Chuyên đề i
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
AA =
2
2)
BAAB .=
( với A

0 và B

0 )
3)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
4)
BABA =
2
(với B

0 )
5)
BABA
2
=

8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A

0 và A

B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A

0, B






1
0
x
x
d)
0x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
8632 +++
b) x
2
5 c) x - 4 d)
1xx
HD: a)
( )( )
1232 ++
b)
( )( )
55 + xx
c)
( )( )
22 + xx
d)

2
174
b)
2832
146
+
+
c)
5
5
2
+

x
x
(với x

5) d)
1
1


x
xx
( với
1,0 xx
)
HD: a)
417
b)

x
( với x

0 và x

4)
HD: a)
{ }
1=x
b)
{ }
9;1;0=x
c)
{ }
36;16;9;1;0=x
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
35 =x
b)
523 x
c)
2
3
3
=

+
x
x
d)

b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
HD: a) ĐKXĐ là:





1
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: A =
1x
x
.
b) x =
4
9
thì A = 3
c)
10 < x
.
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
52
2

3
+x
x
.
c) B = 2

x = 16.
Bài 3: Cho biểu thức: C =









+


+










, rút gọn biểu thức ta có: C =
a
a
3
2
b) C dơng khi a > 4.
Bài 4: Cho biểu thức D =
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22









+
+

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.

x
x
x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E.
b) Tìm x để E = -1.
HD: a) Điều kiện:




>
1
0
x
x
,rút gọn biểu thức ta có: E =
x+

1
3
.
c) x = 4.
Bài 6: Cho biểu thức:F =
8
44
.
2
2
2

,rót gän biĨu thøc ta cã: F =
2
2
−
+
x
x
b) x = 3+
( )
2
122238 +=+=

⇒
A =
122 −
c) BiĨu thøc A nguyªn khi:
{ }
1;2;42 ±±±=−x

⇒
x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc :

+
−+
−
+
+
=







−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rót gän Q.
b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.
Bµi3: Cho biĨu thøc: A =
x
x
x
x
xx
x
−

−
+ xxxxx
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc C.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ C = 1.
Bµi5: Cho biĨu thøc: M =
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2
−
⋅








++
+
−
−
−
a) Rót gän M.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ M d¬ng.

1
x
xxxx
x
a) T×m §KX§ vµ rót gän P
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P > 0
c) T×m x ®Ĩ P = 6.
Chuyªn ®Ị iii Hµm sè vµ ®å thÞ
i.KiÕn thøc c¬ b¶n
1.Hµm sè
a. Kh¸i niƯm hµm sè
-
NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng thay ®ỉi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cđa x ta lu«n x¸c ®Þnh ®ỵc
chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cđa y th× y ®ỵc gäi lµ hµm sè t¬ng øng cđa x vµ x ®ỵc gäi lµ biÕn sè
-
Hµm sè cã thĨ cho bëi b¶ng hc c«ng thøc
b. §å thÞ hµm sè
- §å thÞ hµm sè y = f(x) lµ tËp hỵp tÊt c¶ nh÷ng ®iĨm M trong mỈt ph¼ng täa ®é cã täa ®é tháa m·n ph-
¬ng tr×nh y = f(x) (Nh÷ng ®iĨm M(x, f(x)) trªn mỈt ph¼ng täa ®é)
c. Hµm sè ®ång biÕn, hµm sè nghÞch biÕn
* Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cđa x thc R
3
-
Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x

Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
-
Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=






Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
-
Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax

) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
-
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= +
-
Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax

c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d

c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x
2
.
Bi 8:
8.1)Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x
2
.
8.2)Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:
5
(d
1
):

b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hoành độ x
1
≠ x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bài 11: Cho hàm số: y = ax
2
có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).
a) Chứng minh (d) luôn đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thẳng qua M và tiếp xúc với Parabol (P).
Chuyªn ®Ò iv: ph¬ng tr×nh bËc hai
PHẦN II. KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức nghiệm:
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b
2
- 4ac
+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x

)
+Nếu ∆
’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ∆
’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
a
b−
+Nếu ∆
’
> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
'
∆+−
; x
2
=
a
b
'
∆−−

