Khoá luận tốt nghiệp
Trờng đại học s phạm hà nội
Khoa toán
Vectơ trong phép biến hình
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học
Ngời hớng dẫn khoa học

Hà nội,

3
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện luận văn này, ngoài sự cố gắng nỗ lực của
bản thân tôi còn đợc sự hớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi Văn Bình,
cùng những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy, cô trong tổ hình học. Tôi
xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Bùi Văn Bình và
các thầy cô giáo trong tổ Hình học đã giúp tôi hoàn thành khoá luận này.
Hà Nội, ngày tháng năm 20
Sinh viên

4
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cam đoan
Em xin cam đoan bản khoá luận đợc hoàn thành do sự cố gắng nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân dới sự giúp đỡ của thầy giáo Bùi Văn Bình.
Bản khoá luận này không trùng với các kết quả các tác giả khác. Nếu
trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên

5

sức. Hiện nay, trong chơng trình Toán học THPT, vai trò và tầm quan trọng
của các phép biến hình ngày càng đợc thể hiện rõ ràng và sâu sắc, không chỉ
trong lý thuyết mà cả trong thực hành giải bài tập. Đặc biệt, sự biến đổi của
các vectơ trong các phép biến hình giúp cho việc giải một số lớp bài toán trở
nên đơn giản hơn. Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học thông qua sự biến
đổi của các vectơ không phải dễ dàng, thực tế, đây là phần khó đối với giáo
viên trong quá trình dạy và học sinh trong quá trình học.
Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ tập trung trình
bày một cách khái quát sự biến đổi của vectơ qua phép biến hình; xem xét
việc áp dụng của sự biến đổi này trong một số bài toán. Qua đó, phần nào
giúp ngời đọc thấy tính u việt của phép biến hình nói chung và sự kết hợp
giữa vectơ và phép biến hình nói riêng. Đó chính là lý do em chọn đề tài:
Vectơ trong phép biến hình
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây dựng và đa ra cơ sở lý thuyết về phép biến hình; sự biến đổi của
các vectơ qua một số phép biến hình trong mặt phẳng.
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập thể hiện phơng pháp sử
dụng vectơ trong phép biến hình.
Đề tài nghiên cứu với hai nhiệm vụ:
a/ Nghiên cứu lý luận chung: Các khái niệm cơ bản của phép biến hình
và vectơ trong các phép biến hình.
b/ Hệ thống các bài tập.
3. Phơng pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các giáo trình hình học,
các bài giảng chuyên đề, tài liệu liên quan đến đề tài.
4. Cấu trúc khóa luận:
Khóa luận gồm ba phần:
Mở đầu.
Nội dung: gồm 3 chơng.
Chơng I: Cơ sở lý thuyết.

1.3.1. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng cắt nhau.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng định hớng cho hai đờng thẳng a, b cắt nhau tại O. Ta gọi
định hớng tạo bởi hai đờng thẳng a và b theo thứ tự đó là góc mà đờng thẳng

8
O
+
-
_
X
Y
Khoá luận tốt nghiệp
a phải quay theo một chiều nhất định qua điểm O để đến vị trí trùng với đờng
thẳng b.
Kí hiệu: , trong đó a là đờng thẳng đầu, b là đờng thẳng cuối.
Nhận xét:
+ Góc định hớng giữa hai đờng thẳng nh trên không duy nhất. Cách
xem xét về góc giữa hai đờng thẳng a, b giống nh cách xem xét giữa hai tia.
+ Giá trị là giá trị đầu (chính) của nếu giá trị là giá trị của
góc định hớng thu đợc góc quay xung quanh O theo một chiều nhất
định tới khi trùng b theo góc hình học nhỏ nhất. Khi đó:
b/ Hệ thức Chales.
Trong mặt phẳng định hớng cho ba đờng thẳng a, b, c.
Khi đó:
1.3.2. Góc định hớng giữa hai đờng thẳng song song hoặc trùng nhau.
Quy ớc: Cho hai đờng thẳng a, b song song hoặc trùng nhau.
Khi đó ta quy ớc:
Nhận xét: Hệ thức Chales với đờng thẳng vẫn đúng trong trờng hợp
ba đờng thẳng đôi một song song hoặc đồng quy.

