BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
__________________________ Vũ Khánh Ly
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VIỆC DẪN NHẬP
KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH
HỢP PHẦN MỀM CABRI
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán
Mã số: 60 14 10
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH
VŨ KHÁNH LYDANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
PBH : Phép biến hình
SGK : Sách giáo khoa
SBT : Sách bài tập
SGV : Sách giáo viên
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
CT : Chương trình
THPT : Trung học phổ thông
THCS : Trung học cơ sở
CNTT : Công nghệ thông tin
HĐ : Hoạt động MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
“Hàm” là một khái niệm cực kì quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học Toán ở
trường THPT. Theo nhà toán học Khin-Sin: “Không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những
hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không
một khái niệm nào có thể thực hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại
như khái niệm tương quan hàm”.
Hơn nữa “trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ đề PBH” [6, tr.167]. Với các
PBH, HS được biết một quan hệ hàm không phải là hàm số.
Đối với chủ đề PBH, chúng tôi có những ghi nhận sau:
- Thứ nhất, PBH trong CT cải cách giáo dục năm được tiến hành từ năm 1990 và CT chỉnh lí hợp nhất
tin đến với HS như một xác nhận tích cực hay tiêu cực trên hành động của họ và cho phép họ điều
chỉnh hành động này, cho phép họ chấp nhận hay loại bỏ giả thuyết, hay tiến hành một lực chọn giữa
nhiều cách giải quyết”
Vậy, “môi trường” trong lí thuyết tình huống được hiểu như thế nào?
Theo G.Brousseau, [25]: “Trong tình huống didactic, môi trường là hệ thống đối kháng với HS, tức là
cái làm thay đổi tình trạng của kiến thức theo cách mà HS không kiểm soát được”. Các yếu tố hình
thành nên môi trường có thể là vật chất hoặc phi vật chất [25].
Một trong những môi trường tạo sự tương tác hiệu quả đó là môi trường máy tính tích hợp các phần
mềm dạy học tương tác.
Theo Nguyễn Chí Thành [24], ý tưởng chủ đạo khi xây dựng các HĐ trong các tình huống là tạo ra một
môi trường cho sự tương tác giữa Cabri và HS. Sự tương tác đó có thể mô tả trong sơ đồ sau (theo C.
Laborde 1985):
Hình 1. Sự tương tác giữa HS và phần mềm
Theo sơ đồ trên, trong môi trường của Cabri, HS sẽ dịch chuyển hình vẽ hoặc các đối tượng, quan sát
các phản hồi của môi trường, sử dụng kiến thức đã có để giải thích cho các thông tin phản hồi của môi
trường, mặt khác qua các phản hồi HS có thể thay đổi các hành động của mình để tiến gần đến kết quả
cần tìm (kiến thức cần lĩnh hội) theo dụng ý của GV. Chính điều này gây nên sự hình thành kiến thức
mới, trong đó HS đóng vai trò chủ động. Các phản hồi cũng giúp GV điều khiển, hướng dẫn quá trình
học tập của HS.
Có thể nói, Cabri là phần mềm hình học động có tính năng tương tác cao. Chính vì điều này mà các tác
giả viết phần mềm này đã đặt tên cho nó là “Vở nháp tương tác” (Cahier de Brouillon Interactif).
Những ghi nhận trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát:
Q’1: Quan điểm hàm của PBH được trình bày như thế nào trong CT hình học ở Việt Nam? Có sự thay
đổi gì về nội dung PBH qua các lần cải cách gần đây nhất của chương trình phổ thông được thực hiện
từ những năm 1990, 2000 và 2006?
Q’2: Cách trình bày của các thể chế đã ảnh hưởng thế nào đến quan niệm của HS về khái niệm PBH?
Q’3: Vai trò của phần mềm Cabri đối với việc dạy và học PBH? Có thể vận dụng chức năng tương tác
của Cabri để xây dựng nội dung dạy học giúp HS tiếp cận với khái niệm PBH theo đặc trưng hàm hay
O. R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.
Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “khái niệm PBH”.
2.1.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một thể chế.
Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào đó mà có sự
tồn tại của X.
Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp các ràng
buộc mà thể chế I có với tri thức O.
Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của
R(I,O).
Với những định nghĩa trên thì trả lời cho câu hỏi Q’1 và Q’2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế
mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của HS với đối tượng O.
Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là:
- Thể chế dạy học theo CT cải cách giáo dục được tiến hành vào năm 1990 [I1].
- Thể chế dạy học theo CT chỉnh lý hợp nhất năm 2000 [I2].
- Thể chế dạy học theo CT phân ban được tiến hành đại trà năm học 2006-2007 [I3].
Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O)?
Theo Bosch và Chevallard.Y (1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với tri thức O sẽ làm
sáng tỏ mối quan hệ R(I,O). Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho
phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O.
Trong luận văn này, việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan đến các
PBH, sẽ cho phép chúng tôi:
- Vạch rõ các quan hệ của thể chế R(I1,O), R(I2,O), R(I3,O).
