THPT Lê Hồng Phong-Thanh hoá
Một số dạng toán cực trị trong không gian
Dạng 1: Cho khối đa diện (T),M là điểm chuyển động trên cạnh AB nào đó của khối đa diện và (P) là
mặt phẳng thay đổi qua M. Xác định vị trí của M để thiết diện tạo bởi (P) và khối đa diện có diện tích
nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Ph ơng pháp chung
Dựng thiết diện(phơng pháp giao tuyến gốc)
Xác định hình dạng thiết diện(dựa vào tính chất của mặt phẳng (P) và hình dạng khối T)
Tìm cực trị
Chọn đối số:
[ ]
1;0
=
x
MB
MA
x
Lập hàm số: Lập công thức tính diện tích theo x và các kích thớc cho trớc S= S(x)
Khảo sát chiều biến thiên
1. Cho tứ diện ABCD, M là điểm bất kỳ thuộc AB (P) là mặt phẳng bất kỳ qua M và // AC và BD. Xác định
vị trí của M để thiết diện tạo bởi mp(P) và tứ diện có diện tích lớn nhất.
2. Cắt hình lập phơng bằng một mặt phẳng (P) đi qua một đờng chéo của hình lập phơng. Phải chọn mp(P)
nh thế nào để thiết diện thu đợc có diện tích nhỏ nhất.
Dạng 2: Cho khối đa diện (T)có một số điểm thay đổi và một số điểm cố định Xác định vị trí hình học
của các đỉnh thay đổi để khối (T) có thể tích nhỏ nhất hoặc lớn nhất
Ph ơng pháp chung
TH1:- Nếu khối đa diện có một kích thớcx thay đổi thì biến số chính là kích thớc thay đổi đó
-Lập công thức tính thể tích V=V(x)(xem x nh đã biết- Tìm tập xác định V(x)
Dx

)

gốc với (P).
a. Xác địng điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đờng kính BM tiếp xúc với Cy.
b. L là điểm di động trên Bx. Hỏi L ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm đợc điểm N sao cho tam giác
BLN có góc vuông ở N ?
c. Trong các vị trí của L nói ở câu b) Hãy xác định điểm L sao cho hình chóp A.BLNC có thể tích
nhỏ nhất.
4. (Đề 36) CHo hai điểm A, B đối xứng nhau qua mp(P) , I là giao điểm của AB và mp(P), O là điểm nằm
ngoài (P) có hình chiếu vuông góc xuống mp(P) là H. M là một điểm chạy trên đờng tròn đờng kính HI
vẽ trong (P).
a. Chứng minh IM là đờng vuông góc chung của AB và OM.
b. Cho AB= 2a; HM=x; MI=y. Tính thể tích khối tứ diện OMAB. Xác định vị trí của M để thể tích
đó lớn nhất.
c. Chứng minh rằng hai điểm A,B cách đều đờng thẳng OM.
5. (Đề 147) Trong mp(P) cho tam giác OAB với OA=OB; AB=2a và đờng cao OH=h. Trên đờng thẳng (d)
vuông góc với (P) tại O lấy điểm M với OM=x. Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của A lên MB và OB;
N là giao điểm của đờng thẳng EF và (d) .
a. Chứng minh:
MBMANAMB

và
.
b. Tính BF, BE và thể tích tứ diện ABè theo a, h và x.
1
THPT Lê Hồng Phong-Thanh hoá
c. Tìm vị trí của M thuộc (d) sao cho tứ diện MNAB có thể tích nhỏ nhất.
Dạng 3: Trong không gian cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b (
ba

), AB là đoạn vuông góc
chung, M và N là hai điểm chuyển động trên a và b sao cho giữa M và N thoả mãn một

1
A
2
. . .A
n
. Xác định hình dạng của hình chóp để tỷ số
R
r
đạt max
Ph ơng pháp chung
Gọi O
1
, O
2
là tâm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp
Chon biến : a cạnh dáy,

góc tạo bởi mặt bên và đáy
Lập hàm tính r, R dẫn đến
R
r
f
=
)(

Tìm cực trị ,đặt
[ ]
1;0
2
tan

3. (Đề 140) Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Trong mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với (P)
dựng tam giác đều ABE. Lấy điểm M thay đổi trên đoạn AB. Đặt BM=x. Từ E kẻ đờng vuông góc với
MC(N thuộc MC) . Gọi F và O theo thứ tự là trung điểm của AB và CE.
a. Tìm quỹ tích điểm N khi M chuyển động trên đoạn AB.
b. Tính MO theo a và x.
c. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của MO.
Dạng 6: Một số bài toán khác
2