(Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ)
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng






=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:d
. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng
)(∆
có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất
Bài giải đề nghò.
Cách 1: Phương pháp hình học.
Gọi
)(∆
là đường thẳng qua A và cắt d;
)(∆
và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d).
Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên
)(∆
thì BK
⊥
)(∆
. Vậy BK

)2;6;0(AM −−=
→
.
Do đó VTPT của mp (P) là
)6;2;10(AM,an
d
−=






=
→→→
. Ta chọn
)3;1;5(n −=
→
.
Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0
⇔
5x-y+3z-7 = 0.
Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được
)
35
146
;
35
68
;

4y
15
1x
−
−
=
−
=
−
b) Trường hợp d(B,
)(∆
lớn nhất
Trường hợp nầy thì
)(∆
nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA.
Ta có
)2;2;2(AB −−=
→
; VTPT của (P) là
)3;1;5(n −=
→
. Do đó VTCP của
)(∆
là:







.
Ta có:
)2;2;2(AB −−=
→
. Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng
)(∆
là:
20t10t3
208t152t28
40t20t6
416t304t56
AM
AB,AM
d
2
2
2
2
+−
+−
=
+−
+−
=







15
4
)
11
30
(f12)2(f
x
===−
±∞→
nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5
khi= 30/11.
Với max f(t) = max d
2
= 12 , ta có max d=
12
khi t=-2 cho
)6;8;2(AM −−=
→
. Chọn VTCP
của
)(∆
là
)3;4;1(a −−=
→
ta được phương trình
3
2z
4
4y
1

;
11
36
;
11
30
AM
Chọn VTCP của
)(∆
là
)19;18;15(a −=
→
. Ta được phương trình của
)(∆
là:
19
2z
18
4y
15
1x
−
−
=
−
=
−
Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3z1y
2

α
nhỏ nhất
⇔
HI lớn nhất
⇔
I
A≡
(do HI
≤
HA)
.
Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’.
VTCP của d là
)1;1;2(u =
→
; VTPT của (P) là
)1;2;1(n
P
−
→
suy ra VTCP của d’ là

)1;1;1('uhay)3;3;3(n,u'u
P
−−=−=





222
≠++
M(-1;-1;3)
∈
d ; N(1;0;4)
∈
d
⇒
M;N
∈
(Q) Ta được:



+=
−−=
B4A7D
BA2C
Do đó (Q):
0B4A7z)BA2(ByAx =++−−++
. VTPT của (Q) là
)BA2;B;A(n
Q
−−=
→
.
Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là :
)1;2;1(n
P
−=

6
3
2
=
Trường hợp 2: A
0≠
Ta có






+






+
+
=α
A
B
4
A
B
25
A

6
9
)x('f
++
+
=
f’(x) = 0
⇔
x= -1.
Vậy cos
2
α
<
4
3

2
3
cos <α⇒
6
π
>α⇒
( Do hàm cosin x nghòch biến trên đọan






π

3
4
3
-
a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất
Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng





=
+−=
−=
t2z
t2y
t1x
:)d(
. Viết phương trình mặt p
phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
Lời giải tham khảo.
Cách 1: Phương pháp hình học.
Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình
chiếu của M trên d. ta có :
)Oy,d(MAK =α=
∧
.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên
(P) thì
)P,Oy()P,'d(MAH ==β=
∧

chiếu vuông góc của M trên d là
)6
2
;
6
5
;
6
1
(MK)
3
1
;
6
11
;
6
5
(K −−=⇒−
→
) . Chọn véctơ pháp tuyến
của (P) là
)2;5;1(n −=
→
Phưong trình mặt phẳng (P):
0)
3
1
z(2)
6

0AB2z
2
BA
ByAx:)P( =−+
−
++⇒
.
Ta có VTPT của (P) là
)
2
BA
;B;A(n
−
=
→
và VTCP của Oy là
)0;1;0(j
→
.
Gọi
)Oy,P(=α
thì
AB2B5A5
B2
2
BA
BA
B
j.n
j.n

x(
5x2x5
2
B
A
25
B
A
5
2
sin
22
=
+−
=






−+






=α


5
1
B
A
=
. Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9.
Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0.
Chú ý:
1/ Có thể viết
5
24
2
5
24
5
1
x5
2
5
24
)
25
1
x
5
2
x(5
2
sin
2

1
1x
:)d( =
+
=
−
−
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
(Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Lời giải tham khảo
Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên :
MKMH ≤
, nên MH lớn nhất khi
KH ≡
.
Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K.
Giải: Ta có
)2t2;6t;t(AK)d()t2;t2;t1(K −−−=⇒∈+−−
→
(d) có véctơ chỉ phương
)2;1;1(a −=
→
.
3
5
taAK =⇔⊥
→→

Ta được :





−
=
+−=
⇔



=++−
=+−
2
BA
C
B2AD
0DC2B
0DB2A

Do đó (P):
.0B2Az.
2
BA
ByAx =+−
−
++
Ta có d=

55
A
B5
12
d
22
=
−+
+
=






−






+
+
=
Ta có
5x2x5
)1x10x25(4
d

70
dmad)
6
35
(4dmax
2
===⇒=
.
( Chọn trường hợp 2 vì
52
3
70
>
)
Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21
Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0.
Ghi chú:
1/ Có thể xét B=0 ,
0B
≠
(Tương tự như xét A).
2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và
tạo với d’ góc lớn nhất.