- Xác định mối quan hệ các nhân HS duy trì với O trong từng thể chế I1, I2, I3.
Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?
2.1.3 Tổ chức toán học
Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng một mô hình
cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard (1998) đã đưa
vào khái niệm praxeologie.
Theo Chevallard, mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ], trong đó: T là một kiểu
Phân tích CT và SGK toán các CT:
+ CT cải cách giáo dục năm 1990;
+ CT chỉnh lí hợp nhất năm 2000;
+ CT phân ban năm 2006;
Mục đích:
+ Biết được cách trình bày các vấn đề về PBH của các CT?
+ Thấy được sự giống và khác nhau về tổ chức toán học của các CT.
Từ kết quả phân tích trên, chúng tôi đưa ra mối quan hệ thể chế đối với khái niệm PBH, đồng thời
rút ra giả thuyết nghiên cứu.
Tiến hành thực nghiệm kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra.
Xây dựng thực nghiệm có sử dụng Cabri để tiếp cận với khái niệm PBH với các đặc trưng của nó.
4. Cấu trúc của luận văn
Nghiên cứu Chương 1 nhằm trả lời cho câu hỏi Q1. Muốn thế, chúng tôi tiến hành phân tích CT, SGV,
tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT toán qua các thời kì. Chúng tôi sẽ cố gắng chỉ rõ các tổ chức
toán học liên quan đến khái niệm PBH. Từ những nghiên cứu trên chúng tôi xác định được mối quan
hệ của từng thể chế với khái niệm PBH, đồng thời rút ra giả thuyết nghiên cứu liên quan đến câu hỏi
Q3 về mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH dưới ràng buộc của thể chế.
Chương 2 dành để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên bằng một thực nghiệm (được tiến
hành trong môi trường giấy-bút truyền thống) với HS, chúng tôi gọi đây là thực nghiệm thứ nhất.
Trong Chương 3, chúng tôi trình bày thực nghiệm thứ hai dưới dạng một đồ án. Thực nghiệm này
được tiến hành trong môi trường tương tác của phần mềm hình học động Cabri II plus nhằm mục đích
điều chỉnh mối quan hệ cá nhân của HS với khái niệm PBH đã được phân tích trong chương 1 và
chương 2.
CHƯƠNG 1. QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH
Nghiên cứu chương này với mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2. Muốn thế,
nghiên cứu đó phải làm rõ mối quan hệ mà các thể chế I1, I2, I3 đối với khái niệm PBH. Việc này sẽ
được tiến hành thông qua phân tích CT và SGK của từng thể chế.
Đối với thể chế I1:
CT 2006 ở bậc THPT kế thừa CT bậc THCS được tiến hành đại trà bắt đầu từ năm 2002, chúng tôi quy
ước gọi là CT THCS 2002.
Các tài liệu tham khảo ở bậc THCS là:
- Đối với CT THCS 1986:
+SGK hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;
+SGV hình học 8, Nguyễn Văn Bàng, 1999, NXBGD;
- Đối với CT THCS 2002:
+SGK Toán 8, tập 1, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;
+SGV Toán 8, Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), 2004, NXBGD;
1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH QUA CÁC CHƯƠNG TRÌNH
1.1.1. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 1990
Đây là lần đầu tiên nội dung PBH được trình bày tập trung ở CT PT Việt nam trong chương 3 của lớp
10 với tên gọi Phép dời hình và phép đồng dạng. Đối với CT trước đó
2
, theo Lê Thị Hoài Châu (2004),
PBH được nghiên cứu rải rác từ cấp II đến cấp III với tư cách là một bộ phận của hình học tổng hợp.
Ví dụ: CT cấp II nghiên cứu phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng tâm; Đối với CT cấp
III, lớp 9 nghiên cứu phép tịnh tiến trong bài Đường thẳng và mặt phẳng song song, lớp 10 nghiên cứu
phép vị tự và và phép đồng dạng.
Theo Dự thảo chương trình của Viện khoa học giáo dục (1989), chương III chỉ có 11 tiết với các nội
dung:
Khái niệm về phép dời hình, tính chất phép dời hìn,; khái niệm về hai hình bằng nhau (5 tiết). Phép vị
tự. Khái niệm về phép đồng dạng, tính chất phép đồng dạng, khái niệm về hai hình đồng dạng (6
tiết)[P1, tr.54].
Các Noospherien cho rằng: “Ở các lớp 8, 9 trường PTCS, học sinh đã học phép đối xứng trục, đối
xứng tâm, tịnh tiến, quay và đã được chứng minh rằng trong các phép biến hình đó X’Y’=XY. Ở lớp 10,
những phép biến hình ấy được tổng kết lại và được xem như là những thí dụ của phép dời hình” [P1,
tr.56].