2
=
a
c
+Hệ quả 2:
6
Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1

1
= ; x
2
=
b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆
’
= (với q = 2q
’
)
Nếu ∆
’
thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆
’
thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆
’
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

+ x
2
=
a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c

2
=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c−
7
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b−
và tích hai nghiệm là
a
c
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3

∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2
51)49(
1
−=
−−−
=x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50

x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –

−−
=x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3
; b
’
=
3
; c = – 2 –
3
)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
8


=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+

- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x
2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx

)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =
2
; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2

= 23
Nên: t
1
=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5

−
t
1
= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2

+ 2x - 5)
2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1





+
x
x
x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x

1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3−
; x
1
.x
2
=
5−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−

5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x

2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+
++
; F =
2

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
(ở đó: S = x
1
+ x
2
=
a
b−
; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại
toán này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x
2
- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆
’
= (-1)
2
- 1.k = 1 – k
Nếu ∆

k−1

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
11
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
=1
2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2

2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
−
≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2

của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2

≥
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+

Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3
1
0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔



>+−
<−

x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0





≤
≥
⇔













0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:


2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔

2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy +=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ở
trên



=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
13
Vậy m = 2
b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x

1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+ −
+ = + + + = + + = − + =
− −
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y
1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2

– 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x
2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x

, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2

1
+ x
2
và
3
11
1
2
2
1
=
−
+
− y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1

:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2
21
≥− xx
Dạng 5: Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn đẳng thức cho
trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :
.0m3mx)1m(2x
22
=−+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x

2
2
1
+=+
Bài 4: Tìm m để phương trình :
.01mmx2x)1m(
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++
Bài 5: Tìm m để phương trình :
.0m2x)4m(mx
2
=+−−
có 2 nghiệm x

có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.8xx
2
2
2
1
=+
Bài 8: Tìm m để phương trình :
.0m3x)3m(x
2
=++−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2
2
1
=+
Bài 9: Tìm m để phương trình :
.05m4x)2m(2x
2
=+−−−

.03m4x)1m(2x
2
=−++−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn 2x
1
+ x
2
= 5.
DẠNG 6: lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 1: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.0m3x)1m(2x)2m(
2
=−+−−+
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2

Bài 4: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.02m2x)1m(3x)3m4(
2
=+++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.01mmx)1m2(x
22
=−+++−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x
1
, x

1
( bể )
1 giờ vòi sau chảy đợc
y
1
( bể )
1 giờ hai vòi chảy đợc
x
1
+
y
1
( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =
4
15
h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:
4
15
=
15
4
( bể ) ( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
x
1
+
y
1


=
=






+=



=
=




+=
=




+=
=




a
y
x
xy
x
x
xy
xx
xy
xx
xy
xx

Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là
12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả
công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12
2
1
( 1 )
17
thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc







=
=








=+
=+
5
2
15
2
15
5
6
1
2
1
2
1

x
1
+
6
1
+x
=
4
1

=+=++ 0242)6(4)6(4
2
xxxxxx
x
1
= 6; x
2
= -4
X
2
= - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài tập 4:
Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa
còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72
ngày xong cả đoạn đờng .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?
Giải
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 làm đợc

/
= 39
x
1
= 21 + 39 = 60 ; x
2
= 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5:
Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40
ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn
thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian
18
đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng
nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
2
40
x
(ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng đợc
2
90
+x
(ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc

1
=
5
2426 +
= 10 ; x
2
=
5
2
5
2426
=

x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
Bài 6:(197/24 500 BT chọn lọc )
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời
thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì
xong .
Giải:
Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt



=
=



=
=








=+
=+








=+
=+
15
10
5
232
2
133
5
232

1
(công việc )
Nên ta có pt :
x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8.
12
1
=
3
2
(công việc )
Công việc còn lại là 1 -
3
2
=
3
1
( công việc )
Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2.
y
1
=

=
12
1




=
=
20
30
y
x

6
y
=
3
10

Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ .
Bài tập 9: ( 400 bai tập toán 9 )
Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm xong công việc trong đó trong
63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong
bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong
mấy giờ ?
Giải :
Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc
x
1



