RÚT GỌN BIỂU THỨC - CĂN THỨC BẬC HAI
Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2
x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải
a) Phân thức
3
x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

= = = = + ≠
 ÷
− − −
 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )

− = − =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
VD4: Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải
A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1

( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
Do x 1 x x x x 0 x x x x
y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1

bbaa
a3
baba
a3
M
++


+


++
=
))((
:)(
a, Rút gọn
b, Tìm những giá trị của a để M nguyên
Giải
a, Rút gọn
M =
1a
2

b, Để M nguyên thì a-1 phải là ớc của 2
a 1 = 1 => a = 2
a 1 = -1 => a = 0 ( loại )
a 1 = 2 => a = 3
a 1 = -2 => a = -1 ( loại )
Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3
VD8:

=+

+
=
)(
Để A nguyên thì a 1 là ớc của 2
Tổng quát : Để giảI toán tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo các b-
ớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện
Bớc 2: Rút gọn về dạng
)(
)(
xf
a
hay
a
xf
Nếu
a
xf )(
thì f(x) là bội của a
Nếu
)(xf
a
thì f(x) là ớc của a
Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai
VD9 : Tính
1281812226A
++=
Ta có :

A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x
+
=
+
= + +
+
3.Chng minh
2 2 x y x y 2x
x y :
3x x y 3x x x y

+

=
ữ

+ .
4.Cho biu thc
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+

2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5

a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S ...
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
8. Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −

2
14x + 49
x
2
14x x + 49 + 5 = 0
x
2
15x + 54 = 0
x
1
= 6 ; x
2
= 9
Lu ý :
* Nhận định kết quả : x
1
= 6 loại vì thay vào phơng trình (1) không phải là nghiệm
. Vậy phơng trình có nghiệm x = 9
* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc khi giải : Để phơng trình có nghiệm thì :
7
7
5
07
05







1
= - 1 ( loại) y
2
=2
Ví dụ 2:
Giải phơng trình
2173
=++
xx
9
45
25
=
=
=
x
x
x
Giải:
Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa:
1
01
073




+
+
x

* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( 2x + 1 ) + 2 = 0
x
2
2x 1 + 2 = 0
x
2
2x +1 = 0
=> x
1
= x
2
= 1
* Nếu 2x + 1 0 ta có ph ơng trình x
2
( -2x -1 ) + 2 =0
x
2
+ 2x + 3 = 0
Phơng trình vô nghiệm
Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 1
PHNG TRèNH- H PHNG TRèNH
VD1.Gii cỏc phng trỡnh sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9 + = +
b)
( )
7x 20x 1,5

+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +

a b ab
+ − + − −
− = (1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì

thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =

    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2

+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
VÝ dô 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh








=+
=+
1

36
36
106
36
13
34
YX
YX
VÝ dô 5: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :






−=++
=++
=++
)3(232
)2(323
)1(1132
zyx
zyx
zyx

Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)
VÝ dô 6: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:




( x – 2 )
2
+ ( y – 2 )
2
+ ( z – 2 )
2
= 0
=> x = y = z = 2
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82
x 17 3x 7
b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4
c)
65 64 63 62
x 1 x 7x 3
d)
x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e)
x 2 x x x 2
f ) x 3 5
g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4

a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3.Giải các hệ phương trình
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22

2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VD1.Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải
( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …..

e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mới: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2
= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn một trong các
điều kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.
2. Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chứng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm của phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0.
Trong đó x

∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −
9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
-Tìm nghiệm thứ hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1

a

2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= 13

1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥




+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
-Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2
= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =




= = −

4
P 0
4
m 0


<

>


>

Hai nghim ny luụn õm. Vỡ S = - 3.\
Ví dụ 3
Cho phơng trình: x
2
( m + 2 )x + m + 1 = 0 ( x là ẩn )
a, Giải phơng trình khi
2
3
m
=
b, Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c, Gọi x
1
, x

2
=+
=++
)(
Phơng trình có hai nghiệm :
2
31
x
2
31
x
21
+
=
+
=
,
b, Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi x
1
x
2
=
0
a
c
<
hay a.c < 0
1(m + 1) < 0
m < -1
c, x

2m2
a
b
xx
21
21
+==
+=
+
==+
Thay vào (*) ta có :
2(m + 2 ) 4 ( m + 1 ) = m
2
2m + 4 4m 4 = m
2
m
2
+ 2m = 0
m ( m + 2 ) = 0