Bài “Đối xứng trục”, “Đối xứng tâm” được đưa vào giảng dạy ở lớp 8. Bài “Tịnh tiến theo vectơ” chỉ
của đường tròn; tích của hai phép dời hình; định nghĩa hai hình bằng nhau. Các phép đối xứng trục, đối
xứng tâm, tịnh tiến, phép quay cũng chỉ được nhắc đến như các ví dụ về phép dời hình.
Ở đây xuất hiện một mâu thuẫn. Các phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay chưa
thực sự được nghiên cứu ở bậc THCS. Ở đó, PBH chỉ xuất hiện ngầm ẩn gắn liền với tính chất của một
số hình cụ thể như: hình thang cân, hình chữ nhật, hình bình hành. Trong khi đó ở bậc THPT, PBH lại
được hiểu theo “quan niệm điểm”. Vậy câu hỏi đặt ra là, liệu HS có hiểu được các phép phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay dưới góc độ ánh xạ điểm hay không?
Lê Thị Hoài Châu nhận xét: "Như thế, một định nghĩa khá trừu tượng về phép biến hình, phép dời hình
được đưa ra trong khi bước chuẩn bị những biểu tượng về nó chưa được làm kĩ càng từ trước. Thành
ra cái tổng quát thì nắm lơ mơ, cái cụ thể thì hiểu không đến nơi đến chốn, vận dụng nó vào giải toán
không thể có hiệu quả" [5 tr.165].
Thật ra nhóm tác giả biên soạn SGK cũng đã ý thức được điều này nên đã đề nghị: “các phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, tịnh tiến và quay nên được giới thiệu lại (phần định nghĩa) như là thí dụ về ánh xạ
trong mặt phẳng và chúng được sử dụng để minh hoạ các tính chất của phép biến hình” [P1, tr.66].
Do đó các tác giả này đã đề nghị 5 ví dụ (bao gồm phần nhắc lại định nghĩa các phép: phép đối xứng
trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, phép quay và phép chiếu vuông góc) ngay sau phần định nghĩa ánh xạ.
Tuy nhiên các ví dụ này lại không có mặt trong SGK.
Phép vị tự là PBH duy nhất trong CT được trình bày chi tiết từ: định nghĩa, định lý, cách xác định ảnh
của đường thẳng, đường tròn, bởi lẽ đây là PBH mới đối với HS.
Nội dung bài Phép vị tự nhằm chuẩn bị cho HS kiến thực về một phép đồng dạng. Kết thúc của chương
là bài Phép đồng dạng với các nội dung: định nghĩa phép đồng dạng; tính chất phép đồng dạng (tính
chất bảo toàn hình dạng của các hình); liên hệ giữa phép dời hình, phép vị tự và phép đồng dạng; định
nghĩa hình đồng dạng.
Tiểu kết
2
CT trước cải cách giáo dục (theo hệ thống giáo dục 10 năm)
- Để định nghĩa PBH tổng quát, CT đưa vào khái niệm ánh xạ. Do đó khái niệm PBH ở bậc THPT
được trình bày theo “quan niệm điểm”.
xứng trượt. Việc đưa thêm phép dời hình trên nhằm trả lời cho câu hỏi “ngoài ba phép dời hình trên
còn có phép dời hình nào khác không?” [P2, tr.77].
Bố cục bài Phép đồng dạng cũng không thay đổi nhiều so với CT 1990.
Tiểu kết
- CT 2000 không đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH mà định nghĩa từng PBH cụ thể. Tuy nhiên,
việc định nghĩa từng PBH cụ thể vẫn thể hiện “quan niệm điểm” qua cách dùng từ “phép đặt tương
ứng”.
- Các PBH cụ thể: đối xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến được nghiên cứu một cách có hệ thống
trước khi đưa vào khái niệm phép dời hình. Việc này làm điểm tựa để HS nghiên cứu định nghĩa cũng
như các bất biến của phép dời hình. Như thế, HS được làm quen với từng phép dời hình cụ thể trước
khi đến với khái niệm phép dời hình tổng quát.
1.1.3. Khái niệm PBH trong chương trình THPT năm 2006
Khác với các CT trước, PBH được dạy ngay chương đầu tiên của lớp 11. Điều này làm chúng tôi tự
hỏi: do đâu có sự thay đổi trên? SGV không đề cập đến vấn đề này, tài liệu bồi dưỡng giáo viên, trang
83, năm 2007 thì viết: “Trước đây nội dung của phần này được đưa vào cuối chương lớp 10 (theo sách
cải cách và sách chỉnh lí) nhưng xét chưa thật hợp nên đã được đưa lên phần đầu của chương chương
trình lớp 11. Nhìn chung phần biến hình trong mặt phẳng này vẫn còn khá khó đối với trình độ chung
của học sinh lớp 11”. Chưa thật hợp như thế nào thì sách không nói rõ. Trong diễn đàn Dạy học toán
của báo Tuổi trẻ (2006), Nguyễn Mộng Hy- một trong những nhà biên soạn SGK 2006 -nói: “Phép dời
hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng là phần tương đối khó đối với trình độ chung của học sinh
lớp 10. Thực tế trong những năm gần đây nhiều trường phổ thông trung học đã bỏ qua không dạy phần
này và trong các đề thi vào các trường đại học cũng không có nội dung này. Theo chương trình mới thì
nội dung các phép biến hình phẳng được đưa vào nội dung chương trình Hình học 11.”
