+ Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y= − +
1. Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm
( )
0 0
;M x y
thuộc đồ thò hàm số
(tức là tiếp tuyến duy nhất nhận
( )
0 0
;M x y
làm tiếp điểm).
Phương trình tiếp tuyến với hàm số
( ) ( )
: C y f x=
tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈

( hoặc tại
0
x x=
) có dạng:
( ) ( )
0 0 0
' .y f x x x y= − +

;
A A
A x y d∈
, ta được:
( ) ( )
0 0 0 0
' .
A A
y f x x x y x= − + ⇒
.
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến
( )
d
.
3. Lập phương trình tiếp tuyến
( )
d
với đường cong biết hệ số góc
k
Cho hàm số
( ) ( )
: C y f x=
. Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
, khi đó phương trình tiếp
tuyến có dạng:
( ) ( ) ( )
0 0 0

( ) ( ) ( )
0 0
. y g x k x x y d= = − +
Điều kiện để đường thẳng
( )
y g x=
tiếp xúc với đồ thò hàm số
( )
y f x=

là hệ phương trình sau có nghiệm:
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=


.
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến
( )
d
.
6/ Cho hàm số
( )


( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0
: ' : 3 6 3 2 1d y y x x x y d y x x x x x x= − + ⇔ = − − + − +
Điểm
23
; 2
9
M
 
−
 ÷
 
thuộc
( )
d
, ta được:
( )
( )
2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 20 1
2 3 6 3 2 2 2 2 0 2 3
9 3 3
x x x x x x x x x x x
   
− = − − + − + ⇔ − − + − = ⇔ = ∨ = ∨ =

( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
3
5 61
:
3 27
d y x= − +

b/ Đường thẳng
( )
: 3 5 4 0x y∆ − − =
có hệ số góc
3
5
. Từ giả thiết , ta có:
( )
3
' . 1
5
y x = −
2 2
1 2
5 1 5
3 6 9 18 5 0
3 3 3
x x x x x x⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ = ∨ =
. Hệ số góc tiếp tuyến là
5

3 3 3 3 27
d y x y d y x
   
= − − + ⇒ = − +
 ÷  ÷
   
7/ Cho hàm số
( )
4 2
y x x C= −
.
Chứng tỏ rằng qua điểm
( )
1;0A −
có thể kẽ được ba tiếp tuyến đến
( )
C
. Lập phương trình
các tiếp tuyến đó.
Giải:
Gỉa sử tiếp điểm là
( )
0 0
;M x y
. Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3 4 2

0
0x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
2
: 0d y =

Với
0
2
3
x =
thay vào
( )
1
ta được tiếp tuyến
( )
3
4 4
:
27 27
d y x= − −
Chọn Lọc Các Bài Toán Thường Gặp Về Đồø Thò trong kỳ thi Tuyển Sinh Đại Học, Cao
Đẳng các năm gần đây
Bài 1 Cho hàm số
( )
2

2 4 y x x C= −
.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
.
b/ Với các giá trò nào của
m
, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm phân biệt?
(Đại Học Khối B năm 2009)
Đáp số:
( )
0; 1m∈
Bài 3 Cho hàm số
( ) ( )
4 2
3 2 3
m
y x m x m C= − + +
,
m
là tham số.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số khi
0m =
.
b/ Tìm
m

x
−
=
tại hai điểm phân biệt
, A B
sao cho
4AB =
.
(Đại Học Khối B năm 2009)
Đáp số:
2 6; 2 6m m= = −
Bài 5 Tìm các giá trò của tham số
m
để đường thẳng
2y x m= − +
cắt đồ thò hàm số

2
1

x x
y
x
+ −
=
tại hai điểm phân biệt
, A B
sao cho trung điểm của đoạn thẳng
AB
thuộc

3 2
3 +4 1y x x= −
.
a/ Khảo sát vẽ đồ thò hàm số
( )
1
.
b/ Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm
( )
1; 2I
với hệ số góc
( )
3k k > −
đều
cắt đồ thò của hàm số
( )
1
tại ba điểm phân biệt
, , I A B
đồng thời
I
là trung điểm của đoạn
thẳng
AB
.
(Đại Học Khối D năm 2008)
Bài 8 Cho hàm số
( )
2


( )
1 2
1
; -2 ; 1; 1 ;
2
M M
 
−
 ÷
 
.
Bài 9 Cho hàm số
( )
3 2
2 9 12 4 y x x x C= − + −
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
.
b/ Với các giá trò nào của
m
, phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12 4x x x m− + − =
. (Đại Học Khối A năm 2006)
Đáp số:
( )
4; 5m∈
Bài 10 Cho hàm số

m

>



≠

Bài 11 Cho hàm số
( )
2
1

2
x x
y C
x
+ −
=
+
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò
( )
C
, biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận
xiên của
( )
C
?
(Đại Học, Cao Đẳng Khối B năm 2006)
Đáp số: Phương trình 2 tiếp tuyến cần tìm là:

6 6
M M
   
− − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Bài 13 Cho hàm số
( )
1
2
2
y x C
x
= + +
+
Tìm các giá trò
m
để đường thẳng
y m=
cắt đồ thò
( )
C
tại hai điểm sao cho khoảng
cách giữa chúng bằng
12
?
(Cao Đẳng Sư Phạm Hải Dương năm 2006)
Đáp số:
4; 4m m= = −

3 2
1 1

3 2 3
m
m
y x x C= − +
a/ Khảo sát vẽ đồ thò khi
2m =
.
b/ Gọi
M
là điểm thuộc
( )
m
C
có hoành độ bằng
1−
. Tìm
m
để tiếp tuyến của
( )
m
C
tại
điểm
M
song song với đường thẳng
5 0x y− =
.

Đáp số:
2m = −
Bài 17 Cho hàm số
( )
3
3 2 y x x C= − + +
a/ Khảo sát vẽ đồ thò
( )
C
b/ Tìm
m
để phương trình
3
3 2 6 0
m
x x− + − =
có 3 nghiệm phân biệt.