LỚP HỌC BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN THẦY NAM
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Biên Soạn: Thầy Nam
ĐT: 0981 929 363
16
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng ngun hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x),
rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân:
b
f ( x )dx F(b) F(a)
a
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
Bài 1. Tính các tích phân sau:
2
a)
k)
x2 2x
x3
1
x
2
g) ( x 1)( x x 1)dx
2
2
b) ( x 2
2
c)
x 1
dx
4
dx
x2
h) ( x 2 x x 3 x )dx
x 23 x 44 x dx
1
e2
dx
4
3
e 3 x 1 )dx
x
2 x 5 7x
dx
x
5
dx
1
d)
2
0
xdx
1 x2
dx
e)
2
2
0 3
3x 2
1 x3
dx
c) ( x 2 x x 3 x )dx
3
1
c)
sin 3x cos 2 x dx
0
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
4
d)
k)
3
tan x .dx
2
2
0
g)
dx
1 sin x
0
h)
3
2
x.cos2 xdx
2
x 5) dx
0
sin( x )
4
dx
2
2
cos
4
x dx
0
k)
2 ecos x
0
e ln x
1
x
x 2 x ln x
1
e)
g)
sin xdx
h)
dx
0
i)
1
e
1
2
xe x dx
m)
4
ex 2
1e
f)
2x
thì
b
u( b )
a
u( a )
g( x )dx
f (u)du
f ( x )dx .
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), = x(b)
thì
Bài 1. Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 1):
1
d)
2 3
5
0
n)
3
h)
x x2 4
0
e x dx
2
1
2
f) x 3 1 x 2 dx
1 x dx
0
dx
ln3
k)
e)
2x 1
0
g)
1
xdx
ln 2
x5 2x3
dx
1 x2
i)
0
2 ln x dx
2x
e
m)
1
ex
1 ex
dx
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
Baøi 2. Tính các tích phân sau: (đổi biến số dạng 2):
1
2
a)
1
dx
1 x
0
b)
2
0
3
d)
l)
x x2 1
0
4 x 2 dx
2
1
f)
2
x
1
dx
0 ( x 2 1)( x 2 2)
h)
x2 2x 2
3
x2 1
1
dx
1 x
2 5
0
2
m) x 2 x x 2 dx
dx
0
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp từng phần
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
a)
d)
2
2
xdx
e)
2
cos xdx
0
x tan
2
1
f) ( x 2)e 2 x dx
xdx
0
x
0
3
2
x ln xdx
e
2
l) e
cos x
m) ln 3 xdx
sin 2 xdx
0
1
e
e
1
x ln xdx
1
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứ GTTĐ, ta cần xét dấu của f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để
tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2
a)
2
x 2 dx
b)
0
3
d)
g)
2
x
4 dx
0
1
3
1
x
0
5
x 2 1 dx
3
4
2
x 2 x dx
x 4 x 4 x dx
2
1 sin xdx
e)
0
2
2
tan x cot x 2dx
3
h)
2
2
1 cos xdx
f)
sin x dx
1 cos2xdx
0
3
cos x cos x cos xdx i)
2
1 sin xdx
1
3
c)
3
dx
e)
x 3 dx
0 x 2 2x 1
4
x 2 dx
2 1 x 9
f)
x
1
5
2
dx
(1 x)
l)
x 3 3x 2
2
2
1
d)
2
0 ( x 2) ( x 3)
1
x (1 x 4 )
2
k)
x (1 x 2008 )
2
l)
1 x2
4
1 1 x
x2
3
0 (3 x 1)
dx
x 3 2x 2 4x 9
dx
0
x2 4
2
3
1
c)
0
1
2
g)
b)
i)
2
dx
2
x 1
3
dx
0 x 2 2x 2
1
0 1 x
3
i)
x4
2 (x
1
dx
m)
dx
2
dx
1)2
2 x4
2
0 1 x
g)
7
3
k)
3
0
2
2