Để tìm thêm lí do của việc chuyển đổi vị trí đặt chủ đề PBH trong CT THPT, chúng tôi xem xét mối
liên hệ của nội dung dạy học chủ đề này và các nội dung khác trong CT lớp 11. Nội dung hình học 11
được trình bày gồm hai phần. Phần thứ nhất là nội dung PBH trong mặt phẳng, phần thứ hai là nội
dung hình học không gian. Trong phần thứ hai, vấn đề PBH trong không gian hầu như không được đề
cập đến, chỉ duy nhất phép chiếu song song được nói đến ở cuối chương “Quan hệ song song”. Theo
cùng cách trình bày khái niệm PBH trong mặt phẳng, phép chiếu song song cũng được định nghĩa như
- Thứ nhất, CT dành riêng một bài để giới thiệu phép quay thay vì ghép vào bài phép dời hình như
trước. Vì thế, HS được tiếp cận với tất cả các phép dời hình cụ thể trước khi đến với khái niệm phép
dời hình tổng quát. Đây là bước trang bị cho HS những biểu tượng về những cái cụ thể trước khi học
về cái tổng quát.
Mặt khác, thời gian dành cho mỗi PBH cụ thể rút ngắn nhiều so với CT 2000, thay vì hai tiết một bài,
giờ thì mỗi bài chỉ dạy trong một tiết. Điều này cho thấy CT 2006 cũng không muốn đầu tư nhiều thời
gian cho nội dung PBH.
- Thứ hai, CT 2006 đưa vào thuật ngữ và khái niệm PBH. Đây lại là điểm tương đồng so với CT 1990.
Tuy nhiên CT 2006 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ” để định nghĩa PBH mà thay bằng “phép đặt
tương ứng”. Ví dụ: “PBH (trong mặt phẳng) là một qui tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác
định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy”[M3, tr.4].
Như vậy, PBH trong CT 2006 vẫn thể hiện “quan niệm điểm”.
- Thứ ba, điểm thay đổi đáng chú ý nhất và cũng chưa từng được áp dụng trong thể chế dạy học ở Việt
Nam từ trước đến nay, đó là sự xuất hiện của các biểu thức tọa độ trong PBH. CT 2006 giới thiệu
biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm với tâm là gốc tọa độ, phép đối xứng qua trục
Ox, Oy.
Giải thích cho việc đưa nội dung trên vào PBH, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên lớp 11, trang 87 năm
2007 viết: “việc làm này bổ sung thêm cho học sinh về các khái niệm biến hình đã học, tiếp cận với
các khái niệm này bằng các công cụ và bằng các phương pháp khác nhau”.
Tuy nhiên, CT chỉ đưa biểu thức tọa độ của một số PBH vì “các phép khác thì vì biểu thức tọa độ khá
phức tạp nên không trình bày” [5, tr.162].
1.1.4. KẾT LUẬN
CT 1990 CT 2000 CT 2006
§1. Đại cương về phép
biến hình: 3 tiết
§2. Phép dời hình: 3 tiết
§3. Phép vị tự: 3 tiết
§4. Phép đồng dạng: 3
tiết.
- CT 2000 thay đổi về bố cục cũng như nội dung giảng dạy. Khái niệm PBH tổng quát không được
giới thiệu. CT dành nhiều thời gian (10 tiết) cho các PBH cụ thể như đối xứng trục, đối xứng tâm, phép
tịnh tiến. Sau đó phép dời hình tổng quát được trình bày.
- CT 2006 không có thay đổi nhiều so với CT 2000. Điểm khác nhau là thời gian dành cho chương
này bị cắt giảm rất nhiều so với CT 2000, từ 19 tiết nay chỉ còn 11 tiết, gần như mỗi bài chỉ học trong
một tiết. Số tiết như thế cũng phù hợp với yêu cầu của CT đặt ra đối với chương này, chỉ yêu cầu HS
nắm được các khái niệm cũng như các tính chất của các PBH khác nhau.
Một nét mới đáng chú ý là với CT 2006, lần đầu tiên biểu thức tọa độ được đưa vào nội dung PBH. Sự
xuất hiện này có làm thay đổi mối quan hệ thể chế I3 đối với khái niệm PBH hay không? Việc tìm
kiếm các yếu tố để có thể trả lời cho câu hỏi này, cũng là một phần của câu hỏi Q1, sẽ được tiến hành
trong phần phân tích SGK.
