LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)
BÀI TOÁN 1
Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho
OA = a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định
vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)
HD:
a) mp(ABC) :
1
x y z
a b c
+ + =
;
2 2 2 2 2 2
( ;( ))
abc
d o ABC
b c c a a b
=
+ +
b)
2
3
1 1 1
.( ) .
6 6 6 2 24
OABC
b c a
V abc a bc a

b)
3
3
3
3. ( . . )
1 1 ( ) 1 9
6 6 6 2
OABC
a b c
a b c
V abc abc
α β γ
α β γ
αβγ αβγ
+ +
= = ≥ =

9
min khi a =b =c
2
OABC
V abc
α β γ
=
suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c
1
c
b
a
C

BÀI TOÁN 3
Cho tứ diện SABC có
2 ; SC (ABC)SC CA AB a
= = = ⊥
,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)
HD: Chọn hệ trục C ≡ O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0);
S(0;0; a 2)

Viết phương trình SA và M∈SA suy ra M :
( ; ; )
2 2
2
t t t
M a a− −
; N(t;0;0)

6 2a
min khi t=
3 3
a
MN
=

BÀI TOÁN 4
Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM
2

A
S
M
N
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm
M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN
HD:
Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)
Vì MD’//NC’ nên:
a a m an
m
a n a n a
−
= ⇒ =
− −
. Suy ra : MN = m + n – a =
2 2
n an a
n a
− +
−
Xét hàm số :
2 2
( ) (n>a)
n an a
f n
n a

LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD:
Đặt AM = y ⇒ B’N = a – y
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a)
2
2 2 4 2 2
6
' , ' ( )
2 2
td
a a
S A M A N a a y a a y y
 
= = − + + ≥ ⇔ =
 
uuuuur uuuur
BÀI TOÁN 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có :
; 2 ;AA'=a 2AB a AD a
= =
.Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M
để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)

HD: Đặt AM = m
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0)
'(0;0; 2)D a
.
Khi đó M(m;0;0) ;
2

BÀI TOÁN 8
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm
M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi α , β lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng :
2 2
1
cos cos
2
α β
+ =
c) Tính α , β khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)
4
y
x
z
K
I
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M
LTDH GV VÕ SĨ KHUÂN
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) .
Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v)

c) α = β =60
0

BÀI TOÁN 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x .
Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất
5
y
x
z
A
B
D
C
A'
D'
C'
B'
M
N
y
z
x
A
D
C
A'
B'
C'
D'

x
y
x x
=
+ +
1
ax(sin )= khi x=1
3
M
α
. Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương
BÀI TOÁN 10
Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể
tích khối trụ đó
HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R)
suy ra bán kính của khối trụ là :

2 2 2 3
.
2 ( )
k tru
r R x V R x x
π
= − ⇒ = −

Xét hàm số :
2 3
x (0;R)y R x x= − ∈
BÀI TOÁN 11
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình

6
a
h
ϕ
=

Khi đó :
6 (cos +1) (cos +1)
;
cos
3 sin
r r
a h
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
= =
;
2 2
3 3
(cos +1) r(1+t)
3 = 3r (0<t=cos <1
cos (1 cos ) t(1-t)
V r
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
−
Xét hàm số :

Xột hm s
2
( ) ( ) (0<r<R)f r r R r=
S:
2
.
4 2R
; r=
81 3
k tru
V R h

=
BI TON 13
SBT-B34 :Cho khi chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn C v
SA mp(ABC) ,SC = a.Hóy tỡm gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tớch khi
chúp ln nht.
Gii
Ta cú: SA(ABC) v BCCA BCSC (theo nh lý 3 ng vuụng gúc)
suy ra gúc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) l
ã
SCA
.
t :
ã
2
0<x<


=

3cos cos cos
3 3

+
ữ ữ
ữ ữ

x x x
Vỡ
2
cos cos 0
2 3
0 < x <


+ >
ữ
ữ

x x
.
2
2
Goùi laứ goực sao cho cos = ,0 < <
3


Bng bin thiờn :