==+
=

2m02m
0m

Ví dụ 4
Cho phơng trình : x

2
2
2
1
xx5xx2A
+=
=
21
2
2
2
1
xx5x2x2
+
( )
( )
21
2
21
2121
2
2
2
1
2121
2
2
2
1
xx9xx2

chứng minh
b, Tìm m để A = 27 chính là giảI phơng trình
8m
2
18m + 9 = 27
8m
2
18m 18 = 0
4m
2
9m 9 = 0
Phơng trình có hai nghiệm : m
1
= 3 , m
2
= -3/4
2.Tìm m để x
1
= 2x
2
Theo viet ta có : x
1
+ x
2
= -b/a = 2m
Hay 2x
2
+ x
2
= 2m

=
==>
==
.

Phơng trình có hai nghiệm : m
1
= 3/2; m
2
= 3/4
MT S BI TP C BN
1.Gii cỏc phng trỡnh sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2

+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình.
c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xác định giá trị của m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.

2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai số
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai số
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai số
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai số
1 2
2 1

=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5 2x
x :
2 5
=
Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =
, giải được x = 200 km.
Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)
Xe máy x - 20 3h20ph =
10
3
h
( )
10
x 20
3
−

Ôtô x 2h30ph =
5
2

( )
10 5
x x 20
3 2
= +
, giải được x = 60 km/h.
*Nhận xét: Trong các cách làm đó thì cách thứ nhất là ngắn gọn nhất.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho 200g dung dịch có nồng độ muối là 10%. Phải pha thêm vào dung dịch đó
một lượng nước là bao nhiêu để được dung dịch có nồng độ muối là 8%.
2.Có hai vòi nước, vòi 1 chảy đầy bể trong 1,5 giờ, vòi 2 chảy đầy bể trong 2
giờ. Người ta đã cho vòi 1 chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi 2
chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì đầy bể. Hỏi mỗi vòi đã chảy trong bao lâu?
3.Tổng các chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của một số có hai
chữ số bằng 18. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới lớn hơn số
ban đầu là 54. Tìm số ban đầu.
4.Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 124m. Nếu tăng chiều dài 5m và chiều
rộng 3m thì diện tích tăng thêm 225m
2
. Tính kích thước của hình chữ nhật đó.
5.Một cửa hàng trong ngày bán được một số xe đạp và xe máy. Biết rằng số xe
đạp bán được nhiều hơn số xe máy là 5 chiếc và tổng bình phương của hai số
này là 97. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu xe mỗi loại.
6.Dân số hiện nay của một địa phương là 41618 người. Cách đây 2 năm dân số
của địa phương đó là 40000 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số địa phương
đó tăng bao nhiêu phần trăm.
-------------------------------------------------------------------------------------
HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
VD1.Cho (P): y = x
2

y
4
= −
và
y x 1= +
.
Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc nhau tại A nên phương trình có
nghiệm kép là hoành độ của điểm A.
c) Viết phương trình đường thẳng (d
1
) song song với (d) và cắt (P) tại
điểm có tung độ là - 4. Tìm giao điểm còn lại của (d
1
) với (P).
VD3.Cho (P): y =
2
1
x
4
và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có
hoành độ lần lượt là – 2 và 4.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d).
c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong
khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Do đáy AB không đổi nên để diện tích lớn nhất thì đường cao MH lớn
nhất.
MH lớn nhất khi là khoảng cách từ AB đến đường thẳng (d)//AB và tiếp xúc
với (P).
Tìm được tọa độ của M

); C là giao điểm của (d
1
) với trục
tung. Tìm tọa độ của B và C. Tính diện tích của tam giác ABC.
3.Cho (P): y = x
2
và (d): y = 2x + m. Tìm m để (P) và (d):
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau.
c) Không giao nhau.
4.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x
2
.
a) Vẽ (P).
b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2. Viết
phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với
(P).
5.Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình lần lượt là:
y = (m-2)x + 4 và y = mx + m + 2.
a) Tìm m để (d
1
) đi qua điểm A(1; 5). Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m vừa
tìm được.
b) Chứng tỏ rằng (d
1