1.2. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH TRONG SÁCH GIÁO KHOA
Việc nghiên cứu các PBH ở THPT chỉ dừng ở phép dời hình và phép đồng dạng. Mặt khác, các tính
chất của các phép dời hình cụ thể tương đối giống nhau. Chúng tôi chọn phân tích SGK bài phép đối
xứng trục vì ở cấp THCS, HS đã được học khái niệm đối xứng trục. Do đó chúng tôi muốn xem xét
những điều kiện và ràng buộc của các thể chế I1, I2, I3 đã làm thay đổi mối quan hệ của HS với khái
niệm PBH, cụ thể đối với phép đối xứng trục như thế nào.
1.2.1. Khái niệm PBH trong SGK 1990:
Do CT 1990 không trình bày cụ thể từng PBH cụ thể nên chúng tôi chọn phân tích bài Đại cương về
phép biến hình.
Mở đầu, SGK đưa định nghĩa ánh xạ trong mặt phẳng. Sau đó, khái niệm PBH theo quan điểm ánh xạ
được trình bày:
Ánh xạ f từ tập hợp P vào tập hợp P được gọi là phép biến hình của mặt phẳng nếu hai điểm khác nhau
thì có hai ảnh khác nhau và mỗi điểm thuộc P đều có tạo ảnh thuộc P.
SGK đưa ví dụ: “Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay là một phép biến
hình” mà không có sự giải thích nào.
d
M
A
(d không cùng phương với
v
)
Giải
Gọi M là điểm tùy ý trên d, M’ là ảnh của M qua T
v
, tức là:
'
MM v
Ta tìm tập hợp các điểm M’ khi M chạy trên d.
Gọi A là điểm cố định trên d, A’ là ảnh của A qua T
v
. A’ cũng là điểm
cố định.
Vì
' AA '
MM v
nên
' '
A M AM
- Ngược lại, mọi điểm
' '
M H
phải có tạo ảnh
M H
.
Công nghệ : định nghĩa PBH, định nghĩa ảnh của hình qua một PBH.
Có thể thấy, kiểu nhiệm vụ T1 bao gồm kiểu nhiệm vụ con “Tìm quĩ tích của một điểm” được đưa
vào lớp 9.
Phân tích các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T1 trong M1 và E1 cho thấy ràng buộc ngầm ẩn của thể chế
đối với kiểu nhiệm vụ này là các PBH gặp trong các bài toán đều là các PBH quen thuộc như: phép đối
xứng trục, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, đồng thời hình muốn tìm ảnh là đường thẳng,
đường tròn. Lí giải cho điều này, bởi vì CT lớp 9 chỉ nghiên cứu quĩ tích là đường thẳng, đường tròn và
cũng chỉ có nhóm các phép dời hình, đồng dạng mới giữ nguyên hình dạng của hình.
Kiểu nhiêm vụ T’1: Chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua PBH.
T’1 là kiểu nhiệm vụ suy biến từ T1.
Theo Noospherien, mục đích thực hiện hai kiểu nhiệm vụ trên là: “biết phương pháp tìm ảnh của một
hình; hiểu kĩ hơn về phép tịnh tiến, phép đối xứng trục”. Theo chúng tôi, ưu điểm lớn mà kiểu nhiệm
vụ trên đem lại là nó thể hiện rõ tư tưởng “ánh xạ điểm” của PBH.
Để ý thấy, các PBH mà SGK đưa ra đều là các phép dời hình. Do đó chúng luôn bảo toàn hình dạng
của các hình (nghĩa là các PBH này biến một hình thành một hình bằng hoặc cùng dạng với nó, chúng
tôi quy ước gọi đó là tính chất bảo toàn hình dạng), tuy nhiên SGK không thể chế hoá tính chất đó.
Dường như tác giả xem kiểu nhiệm vụ T1, T’1 chỉ mang tính chất lý thuyết, do đó trước bài tập thuộc
kiểu nhiệm vụ này (trong sách E1), tác giả mở ngoặc viết: “bài tập bổ sung lý thuyết SGK”. Hơn nữa,
sau bài giải của nhiệm vụ “Tìm ảnh của đường thẳng
, đường tròn (C) qua phép đối xứng trục (đối
xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay
; hoặc đối với phép đối xứng trục thì M là
giao điểm của
và trục đối xứng.
Việc xác định phương của đường thẳng ảnh sẽ tùy thuộc vào từng PBH cụ thể. Về vấn đề này, các tác
giả cũng nói đến:
“Phép tịnh tiến theo vectơ
v
biến đường thẳng d thành d’ song song với d” [M1, tr.76].
“Vậy, khi
d
thì ảnh của
qua S
đ
chính là
. […] Nếu
cắt d tại I thì
'
cũng qua I […]Nếu
//
d
thì
việc biến đổi một vài điểm thuộc hình (cụ thể: một điểm bất kì trên đường thẳng; tâm đường tròn ).
Tuy thế hình vẫn không được quan niệm như một tập hợp điểm bởi vì:“Người ta có thể nói về “điểm
trên một đường” hay “điểm trên một hình”, nhưng không quan niệm rằng hình được tạo thành từ một
tập hợp điểm, mà chỉ xem nó như cái giá và có thể đặt các điểm lên trên đó”. [6, tr.134].
