1
H×n
h häc mỈt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó
ý
: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t 
®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C


e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
A

B
C(x;y)
A(x;y)

B
C
A’ B’
B’
C’
A(x;y)

C
A’
I
J
B
A’’
www.VNMATH.com
2
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:

CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường
thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
www.VNMATH.com
3
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1

Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và
hợp với d một góc 45
0
.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
www.VNMATH.com

3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0.
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1).
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm.
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
:x-y=0,d
2
:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x
y 3 0

+ b
2
– c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm
I ( a ; b ) ,bán kính R =
cba 
22 II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M
0
(x
0
;y
0
)
P
M
/
(
C )
= F (x
0
; y
0

– 2a
2
x - 2b
2
y + c
2
= 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C
1
) , ( C
2
) có phương trình là :
2( a
1
- a
2
) x + 2( b
1
- b
2
) y – c
1
+ c
2
= 0 .IV. Tiếp tuyến của đường tròn

1/Dạng 1

0
.
2/ Dạng 2
:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng

có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.

3/ Da
ïng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x
M
; y
M
)
.
* Đường thẳng

qua M có phương trình : A ( x – x
M
) + B ( y – y
M
) = 0.
*


: 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng

:2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng

có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với (
C ) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với

: 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng

:2x – 3y + 1= 0.
www.VNMATH.com
6
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).


Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) .
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x
2
+y
2
-10x + 9 = 0
d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x
2
+ y
2
– 2my = 0.

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d
1
) :
5
2
5



2
+y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+y
2

+4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C
1
) ,(C
2
) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) ,(C
2
)
10/ Cho (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C
1
) : x

1
) và (C
2
) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với
IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) tại H.
13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x
2
+y
2
– 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
– 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
www.VNMATH.com
7
(d
2
)  (d

19/ Cho hai đường tròn (C1) :x
2
+ y
2
– 2x – 9y – 2= 0 v (C2) : x
2
+ y
2
– 8x – 9y +16 = 0.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C

2
-

c
2
trơc lín lµ 2a
trơc nhá lµ 2b
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a
tiªu ®iĨm ( thc Ox) F
1
=(-c;0) F
2
=(c;0)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF
a ex a x
a
c
MF
a ex a x
a


2
=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF
b ex a x
b
c
MF
b ex a x
b

  
   . CÁC DANG BÀI TẬP:
Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2

1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua
tiêu điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x
2
+ 6y
2
= 12 .
1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x
2
+ 25y
2
= 400 .
1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F
1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF
1
+ BF

2
= 144 biết tiếp tuyến :
1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng:
3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến.
Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F
1
(- 3 ;0) ,F
2
( 3 ;0) và một đg chuẩn có phương trình x =
3
4
.
1/ Viết phương trình chính tắc của (E).
2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trò của biểu thức :P = F
1
M
2
+ F
2
M
2
– 3OM
2
– F
1
M.F
2
M.

1
) :
1
1
16
2
2


yx
và (E
2
):
1
4
9
2
2


yx

1/ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp .
www.VNMATH.com
9

I.TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN





21
2
1
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222

b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABA
BAB
ABABABcb,,a .11
đồng phẳng


0.  cba

cb,
,a .12
không đồng phẳng


0. 
 cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1










2
,
2
,
2
BA
BABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC








,
3
,
3
,
3

3
2
2
2
1
2
1
2
1
aa
aACABS
ABC




20.
ADAC
ABV
ABCD
).(
6
1


21.
/
.
).(
//

] ≠

0
 S
AB
C
=
2
1


AC]
,[AB

 Đường cao AH =
B
C
S
ABC
.
2

 S
hbh
=



1


AD.AC],[AB

*Đường cao AH của tứ diện ABCD

AH
S
V
BCD
.
3
1




BCD
S
V
AH
3


 The
å tích hình hộp :


/

đối xứng với M qua mp
*Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
*H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
*Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM
/
www.VNMATH.com

11
3.BI TP P DNG
1: Viết tọa độ của các vectơ say đây:
2
a i j





c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :

u
= 4

a
- 2

b
+ 3

c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ

a
,

b
,

c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ


. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c



b)
4
2
e
a b c


5: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:
a)
0
a
x







5
;4; 1
a



,


2
; 5;3 .
b




6: Cho ba điểm không thẳng hàng:
(
1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).
A
B C


Hãy tìm trọng tâm G của tam giác
ABC.
7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2
;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).

c



Tìm:

2
2 2 2
)
. ; ) . ; ) ;
a
a b c b a b c c a b b c c a







2
2 2
)
3 2 . ; ) 4 . 5
d
a a b b c b e a c b c







15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
,
,
a
b c


trong mỗi trờng hợp sau đây:



)
1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
a
a b c







)
4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b
a b c


www.VNMATH.com

12
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho  ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC II
. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

,
b

cùng // 
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp

qua M(x
o
; y
o
; z

1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử 
1
 
2
= d trong đó
//
www.VNMATH.com

13
(
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(
2
): A
2
x + B
2
y + C

) =
0 8. Vò trí tương đối của hai mp (
1
) và (
2
) :

°
2
22111
C
:
B
:
A
C
:
B
:
A
cắt


°
2
1
2

C
C
B
B
A
A




ª
0
2
12121

 CCBBAA



9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (

) : Ax + By + Cz + D = 0

2.CÁC
DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

AB
,

AC
°
]
)(

 AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°

 AB vtpt
AB điểm trungMqua
n



n n vtpt nên // Vì
M qua


www.VNMATH.com

14
Dạng 5: Mp

chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mp chứa (d) nên

a
a
d


Mp song song (d
/
) nên


Mp  mp nên


b
n 

°
]
,[


n
nvtpt
N) (hayM qua


 MN

Dạng 7 Mp

chứa (d) và đi qua
■
Mp

chứa d nên

a
a
d


biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


c,




M
4; 1; 2 , n 0;1;3

 

d,



  


