ST và BS: Thầy Lê Hoàn, Trường THPT Minh Hà
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán 1.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của mặt phẳng
( )a
chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
Bài toán 2.
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm vị trí của đường thẳng d chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
Thí dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm
1 2 1( ; ; )B -
và cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất.
Bài toán 3.
Cho hai điểm A và đường thẳng d không đi qua A. Tìm vị trí của mặt phẳng
( )a
chứa d và cách A một khoảng
lớn nhất.
Thí dụ 2a. Cho mặt phẳng
( )a
:
1 1 0( )m x y mz- + + - =
. Tìm m để khoảng cách từ điểm
11 2( ; ; )A
đến mặt
phẳng
( )a
lớn nhất.
HD: mp
( )a
chứa đường thẳng cố định d:
1; ;x t y t z t= = + =-
.

Viết phương trình mặt phẳng
( )a
chứa d
1
và tạo với d
2
một góc lớn nhất.
Bài toán 5: Cho mặt phẳng
( )a
và điểm A thuộc
( )a
, điểm B khác A.Viết phương trình đường thẳng d nằm
trong
( )a
, đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
ST v BS: Thy Lờ Hon, Trng THPT Minh H
Thớ d 4. Vit phng trỡnh ng thng d i qua A(1; 1; 1), vuụng gúc vi ng thng d:
1
1 2
x t
y t
z t
ỡ
=
ù
ù
ù
= +
ớ
ù

D
v d l ln
nht.
-Cỏch gii: -Dng ng thng d i qua A v song song d;
-Dng B l giao im ca d v
( )a
;
-Gi H, C l
2
l hỡnh chiu ca B lờn d v
( )a
;
+
[ ] [ ] [ ]
( )
, , ( ', ) , ,d d dB mpd BH BC Maxd d BC H C BC n
a
D = D = Ê ị D = D ^
uur uuur
.
Bi toỏn 8.Cho mt phng (P) v hai im A, B nm ngoi mp(P). Tỡm im M trờn (P) sao cho:
a)
MA MB+
l nh nht;
b)
MA MB-
ln nht.
Thớ d 5.a. Trong khụng gian vi h to Oxy, cho hai im A
1 2 3( ; ; )
, B

b)
( )MaxMA MB AB M AB P- = = ầ
.
c)Gi
I
l trung im ca
AB
thỡ
2 ( )
Min
MA MB MI MA MB MI P+ = ị + ^
uuur uuur uur uuur uuur
.
BI TP
1.Cho mt phng
1 0( ):x y za + + - =
, im
11 1( ; ; )A -
v ng thng
1
1 2 1
:
y
zx
d
-
= =
.
a)Vit pt ng thng
D

ì
= +
ï
ï
ï
D = + -
í
ï
ï
= +
ï
î
(
tÎ ¡
).
a)Chứng minh
m
D
luôn lằm trong một mặt phẳng cố định và đi qua một điểm cố định;
b)Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến
m
D
lớn nhất, nhỏ nhất;
c)Tìm m để
m
D
tạo với trục Ox một góc bé nhất, nhỏ nhất;
d)Tìm m để khoảng cách giữa
m
D