=+
=+
=+
4
5
100
5
504
126
4
504
168
3
504
56
111
63
111
72
111
z
y
x
zy
zx
yx
Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc
x

11
+
+
=
+
+
xx
x
xx
( công việc )
Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là
42
)4(
+
+
x
xx
(giờ)
Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5 .
42
)4(
+
+
x
xx
hay x
2
+ 4x 32 = 0 x
1
= - 8 ( loại ) x

thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với
dự định. Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi từ A đến B.
HD : Gọi quãng đờng AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ).
(x > 0 ; y > 1).
Ta có hệ phơng trình :



=
=








=
=
8
350
1
50
2
35
y
x
x
y

9)3(3
y
x
yx
yx
Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 24 (km/h)
21
Bài 5 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày,
đội thứ hai làm trong 6 ngày thì hoàn thành đợc
4
1
công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội hoàn
thành công việc đó trong bao lâu ?
HD : Gọi thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( ngày). Thời gian đội thứ hai hoàn
thành công việc một mình là y ( ngày).



=
=








=+
=+





=+
=+

240
120
15
21210
1
8080
y
x
yx
yx
. Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 120 (phút), thời gian vòi 2
chảy một mình đầy bể là 240 (phút).
Bài 7 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Tính diện tích thửa ruộng,
biết rằng nếu chiều dài giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
HD : Gọi chiều rộng của thửa ruộng là x (m), chiều dài của thửa ruộng là y (m). ( x> 0, y > 0).



=
=






=
=




=
=+

7
4
27
11
b
a
abba
ba
. Vậy số cần tìm là 47.
C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định. nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời
gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời
gian dự định của ô tô.
22
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi ngợc chiều nhau
và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc, nhng ngời đi chậm hơn
xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sễ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một ngời đi
xe đạp từ A đến B hết 40 phút, từ B về A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và lúc về nh

x = 30. Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là : 27 km/h. Vận tốc thật
của ca nô đi ngợc dòng là 24km/h.
Bài 2 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 45 km. Một ca nô đi từ A đến B nghỉ ở B 30 phút rồi
quay trở lại A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến bến A là 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc ca nô khi n-
ớc yên lặng, biết vận tốc của dòng nớc là 6 km/h.
HD : Gọi x(km/h) là vận tốc của ca nô khi nớc yên lặng (x > 6).
Ta có phơng trình :
072452
2
1
4
2
1
6
45
6
45
2
==+
+
+

xx
xx
, phơng trình chỉ có nghiệm x = 24
(TM). Vậy vận tốc của ca nô khi dòng nớc yên lặng là 24 km/h.
Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi làm mối giờ thêm 2 sản
phẩm nên ngời đó đã làm xong trớc dự định 1 giờ mà còn làm thêm 6 sản phẩm nữa. Hỏi ngời đó dự
định mỗi giờ làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
HD : Gọi x là số sản phẩm ngời đó dự định làm trong một giờ ( x > 0)

mình là 10 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ).
Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc
một mình là 10 (giờ).
Bài 5: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi
thì vòi thứ nhất làm đầy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu
đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể thì x + 2 ( giờ) là thời gian vòi II chảy một
mình đầy bể. Ta có phơng trình:
035236
35
12
2
11
2
==
+
+ xx
xx
.
Bài 6: Trong một phòng họp có 80 ngời, đợc sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì
mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy đợc xếp
bao nhiêu chỗ ngồi?
HD: Gọi x là số dãy ghế trong phòng họp, x

N
*
, thì chỗ ngồi trên một dãy là
x
80
.

gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc
thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 5 : Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc
1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6
Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 6 : Một đôi công nhân dự định hoàn thành công việc với 500 ngày công thợ. Hãy tín số ngời của
đội, biết rằng nếu bổ sung thêm 5 công nhân thì số ngày hoàn thành công việc giảm 5 ngày.
Bài 7 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình
để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội
làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?
24
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở
trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu
chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi
chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 10: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu
chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì
mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ?
25