Khoá luận tốt nghiệp
2.2. Phép biến hình Afin.
2.2.1. Định nghĩa.
Phép biến hình của mặt phẳng biến đờng thẳng thành đờng thẳng đợc
gọi là phép biến hình Afin (gọi tắt là phép Afin).
2.2.2. Tính chất.
a, Phép Afin bảo tồn tính song song của đờng thẳng.
b, Phép Afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hớng.
c, Phép Afin biến vectơ thành tổng của các vectơ tơng ứng.
d, Phép Afin bảo tồn tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng.
Định lý:
Trong E
2
cho tam giác và . Khi đó tồn tại duy nhất một
phép Afin của E
2
biến A,B,C tơng ứng thành .
Hay ngời ta còn nói: Phép Afin trong mặt phẳng đợc xác định bởi hai
tam giác tơng ứng.
Khái niệm hai tam giác cùng chiều, hai tam giác ngợc chiều.
Trong E
2
, hai tam giác ABC và đợc gọi là cùng chiều (ngợc
chiều) nếu trên đờng tròn ngoại tiếp của chúng từ cùng chiều
(ngợc chiều) với chiều
2.2.4. Phân loại.
Phép Afin trong E
2
đợc gọi là phép Afin loại một nếu hai tam giác xác
định nó cùng chiều. Ngợc lại ta có phép Afin loại hai.

+ Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.
b/ Vectơ trong phép tịnh tiến.
Giả sử là phép tịnh tiến theo vectơ .
Khi đó:
mà .

12
M
M

Khoá luận tốt nghiệp
Nhận xét:
Nh vậy: Phép tịnh tiến biến một vectơ thành một vectơ bằng nó.
3.1.4.2. Phép đối xứng tâm.
a/ Định nghĩa.
Trong mặt phẳng cho điểm I cố định. Phép biến hình biến hình I thành
chính nó; biến mỗi điểm M khác I thành sao cho I là trung điểm của đoạn
thẳng đợc gọi là phép đối xứng tâm I. Ký hiệu: Đ
I
Nh vậy: .
* Nhận xét:
+ Phép đối xứng tâm là phép dời hình, là phép đối hợp và có điểm bất
động duy nhất là I.
b/ Vectơ trong phép đối xứng tâm.
Giả sử Đ
I
là phép đối xứng qua tâm I.
Khi đó:
mà
Nhận xét:

Nhận xét:
+ Phép quay vectơ biến một vectơ thành 1 vectơ có độ dài bằng nó và
góc giữa hai vectơ bằng góc quay.
+ Để xác định một phép quay ta cần phải biết tâm quay và góc quay.
Tuy nhiên, ở nhiều bài toán việc xác định tâm quay là rất khó. Để khắc phục
điều này, từ biểu thức ta có khái niệm mới. Đó là phép quay vectơ (ta chỉ
cần biết góc quay mà không biết tâm quay).
c/ Phép quay vectơ.
* Định nghĩa:
Trong mặt phẳng định hớng, cho góc định hớng quy tắc
tơng ứng với mỗi vectơ của mặt phẳng vectơ xác định sao cho thoả mãn:

14
Khoá luận tốt nghiệp
Gọi là phép quay vectơ của mặt phẳng theo góc quay .
Ký hiệu:
* Tính chất.
1, Phép quay vectơ bảo toàn tổng.
Định lý 1: Cho
Khi đó:
* Hệ quả:
Cho thì:
2, Định lý 2: Một số thực nhân với vectơ qua phép quay bằng số thực
đó nhân với ảnh của nó.
Cho
Khi đó
* Hệ quả:
Cho thì
3, Định lý 3:
ảnh của một vectơ qua phép quay vectơ với góc quay khác 0 bằng

+ Phép đồng dạng là phép Afin.
+ Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng.