Chúng tôi sử dụng thuật ngữ “quan niệm hình” để nói về việc hiểu PBH theo nghĩa trên.
Như vậy, tổ chức toán học thuộc kiểu nhiệm vụ T2 giúp hình thành nên “quan niệm hình” của PBH.
So sánh kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) và T2
Cả hai kiểu nhiệm vụ đều liên quan đến việc xác định ảnh của một hình qua một PBH. Song T1 được
yêu cầu trong tình huống chưa biết trước hình dạng ảnh của một hình qua PBH đó. Do đó, để thực hiện
kiểu nhiệm vụ này, HS phải lấy ảnh của từng điểm trên hình, điều này thể hiện qua việc tìm ảnh của
một điểm bất kì trên hình, sau đó tìm quĩ tích điểm ảnh đó. Chính vì thế kiểu nhiệm vụ T1 (T’1) thể
hiện “quan niệm điểm”.
Trong khi đó kiểu nhiệm vụ T2 được đặt trong ràng buộc phải biết trước hình dạng của ảnh. Khi đó, để
thực hiện kiểu nhiệm vụ này, HS không cần thiết phải tư duy theo từng điểm. Việc trong kĩ thuật thực
hiện có sử dụng thao tác lấy ảnh của một vài điểm trên hình chỉ nhằm xác định vị trí điểm đặt của hình-
ảnh cần vẽ hơn là việc xem hình là một tập hợp điểm và lấy ảnh của mọi điểm thuộc tập đó. Với kĩ
thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2, một hình vẫn chỉ là một khối thống nhất. Chính vì thể kiểu nhiệm vụ
T2 thể hiện “quan niệm hình”.
Trong sách M1 và E1, không có bài tập nào dành riêng cho kiểu nhiệm vụ T2. Kiểu nhiệm vụ này chỉ
được nhắc đến ngay sau lời giải của các bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1.
Như vậy, sách E1 xây dựng tổ chức toán học của kiểu nhiệm vụ này để làm gì?
Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta xét tiếp hai tổ chức toán liên quan đến khái niệm PBH có mặt trong
thể chế.
Kiểu nhiệm vụ T3: Tìm tập hợp điểm bằng PBH
Kĩ thuật : Để tìm tập hợp điểm M:
+Xác định M=f(N)(f là PBH nào đó), trong đó tập hợp điểm N là một hình (H) (giả thiết đã cho
hoặc ta dễ dàng xác định được).
+ Suy ra tập hợp điểm M là hình (H’) là ảnh của hình (H) qua PBH f.
+ Vẽ hình (H’).
Trong kĩ thuật thực hiện hai kiểu nhiệm vụ T3, T4 đều có bước “vẽ hình”, với những hình cần vẽ là
đường thẳng, đường tròn. Do đó, kiểu nhiệm vụ T2 xuất hiện trong vai trò một kiểu nhiệm vụ con của
T3 và T4.
Tại sao SGK và SBT lại không ưu tiên cho kiểu nhiệm vụ T2 mà nó chỉ “ẩn mình” trong các kiểu
nhiệm vụ khác?
Theo chúng tôi, có lẽ tác giả cho rằng kiểu nhiệm này đã được HS thực hiện ở bậc THCS. SGK hình
học 8 trang 16 (theo CT 1986) trình bày:
“-Muốn dựng đoạn thẳng A’B’ đối xứng của đoạn thẳng AB qua trục d, ta chỉ cần dựng hai điểm đầu
mút A’, B’ là đối xứng qua trục d (hoặc qua tâm O) của hai điểm A, B.
-Nếu các đỉnh của tam giác ABC lần lượt đối xứng qua trục d, với các đỉnh của tam giác A’B’C’ thì hai
tam giác đó đối xứng với nhau.
-Nếu hai điểm của đường thẳng này đối xứng qua trục d, với hai điểm của đường thẳng khác, thì hai
đường thẳng đó đối xứng với nhau.”
Với kĩ thuật vẽ hình như trên, có thể nói “quan niệm hình” của PBH đã xuất hiện ở bậc THCS. Đến bậc
THPT, cụ thể là trong thể chế I1, PBH được yêu cầu giảng dạy theo “quan niệm điểm”. Theo quan
điểm này, vẽ ảnh của một hình phải là vẽ theo từng điểm. Tuy nhiên, việc “vẽ ảnh theo từng điểm”
trong môi trường giấy bút là chuyện “không tưởng”. Chính vì thế mà các Noospherien né tránh quan
niệm điểm bằng cách giới thiệu các tính chất bảo toàn của phép dời hình (chỉ ngầm ẩn qua kết quả các
bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1 và T’1) .
