Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9
A. Bài tập.
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
22
4
)1(
1
x
x
+
+
với
0

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 1988)
Bài 2. Cho P
zyxyxx
++

+
=
111
2
1
. Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá
trị dơng nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm học 1988 1989)
Bài 3. Cho A

.)3()2)(1(
2
mxxx
+++
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1
78
2
2
+
++
=
x
xx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y
18216
23
++=
xxx
, với
.1
2
1

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 1993)
Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:

.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 1994 1995)
Bài 11. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:



=+
=++
4343
632
zyx
zyx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = 2x + 3y 4z.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1994 1995)
1
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
22
yx
+
khi có
4
22
=+
xyyx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1995 1996)
Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1995 1996)

.
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 16. Cho các số thực không âm
1
a
,
2
a
,
3
a
,
4
a
,
5
a
có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: A
.
54433221
aaaaaaaa
+++=
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 1997)
Bài 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
bxax
A
))((
++

1
1
2
+

=
với 0 < x < 1.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 1998)
Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
404208
22
++++=
xxxx
.
(Đề thi HSG Toán 9, Trờng THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1998 1999)
Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.4
21
22
xy
xy
yx
M
++
+
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1998 1999)

Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ
nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 5, TP. HCM năm học 2000 2001)
Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
abc
bacacbcba
M
3
))()((
+++
=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x
y
2
4

=
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2001 2002)
Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
5,2004232
++
xyxyx
.

=++
zyx
. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức A =
.)1(
2
xyyzz
+++
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003 2004)
Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức:
4
4
1
8
2
22
=++
x
yx
. Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị
nhỏ nhất.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2003 2004)
Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A =
.
4224
yx
y
yx
x

Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A
22
22
yxyx
yxyx
+
++
=
. Với x, y > 0.
b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B
2
9 xx
=
. Với
33

x
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 2005)
Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xx
+=
5413
. Với
.51

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2004 2005)

x
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2005 2006)
Bài 42. Gọi
21
, xx
là các nghiệm của phơng trình:
0
12
4612
2
22
=++
m
mmxx

)0( >m
. Tìm m
để biểu thức A
3
2
3
1
xx
+=
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
A
xx
+=
5413
. Với

22
2
5
22
+++=
xxxx
.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
6
44
++

=
yx
yx
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y
54183
22
++++=
xxxx
.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2005 2006)
Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xy
yx
4
51
22

.
(Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm học 2009 2010)
Bài 50. a) Cho hai bộ số (a
1
; a
2
) và (b
1
; b
2
) bất kì.
Chứng minh rằng:
))(().(
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa
+++
b) Cho
0,

yx
và

(Đề thi HSG Toán 9, Huyện Quỳ Hợp, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 2010)
Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A =
y
y
x
x
2
1

+

(Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2007 2008)
B. Hớng dẩn Giải:
Bài 1. Ta có: A =
1
1
2
1
21
2
1
21
2)21(
)1(
1
2
242
2
42
242

[ ] [ ]
222222242444
)1(
2
1
)1()1(
2
1
)21()21(
2
1
)22(
2
1
1 xxxxxxxxx
+++=++++=+=+
Do đó A
2
1

.
Bài 2. Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:
Với
*
, Nba

. Chứng minh rằng:
ba
11


Giải:
Ta có: P
zyxyxxzyxyxx
++







+







=
++

+
=
111
2
1111
2
1
.







+








yxx
11
2
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
yx
+
1
đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1
2
1



đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
47
==+
yyx
.
Khi đó
42
1
7
1
6
111
2
1
==






+









222
1
)1(2
2
2
2
22
2
2
2
2

+
+
+=
+
++++
=
+
++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx

++
=
+
++
=
x
x
x
xxx
x
xx
x
xx
Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán.
Bài 4. Ta có:
31)3()1(9612
2222
+=+=+++=
xxxxxxxxy
5