Sổ tự học tự bồi dỡng
Ngày 29/8/2011.
Các bài Toán cực trị
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
22
4
)1(
1
x
x
+
+
với
0x
.
Bài 2. Cho P
zyxyxx ++

+
=
111
2
1
. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá
trị dơng nhỏ nhất.
Bài 3. Cho A
1
)1(2
2

++
=
x
xx
.
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
18216
23
++= xxx
, với
.1
2
1
x
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:
2
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+ zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của xyz.

=+ xyyx
.
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất
Bài 14. Cho biểu thức Q
1997321
1 111 xxxx ++++=
trong đó
1
x
,
2
x
,
3
x
,,
1997
x
là
các biến số dơng và thoả mãn điều kiện
1
1997321
=++++ xxxx
. Tìm giá trị lớn nhất của Q và
giá trị tơng ứng các biến của nó.
Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
yx
yxM
+

=
(với x > 0).
Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
62
2
+= xxy
với
1

x
.
Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
15 += xxA
.
Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
442522
22
+++= xxxxy

Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
xx
y
1
1
2
+

=
với 0 < x < 1.
Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A

+
+
=
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
.1414 ++= xxxx

Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
.200542425
22
++++= yxxyyx
Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất
? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
abc
bacacbcba
M
3
))()(( +++
=
.
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x
y
2
4
=
.
Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =

xyyzz +++
Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức:
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị
nhỏ nhất.
Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
.
4224
yx
y
yx
x
+
+
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
3
1
3
2
2

. Với
33

x
.
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xx += 5413
. Với
.51

x
Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
34
2
+
+
=
x
x
y
.
Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
c
c
b
b
a

xx +=
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
A
xx += 5413
. Với
.51

x
Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
25 xx =
. Với
.55

x
Bài 44. Cho
04)(4)(3
2233
=++++++ yxyxyx
và
0. >yx
. Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
M
yx
11
+=
Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
22
2

22
=+ yx
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S =
)2)(2( yx
.
Bài 49. Cho hai số dơng
x
,
y
thỏa mãn điều kiện:
2011
2010
=+ yx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S =
yx .2010
12010
+
.
Bài 50. a) Cho hai bộ số (a
1
; a
2
) và (b
1
; b
2
) bất kì.
Chứng minh rằng:

=+
=+++
622
36432
222
2222
dba
dcba
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
2222
dcba +++
.
Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A =
y
y
x
x
2
1

+

B. Hớng dẩn Giải:
Bài 1. Ta có: A =
1
1
2
1
21
2

x
x
xx
x
xx
xxx
x
x
.
Mặt khác:
[ ] [ ]
222222242444
)1(
2
1
)1()1(
2
1
)21()21(
2
1
)22(
2
1
1 xxxxxxxxx +++=++++=+=+
Do đó A
2
1

.

Mặt khác: Vì
*
, Nba
nên chỉ có thể
1
+=
ab
(đpcm)
Giải:
Ta có: P
zyxyxxzyxyxx ++







+







=
++

+

1
phải nhỏ nhất nhng lớn hơn
zyx ++
1
.






+








yxx
11
2
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
yx +
1
đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1

đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
47 ==+ yyx
.
Khi đó
42
1
7
1
6
111
2
1
==






+








yxx
và

2
2
2
22
2
2
2
2

+
+
+=
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
.

++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán.
Bài 4. Ta có:
31)3()1(9612
2222
+=+=+++= xxxxxxxxy

22)3()1(31 ==++= xxxx
.
Dấu = Xảy ra
310)3)(1( xxx
.
Bài 5. Ta có: M
22
)41()21(1815143 +=+++= xxxxxx

2)14()21(14214121 =++=+= xxxxxx
.
Dấu = Xảy ra
1754120)14)(21( xxxx
.


+=






++






+= xxx


Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1.
Bài 7. Ta có: y
078)1(78
1
78
222
2
2
=+++=+
+
++
= yxxyxxyyx

1
21
< xx
Khi đó
++= )18216(
1
2
1
3
1
2
2
2
1
xxxyy
)18216(
2
2
2
3
2
++ xxx

[ ]
21)(6)()()(21)(6)(
21
2
221
2
12121

1
2
21
>++++= xxxx
(1)
Và
0
21
< xx
(vì ta giả sử
21
xx <
) (2)
Từ (1) và (2)


)(0
21
2
2
2
1
xfyyyyy =<<
là hàm số đồng biến.

3494
4
1
)1(
2


+
+
+
+
+ zyxzyx 1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1

z
z
y
y
x +
+
+

+

Từ (*) và (**) ta có:
)1)(1(
2
1
1
zy
yz
x ++

+
(1)
Tơng tự ta củng có:
)1)(1(
2
1
1
zx
xz
y ++

+
(2)
Và
)1)(1(
2
1
1
yx
xy
z ++

5
2
3
4
9
1
2
3
2
3
213
22
22







+=+






++=++= xxxxx
.
b) Ta có: y =


+






+=+ 51
4
4
4
.2
4
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
5
1
5
1