Như vậy, mặc dù ý thức được “quan niệm điểm” của PBH, điều này thể hiện qua định nghĩa PBH, qua
hai kiểu nhiệm vụ T1 và T’1. Song, do việc dạy và học PBH chỉ hạn chế trong môi trường “giấy bút”,
cũng như yêu cầu đặt ra của chương chỉ dạy phép dời hình và đồng dạng, nên các PBH mà HS được
học đều có tính chất bảo toàn hình dạng của hình. Tính chất này đem đến một cái nhìn tổng quát cho
nhóm các phép dời hình và đơn giản hóa kĩ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T2 “Vẽ ảnh của một hình
qua PBH”. Nhưng cũng chính tính chất này mà “quan niệm hình” xuất hiện, bên cạnh “quan niệm
điểm” của PBH.
Quan niệm Kiểu nhiệm vụ Số lượng Tổng cộng Tỷ lệ
T1 6
Phép đối xứng trục để xem xét việc trình bày khái niệm PBH.
Sách M2 định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M
qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục.
Mặc dù M2 không sử dụng thuật ngữ “ánh xạ”, nhưng khái niệm phép đối xứng trục vẫn thể hiện
“quan niệm điểm”, điều đó thể hiện qua cụm từ “phép đặt tương ứng”.
Khái niệm ảnh của một hình qua phép đối xứng trục cũng được trình bày. Tương tự như thể chế I1, một
hình ở đây được hiểu là một tập hợp điểm.
Tiếp theo, sách M2 phát biểu và chứng minh một số tính chất của phép đối xứng trục. Trong đó, đáng
chú ý là nội dung hệ quả 2
Hệ quả 2. Phép đối xứng trục:
a. Biến một đường thẳng thành đường thẳng,
b. Biến một tia thành một tia,
c. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó,
d. Biến một góc thành một góc có số đo bằng nó,
e. Biến một tam giác thành tam giác bằng nó, một đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Trong I1, nội dung trên chỉ được xem như kết quả của một bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1. Trong I2,
nó đã được thể chế hóa trong hệ quả 2.
Tiếp theo, khái niệm trục đối xứng của một hình cùng với một số ví dụ về hình có trục đối xứng như
tam giác cân, hình vuông, hình tròn cũng được trình bày.
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ
d
biến H thành chính nó.
Sau đó, M2 còn giải thích thêm: Điều đó có nghĩa là với bất kì điểm M nào của ảnh H, ảnh M’ của nó
(qua phép Đ
d
) cũng nằm trên H.
Như vậy, khái niệm trục đối xứng của một hình dựa trên “quan niệm điểm” của PBH.
Các tổ chức toán học liên quan đến khái niệm phép đối xứng trục trong I2
Sự xuất hiện của hệ quả 2 trong sách M2 cung cấp cho HS kiến thức về ảnh của một hình (đường
ngữ toán học “hình có trục đối xứng” hay “trục đối xứng của một hình” cùng với định nghĩa của
chúng, HS nhanh chóng áp dụng các kiến thức đã hình thành trong cuộc sống để thực hiện kiểu nhiệm
vụ T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”. Kiến thức hình học lúc bấy giờ chỉ đóng vai trò kiểm tra một
đường thẳng được chọn ra có thoả đáng là trục đối xứng của hình hay không.
Tiểu kết
Khác với thể chế I1, thể chế I2 không đưa khái niệm PBH tổng quát mà định nghĩa trực tiếp từng PBH
cụ thể, trong đó có phép đối xứng trục. Định nghĩa phép đối xứng trục vẫn thể hiện rõ “quan niệm
điểm” thông qua cách phát biểu “phép đặt tương ứng”.
Tính chất bảo toàn khoảng cách của phép đối xứng trục được trình bày. Từ đó kéo theo tính chất chất
bảo toàn hình dạng của hình qua phép đối xứng trục (nội dung hệ quả 2).
Sự xuất hiện của hệ quả 2 dẫn đến sự biến mất của kiểu nhiệm vụ T1“Tìm ảnh của hình H qua PBH”
và T’1“Chứng minh H’ là ảnh của hình H qua PBH”. Kiểu nhiệm vụ T2 vẫn tồn tại trong vai trò kiểu
nhiệm vụ con của kiểu nhiệm vụ T3 và T4, là hai kiểu nhiệm vụ tiếp tục xuất hiện trong thể chế I2.
Như vậy trong I2, khái niệm PBH vẫn thể hiện rõ “quan niệm điểm”. Tuy nhiên, đến khi triển khai các
kiểu nhiệm vụ thì chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ liên quan đến quan niệm này hoàn toàn vắng
bóng. Thay vào đấy là sự vượt trội của các kiểu nhiệm vụ liên quan đến “quan niệm hình”. Có thể thấy,
trong I2, “quan niệm hình” lấn lướt “quan niệm điểm” của PBH.
1.2.3. Khái niệm PBH trong SGK 2006
Trong phần này, chúng tôi phân tích bộ sách M3 trong đó có liên hệ với hai bộ sách M1 và M2.