Để tìm maxA cần chỉ ra A M≤ , trong đó M là hằng số. Khi đó maxA =
M.
-Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A: minA.
Để tìm minA cần chỉ ra A m≥ , trong đó m là hằng số. Khi đó minA = m.
2.Các dạng toán thường gặp
2.1. Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường là bậc hai):
Nếu A = B
2
+ m (đa thức 1 biến), A = B
2
+ C
2
+ m (đa thức hai biến), …
thì A có giá trị nhỏ nhất minA = m.
Nếu A = - B
2
+ M (đa thức 1 biến), A = - B
2
– C
2
+ M (đa thức hai biến),
… thì A có giá trị lớn nhất maxA = M.
2.2. Biểu thức A có dạng phân thức:
2.2.1. Phân thức
m
A
B
=
, trong đó m là hằng số, B là đa thức.
-Nếu mB > 0 thì A lớn nhất khi B nhỏ nhất; A nhỏ nhất khi B lớn nhất.

ab 0≥
.
-Sử dụng một số bất đẳng thức quen thuộc.
Bất đẳng thức Côsi:
( )
n
1 2 n 1 2 n 1 2 n
1
a ,a ,...,a 0 a a ... a a a ...a
n
≥ ⇒ + + + ≥
dấu “=” xảy ra khi a
1
= a
2
=
…= a
n
.
Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
1 2 n 1 2 n
a ,a ,...,a ;b ,b ,...,b∀
có
( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n
a a ... a b b ... b a b a b ... a b+ + + + + + ≥ + + +
dấu “=” xảy

 
     
= − + + + + = − + + ≤ ∀
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
Dấu “=” xảy ra
3
x
2
⇔ = −
Vậy maxA =
21
4
khi x = -
3
2
.
*
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
B x 2xy y 2y 2x 1 x 4x 4 2002
x y 1 x 2 2002 2002 x, y
= + + + + + + − + +
= + + + − + ≥ ∀
Dấu “=” xảy ra khi

. Vậy maxC =
1
2
khi
1
x
2
=
.
*
2
x 1 1 1 1
D x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1
− +
= = + + = − + +
− − −
Do x > 1 nên
1
x 1 0; 0
x 1
− > >
−
theo Bđt Côsi có
( )
1 1
x 1 2 x 1 2 1 2
x 1 x 1
 
− + ≥ − = =

2 4 4
 
= − + = − − ≥ − ∀
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra khi
5
x
3 3 3
4
t 2x 1 2x 1
1
2 2 2
x
4

=

= ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔


= −


Vậy minF =
1
4
−
khi
5

2 4
= =
Vy maxG =
9
4
khi x =
7
4
.
* KX: 1 x 1
2 2
H 1 x 1 x H 2 2 1 x= + + = +
Cú
2 2
0 1 x 1 0 2 1 x 2
2
2 H 4 2 H 4
Du = th nht xy ra khi v ch khi x = 1.
Du = th hai xy ra khi v ch khi x = 0.
Vy minA =
2
khi x = 1; maxA = 4 khi x = 0.
Ví dụ 2:
Cho biểu thức:

x1
1
x1
1
x1

Giải:
a. Rút gọn đợc:
( )
x1x
1

b. A nhỏ nhất nếu mẫu
( )
x1x

là lớn nhất
Gọi
Kx
=
ta có K(1- K) = -K
2
+ K
-(K
2
- K) = -(K
2
- 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)
2
1/4]
Mẫu này lớn nhất khi: -[(K-1/4)
2
- 1/4] là nhỏ nhất
Và nó nhỏ nhất khi: K= 1/4
Hay

Mẫu nhỏ nhất khi
2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất
0
x
1
x
2
2
>+
Vậy
2
2
x
1
x
+
nhỏ nhất x =1
Vậy
3
1
12
1
M
=




)(
MT S BI TP C BN
Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht nu cú ca cỏc bu thc sau
2 2 2 2
A x y 6x 2y 17; B x 4xy 5y 10x 22y 28= + + = + + +
( )
2 2
2 2
x 1 8 x 1
C x 0 ; D ; E
x 2 3x 2 x 1
+
= = =
+ + +
( )
2 2
2 2
x x 1 x x 1
F x 0 ; G
x x 1 x 1
+ + +
= > =
+ + +
21x111x1x111x
11x11x11x11xY
++++=
++++=