  

  

Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
 
b,




b


.
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ
)
4,2,3( );2,7,2( ba

Bµi 9: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn
);4,3,2(n
lµm VTPT.
www.VNMATH.com
15
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3
;2;1
a

vµ


3

hương trình tham số của đường thẳng (d) qua

M(x
o
;
y
o
;z
o
)
có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3
) R
t;
tazz
tayy
t
a
x
x

o
1
o 0
: 




3.P
T tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp 
1
và 
2





0 DzBxA
0D
z
B
x
A

AC
AC
CB
CB
a

4.Vò
trí tương đối của 2 đường thẳng
:

Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0

www.VNMATH.com
16

(d) qua M có vtcp
d
a

;
(d’) qua N có vtcp
/
d
a

 d
chéo d’

[

d,d’ cắt nhau

[
d
a

,
/
d
a
]
0
và
[
d
a

,
/
d
a
].

MN
=0

d,d’
song song nhau

{

} 5.Khoảng cách
:
Ch
o (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

Kc từ điểm đến đường thẳng:

d
d
a
AM
a
dAd
];[
),( 

Kc giữa

n
Go
ùc giữa 2 đường thẳng
:

/
/
.
.
'
d
d
d
d
a
a
aa


)
dcos(d,Go
ùc giữa đường và mặt
:
na


 a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )
(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp




n

d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua


A
d )
(Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên

: d









nan
bn
aad
dquaM
d
d

ª



)(
)(
)(
/


d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d

d2
]
+ Mp chứa d
1
, (d)
; mp
chứa d
2
, (d)


d =   
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =






với mp = (A,d
1
) ; mp = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //


1
; B = d
2
 
Dạng 10: PT d

(P) cắt d
1
, d
2
: d =






với mp chứa d
1
,(P) ; mp chứa d
2
,  (P)

3.B
ÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)
a

d

Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ :


R
t,
21
22: 








tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
www.VNMATH.com
18
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:

z t
 



  



 

.

Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)


R
t,
2
3
1
: 








3
2
1
2
1
:





zyx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d
1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :



1
1
2
1







a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).

Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :




3
4
24
37
:
1



1
1
2
t
t,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .

III.MẶT CẦU
1.T
ĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R






c
b
a
với
2
22


)
 Tâm I(a ; b ; c) và
d
cbaR 
2
22

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho






2
R
czbyax:(S)
2
22





2
0
DCzByAx :
Rczbyax:(S)
2
22

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
)
,(
2
2

Id
Rr 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

n
a
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

czbyax:(S)
2
22


(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC
DẠNG TOÁN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª






2
R
czbyax:R)S(I,
2
22


(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2


I tâmcầu mặt Pt


Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0
d
2cz
2b
y
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2


A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0
d
2cz

ÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m
vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)


02642:
222
 zyxzyxS b)


09242:
222
 zyxzyxS
c)


03936333:
222
 zyxzyxS d)


07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


m
) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


03cos2sin2:
2
22
 mymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n ch¹y trªn mét ®êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,
®êng th¼ng qua A , T c¾t ®êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®êng th¼ng (d
1

1
7
:
2






z
yx
d
,
 
1
2
2
3
3
1
:
3








2
.LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ®êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh :


R
t
z
ty
tx
d 








t
2
1
2
:
1
,

) vµ (d
2
). d) ViÕt pttq mp c¸ch ®Ịu(d
1
) (d
2
).
Bµi 8: ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xóc víi mỈt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3).
Bµi 9: (§H H-96): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ
giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn lỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB sao
cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD.
www.VNMATH.com
21
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ


www.VNMATH.com
22
ỨNG D
ỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Ch
ọn hệ trục tọa độ
Oxyz
tron

;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a
B a a C a a a a a

Với hình
hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;
0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B
a C a b b'(0
;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
A c
B a c C a b c b 

trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h


Chọn O(0;0;0) là
tâm của hình vuông
Khi đó :
















 0;0;
2
2
;0;0;
2

C

D

D’

C

A
’

B’

O
O’
x

y
B’
A

D
C
B
D’
A’

www.VNMATH.com
23
Giả
sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;
0;0 ; ;0;0
2
2
a a
A B
   

   
   
3
3
0; ;0 ; S 0; ;
2 6



chiều
cao bằng
hChọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;
0;0 ; ; ;0
B
a C a b


0
; ;0 ; (0;0; )
D
b S h

Với hình chóp S.ABC có SA

(ABC) và

ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
;
AB
a AC b


đườ
ng cao bằng
h
.Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao

A

O
S

x

y

zB

D

C

A

O
S

x

y

z

A
BC vuông tại B
Tam
giác ABC vuông tại B có
;
BA
a BC b



đường cao bằng
h
.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0) Khi đó :




;
0;0 ; C 0; ;0
A




ABC vuông tại C
;
CA
a CB b



chiều
cao bằng
hH
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; B 0; ;0
A a b
AB
a AC b



chiều
cao bằng
hH
là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;
0;0 ; C 0; ;0
B
a b

(0; ; )


B

C

A
S

x

yB

C

A

H
S

x

y

zB

h
. H là trung điểm của AB Chọn hệ
trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0) Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
   


B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
 

222



( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương
chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Ox
yz
như sau :
)
0;0;0(O
;
)
0;0;(aA
;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;
)
0 ; ; ( baAB 

) ; 0 ; ( caAC 


vì :
)(OCAOy


)
1 ,0 ,0 (k

vì :
)
(OABOz
S
ử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:



)
(),(coscos ABCOBC




)
(),(coscos ABCOBC







H
B

C

A

S

x

y

z
x

y

z