16
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
+ PhÐp ®ång d¹ng biÕn tam gi¸c thµnh tam gi¸c ®ång d¹ng, biÕn ®êng
®Æc biÖt thµnh ®iÓm ®Æc biÖt cña tam gi¸c nµy thµnh ®êng ®Æc biÖt, ®iÓm ®Æc
biÖt cña tam gi¸c kia.
+ PhÐp ®ång d¹ng biÕn ®êng trßn b¸n kÝnh R thµnh ®êng trßn b¸n kÝnh
k.R.

17
Khoá luận tốt nghiệp
Chơng II: ứng dụng giải một số bài toán của
hình học phẳng
Trong chơng này, nhờ việc thiết lập mối quan hệ giữa các điểm hay các
đờng đã cho trong giả thiết với các điểm hay các đờng trong kết luận thông
qua sự biến đổi của vectơ trong phép biến hình ta sẽ nhận đợc các kết quả về
tính đồng quy, tính thẳng hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc các
đoạn thẳng bằng nhau, các đoạn thẳng tỉ lệ
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC có M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,
BC, CA. Gọi và lần lợt là tâm của đờng tròn ngoại tiếp và
nội tiếp
Chứng minh:
Lời giải:
* Xét
Vậy
Nên
* Xét

ta cã:
XÐt phÐp vÞ tù t©m B, tû sè ta cã:
Tõ (1); (2); (3):

20
A
1
N
M
O
1
A
B
C
O
2
A
2
O
3
Khoá luận tốt nghiệp
hay
Do và đều là dây cung của nên từ ta có
với là ảnh của A qua
Có thẳng hàng thẳng hàng. (đpcm)
Ví dụ 3.
Cho tam giác ABC. Gọi I, J, M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC
và IJ. Đờng tròn ngoại tiếp (tâm O) của tam giác AJI cắt AO tại A. Gọi là
chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC.
Chứng minh: A, M, M thẳng hàng?

A
Do tiếp xúc với tại A
nên:
Tơng tự do tiếp xúc với tại B nên:

22
C
B
A
P
N
Q
M
O
3
O
2
O
1
Khoá luận tốt nghiệp
Lại do tiếp xúc tại C nên:
Tại (1); (2); (3) suy ra:
Vậy M và Q đối xứng nhau qua tâm (đpcm).
Ví dụ 5
Cho tam giác ABC có góc A nhọn, vẽ bên ngoài các tam giác vuông
cân đỉnh A là và Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
Lời giải.
* Cách 1 (sử dụng phép
quay vectơ)

Lời giải.
* Cách 1:(Sử dụng phép
quay)
Xét phép quay:
lần lợt là trung điểm của AA và CC).

đều.
* Cách 2: (sử dụng phép quay vectơ).
Ta có:

25
A
I
J
B
C'
A'
C
Khoá luận tốt nghiệp
Xét phép quay vectơ góc quay có:
đều.
* Khai thác sâu bài toán:
1, Khai thác 1: Giả thiết bài toán A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, nếu
tách điểm B khỏi đoạn AC ta có bài toán sau:
Bài toán 6.1:
Cho tam giác ABC. Dựng
về phía ngoài hai tam giác đều
ABC và BCA. Gọi I và J lần lợt
là trung điểm của AA và CC.
Chứng minh rằng: tam giác

toán.
Bài toán 6.2.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng hai tam giác
vuông ABBA, BCCD về cùng một phía của AB. Gọi I, J lần lợt là trung
điểm của AD và CB.
Chứng minh rằng: Tam giác BIJ vuông cân?
Lời giải:
* Cách 1: (Dùng phép quay vectơ)
Ta có:
Xét phép quay vectơ với góc quay

27