n)
x 1
dx
dx
x 1
5
x4
x5 1
0
x 1dx
2
i)
2
0
dx
3x 1
3
x5 x3
0
c)
1
x 2 x 1
5
x
1
x3
2
1 x
dx
1 x
3
o)
2
x
2
3
2
1 x dx
b)
d)
x 2008dx
1
dx
e)
x
3
1
1
x 3dx
0
x x2 1
0
i)
x 2 2008
2
2
(1 x 2 )3
0
5
4
2
2
k)
x2 x2 1
3
2
1
g)
1
0
2
x2 1
12 x 4 x 2 8dx
1
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
cos xdx
6
1 cos3 x sin x cos5 xdx
e)
2
sin x cos x cos xdx
0
0
3
2
g)
tan x
cos x 1 cos2 x
c)
f)
dx
3
cos xdx
0
2 cos 2 x
2
i)
sin 2 x sin x
ln 2
dx
b)
ex 1
ln2 x
x ln x 1
0
0
dx
ex
(e x 1) e x 1
e)
e
e2 x dx
e x e x
ln 2
dx
i)
0
7
1 3ln x ln x
dx
x
e x dx
(e x 1)3
e x 1dx
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2
2
2
2
4
sin x cos xdx
0
2
(sin
3
3
x cos x )dx
0
0
3
sin x
2
1 cos x
dx
4
4
2
sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0
i)
0
2
n)
0
h) sin 2 x cos 3 xdx
k)
f) cos 2 3 x
0
0
g)
e) sin 2 xdx
d) sin 3 xdx
1 cos 3 x sin x cos 5 xdx
0
1 sin 2 x cos 2 x
dx
b)
sin x cos x
3
2
c)
e)
0
3
4
0
4
h)
(tan x e sin x cos x)dx
1 sin x sin 2 xdx
2
f)
3
2
0
3
sin x
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
1
dx
sin x
b)
2
dx
2 cos x
1 cos x dx
0
e)
0
2
2
1
sin x cos x 1 dx
0
2
2
cos x
dx
2 cos x
sin x cos x 1
dx
sin x 2 cos x 3
4
dx
0
cos x cos( x )
4
i)
2
a)
2
4
(2 x 1) cos xdx
0
d)
2
2
3
sin xdx
e)
0
6
ln(sin x )
dx
2
cos x
2
dx
i)
x tan
2
2
xdx
2
xdx
(2 x 1) cos
0
x
2
f)
2
0
x 2 cos xdx
h)
x
cos
0
9
dx
cos
4
x
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân của các hàm số Mũ và Lôgarit
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
1
a)
ln 8
d)
1
g)
ln 2
e x dx
0 1 e x
dx
1 x (ln x 1)
2
e)
l)
e x 1.e 2 x dx
ln 3
e2 x
x
0 e 1
x
1 ex
dx
1 ex
f)
0
1
1
c)
ln 2
ln 8
2
h)
1
sin xdx
b)
xe
1
2x
dx
0
0
d) (e cos x) cos xdx
x
e)
0
2
k)
2
e
ln x
x2
dx
3
l)
dx
1 ln2 x
dx
x
1
0
e2
e
10
ln( x 1)
dx
x
1
0
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
VẤN ĐỀ 9: Thiết lập công thức truy hồi.
b
Giả sử cần tính tích phân: I n f ( x , n)dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n. Ta thường gặp một số
a
yêu cầu sau:
Thiết lập biểu thức truy hồi, tức là biểu diễn In theo các In-k (1 k n).
Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.
Tính một giá trị I n cụ thể nào đó.
0
0
d) I n
2
x
n
cos x.dx
0
n
Đặt u x
dv cos x.dx
Jn
2
x
n
n
Đặt u ln x
dv dx
11
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1
g) I n (1 x 2 )n dx
GV: LÊ NAM – 0981 929 363
Đặt x cos t
2n
Đặt u sin t
dv sin t.dt
0
1
h) I n
1 x2
(1 x 2 )n
x2
(1 x 2 )n
u x
x
Đặt
dv
dx
2 n
(1
x
)
dx .
n
Đặt u x
n1
12
x
Đặt t
1
cosn1 x
Copyright: Tài liệu đại học ©