1)

-Đổi biến số ,đưa về nguyên hàm của hàm số hữu tỷ

1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ
(n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được)

Ví dụ 1 : I = .

- Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C

- Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cos
m
x.sin
n
x về
nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2:

I = = I = =

= = - cos3x - cosx + C

Ví dụ 2 : I =

- Đặt sinx = t Ta có I = = I = = =

Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t)

-Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I =

= = t
2


-Ta có : I = = = -

= - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t)

Ví dụ 6 : I = (Vì mẫu thức là sin
2
x,chính là mẫu thức của cot
2
x nên ta đặt cotx = t)

-Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot
3
x + C

(Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi)

Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là cos
2
x,chính là mẫu thức của tan
2
x nên ta đặt tanx = t)

-Ta có : I = = I = =

= - = +

= tanx + sin2x - x + C

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN


Đặt t = tan .Ta có : dt = (1+ tan
2
).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = .
Do đó :
I = = I = = = - + C

5/Tính nguyên hàm : I =

-Tách tử thức thành một tổng, có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức :

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8)
I = = I = . dx

= +
= + .dx

= ln + .dx .

Tính : J = .dx . xét các dấu hiệu như đã trình bày ở trên .Nếu không thỏa mãn

dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan

Ví dụ 11 : I = J = k =

4. Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx :

-Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp


2
0
33
)cos(sin dxx

2/
2
0
44
)cos(sin2cos dxxxx
;
2
0
22
)coscossinsin2( dxxxxx
;
2
0
sin2
1
dx
x
;
2
3
sin
1
dx
x

sin
dx
x
x

4/
2
0
441010
)sincoscos(sin dxxxxx
;
2
0
cos2 x
dx
;
2
0
2
3
cos1
sin
dx
x
x

3
6
4
cos.sin xx

xdxtg

dxxg
4
6
3
cot

3
4
4
xdxtg

6/
4
0
1
1
dx
tgx

4
0
)
4
cos(cos xx
dx

2
0

32
)sin1(2sin dxxx

8/
0
sincos dxxx

3
4
3
3
3
sin
sinsin
dx
xtgx
xx
2
0
cossin1 xx
dx

4
0
222
cossin
2sin
xbxa
xdx
4

53
sincos xdxx

4
0
2
cos1
4sin
x
xdx

2
0
3sin5 x
dx

10/
6
6
4
cossin xx
dx

3
6
)
6
sin(sin xx
dx


2
)sin2(
2sin
x
x
2
0
3
sin dxx

2
0
2
cosxdxx

2
0
12
.2sin dxex
x
2
0
22
cos x
xdx

12/
dxe
x
x

dx
x
x

13/
2
0
sin1cos dxxx
3
6
2
cos
)ln(sin
dx
x
x

dxxx
2
0
2
cos)12(
0
2
cossin xdxxx
4
0
2
xdxxtg
4
15/
2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(
dx
xx
xx

2
0
3cos2sincos xdxxx

4
0
5cos21
7cos8cos
dx
x
xxIII.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức)
Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc
hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây
1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức :
-Thông thường : Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (11)
Đặt = t ,ta có x + 1 = t
6
nên dx = 6 t
5
dt, = t
3
, = t
2Do đó : I = = 6 (đây là nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ)

3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và

a,b,c R , a 0:Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên)

-Ta có = . Gọi (x + ) = u và = =
Hai trường hợp :
1/Nếu 0 : Thì =

2/Nếu < 0 : = . (a > 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa )
Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau :
*
1
Hàm số chứa u và , đặt u = .tant
*
2

= =

= A + (B - ) = A +(B - )I
1 (Trong đó: I
1
= .Đặt t = x + + nói ở trên )

Ví dụ 6 : I = = .dx = - =

= - = .ln -

(Tính Ví dụ 5 ngay phía trên)

3/Tính I
3
= . Đặt (x – d ) = đưa về dạng I
1
nói trên .

Ví dụ 7 : Tính : I =
Đặt x-2 = thì dx = - dz , (x -2) = . =

Do đó : I = = = - (Giả sử z > 0,Nếu z <0 thì?)

(Tính Ví dụ 5 ở phía trên)

4/ Tính I

(đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên )
Ví dụ 8 :
Tính tích phân I = (Ở đây P
2
(x) = x
2
-1 Vì n = 2, Q
1
(x) = ax + b )
Lời giải:
Gỉa sử : = (ax+b). + . .

- Ta phải tìm các hệ số: a, b,
- Lấy vi phân hai vế ……. (Đã nói ở trên)
Ví dụ : Tính : I = .dx
Ta viết :

I = .dx = .dx = + . (*)

Vì P
n
(x) = x
2
+ 2x + 4 (n = 2) nên Q
n-1
(x) = ax + b (Bậc của nó là 1).
-Ta tìm các số thực a, b, sao cho : .dx = (ax+b). + .
Lấy đạo hàm hai vế .Chú ý đến: đạo hàm của nguyên hàm thì bằng hàm số dưới dấu tích phân,
nhớ các công thức :đạo hàm của một tích và đạo hàm của .Tìm được a, b, để thay vào
(*).Cuối cùng là tính , đặt t = x + 1+ Hoặc đặt (x+1) =