Vy th tớch khi chúp S.ABC t giỏ tr ln nht

Gii
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD SO (ABCD); gi E,H ln lt l trung im ca
AD v BC suy ra SE,SH l cỏc trung on ca hỡnh chúp
Vỡ AD // BC nờn AD // (SBC) d(A,(SBC)) = d(E,(SBC))
Dng EK SH thỡ EK (SBC) (vỡ (SEK) (SBC))
Vy EK = d(A,(SBC)) = 2a
Ta cú: BC SH v BCOH suy ra gúc gia
hai mt phng (SCB) v (ABC) l
ã
SHO
.
t :
ã
2
0<x<


=
ữ

SHO x
.
Ta cú:
2
sin
a a
; OH= ; SO=
sinx cosx
=
a

2 2
3sin sin sin
3 3

+
ữ ữ
ữ ữ

x x x
Vỡ
2
sin sin 0
2 3
0 < x <


+ >
ữ
ữ

x x
.
2
2
Goùi laứ goực sao cho sin = ,0 < <
3


Bng bin thiờn :


a) Chứng minh :
3
' '
SB SD
SB SD
+ =
B) Gọi V = V
S.ABCD
và V
1
= V
S.AB’MD’
.Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số
V
1
/V
HD:
Gọi O là tâm của hình bình hành và G = AM∩SO thì G là trọng tâm của tam giác SBD,suy
ra:
2
3
=
SG
SO
Xét tứ diện SAB’D’ và SABD :
Ta có:
' '
' '
.
SAB D

' ' ' 'SAB G SAD G SAB D
V V V+ =
và
1
2
SABO SADO SABD
V V V
= =
Suy ra:
' '
2 ' '
3
SAB G SAD G
SABO SADO
V V
SB SD
V V SB SD
 
+ = +
 ÷
 
' '
2 ' '
1 1
3
2 2
SAB G SAD G
SABD SABD
V V
SB SD

 
' ' 1 ' '
.
3
SB SD SB SD
SB SD SB SD
 
⇒ = +
 ÷
 
3
' '
SB SD
SB SD
⇒ + =
Ta cũng có:
. ' . '
. .
1 ' 1 '
. .
2 2
S AB M S AD M
S ABC S ADC
V V
SB SD
V SB V SD
= =
;
. ' . '
. .

2 2 2
S AB M S AD M S AB MD
S ABCD S ADCD S ABCD
V V V
SB SD
SB SD
V V V
 
⇒ + = = +
 ÷
 

. ' '
1
.
1 ' '
.
4
S AB MD
S ABCD
V
V SB SD
V V SB SD
 
⇒ = = +
 ÷
 
Đặt :
' '
SB SD

Cho tứ diện SABC có SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi .Biết rằng SA = a ;
SB +SC = k (không đỏi) .Xác định SB,SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất
HD: Ta có:
1 1
. . ax(k-x)
6 6
V SA SB SC
= =
BÀI TOÁN 17
Cho tam giác OAB đều cạnh a.Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mp(OAB) ta
lấy điểm M với OM = x.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của A lên MB ,OB .Đường thẳng
EF cắt d tại N .Chứng minh AN⊥ BM và định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất
HD:
Ta có: AF⊥ OB , AF⊥ OM ⇒ AF⊥ MB
AE⊥ MB
⇒ MB⊥ (AEF) ⇒ MB⊥ AN

1
.
3
ABMN OAB
V S MN
=
V
ABMN
nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất ⇔ OM + ON nhỏ nhất
∆OMB đồng dạng ∆OFN ⇒ OM.ON = OF.OB = a
2
/2



Mà :
(
)
2
2 2 2
2 1 1 1x x x x− ≤ + − =
;
(
)
2
2 2 2
2 1 1 1y y y y− ≤ + − =2 2
2 1 2 1 2
TP
S x x y y
= − + − ≤

Max S
TP
= 2 Khi x = y =
BÀI TOÁN 20
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ trong đó AA’ = a ; AB = b ;AD = c.Gọi (P) là mặt
phẳng qua C’ và không cắt hình hộp nhưng cắt các cạnh AA’,AB;AD kéo dài tại E,F,G .
a) Chứng minh :
1
AF

6 6 2
AEFG
V AE abc= ≥ =

11
c
b
a
A
D
B
C
C'
B'
D'
A'