Khác với M2 nhưng lại tương đồng với M1, sách M3 đưa vào thuật ngữ và định nghĩa PBH tổng quát. Bảng 1.3 So sánh giữa M1 và M3 về khái niệm PBH
Về quan điểm trình bày khái niệm PBH, cả hai bộ sách đều theo “quan niệm điểm”.
M1 M3
-Định nghĩa ánh xạ
-Định PBH theo ánh xạ
-Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH
-PBH đồng nhất
-Định nghĩa tích các PBH
-Không có
-Định nghĩa PBH thông qua cách trình
bày “phép đặt tương ứng”
-Định nghĩa ảnh của một hình qua PBH
- PBH đồng nhất
-Không có
nhau qua một đường thẳng và hình có trục đối xứng” [2, tr.118]. Như vậy, phép đối xứng trục ở THCS
không được trình bày theo quan điểm biến hình mà chỉ là một bộ phận của hình học tổng hợp, gắn liền
với tính chất của một số hình. Do đó các tác giả của bộ sách M3 đề nghị: “khái niệm biến hình là một
khái niệm mới đối với HS lớp 11. Do đó khi thấy GV dạy một phép biến hình cụ thể nào đó thì việc
quan trọng đầu tiên là cần làm cho HS nắm thật chắc định các nghĩa của từng phép biến hình đó” [6,
tr.86]. Chính vì yêu cầu này mà nhiều ví dụ xuất hiện trong M3 liên quan đến khái niệm phép đối xứng
trục.
Ví dụ 1. Trên hình 1.11 ta có các điểm A’, B’, C’ tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C qua phép đối
xứng trục d và ngược lại. [ ] Hoạt động 1. Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua
phép đối xứng trục AC [M3, tr.9].
- Sách M3 đưa vào định nghĩa khác của phép đối xứng trục, định nghĩa thông qua biểu thức vectơ
dưới dạng nhận xét:
1) Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M
0
là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d. Khi
đó: M’= Đ
hoặc chỉ đưa biểu thức tọa độ của một vài trong số các PBH được học là việc làm không triệt để. Thật
vậy, như chúng ta đã biết, trong nghiên cứu hình học, lợi thế của phương pháp tọa độ là lời giải mang
tính khái quát cao vì nó không phụ thuộc vào hình vẽ. Trong khi đó ngay việc chỉ giới thiệu biểu thức
tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy cũng thiếu tính khái quát, nó để lại câu hỏi: trong tình huống phải đối
mặt với trục đối xứng bất kì, ta phải làm thế nào? Hơn nữa, các bài tập liên quan đến biểu thức tọa độ
trong CT chủ yếu đổi vỏ ngôn ngữ từ tổng hợp sang tọa độ. Thay vì trước đây yêu cầu vẽ ảnh của
đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục thì bây giờ yêu cầu viết phương trình ảnh của đường
thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục. HS chỉ thấy được sự đa dạng của các dạng bài tập mà không
thấy được ưu điểm của phương pháp tọa độ trong PBH.
Như vậy, so với sách M2, M3 giới thiệu thêm hai cách xây dựng khái niệm phép đối xứng trục, đó là:
biểu thức vectơ và biểu thức tọa độ. Song chỉ có biểu thức tọa độ tiếp tục được khai thác trong phần bài
tập, biểu thức vectơ hoàn toàn biến mất sau phần định nghĩa của nó.
- Về các ví dụ hình có trục đối xứng: M2 cho ví dụ là tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, đường
tròn. M3 cho ví dụ là hình thang cân, hình bát giác, hình ngôi sao, hình con bướm, hình lôgô. Ngoài ra,
M3 còn đưa ví dụ về một số hình không có trục đối xứng và xây dựng hoạt động yêu cầu HS tìm ra các
hình có trục đối xứng trong các hình đã cho, tìm những tứ giác có trục đối xứng.
Như thế, ví dụ của M3 đa dạng hơn về hình dạng của các hình, nó vượt ra khỏi các hình hình học thông
thường để đến với những hình trong thực tế. Điều này giúp học sinh kết nối được kiến thức hình học
với kiến thức không gian về trục đối xứng mà HS thường gặp trong cuộc sống.
Phần bài tập
Điểm giống nhau:
Tuy bố cục bài đối xứng trục của hai bộ sách M2 và M3 tương đối giống nhau nhưng do yêu cầu của
mỗi chương trình dành cho chủ đề PBH là khác nhau nên sự có mặt của các kiểu nhiệm vụ của hai bộ
sách không giống nhau nhiều lắm.
Các kiểu nhiệm vụ giống nhau là T2“Vẽ ảnh của một hình qua PBH”, T3 “Tìm tập hợp điểm bằng
PBH”, T4 “Dựng hình bằng PBH”, T5 “Tìm trục đối xứng của một hình”.
Điểm khác nhau:
- Không như sách M2, các kiểu nhiệm vụ của kiểu nhiệm vụ T2 đã xuất hiện tường minh trong M3.
Bên cạnh hai kiểu nhiệm vụ con T2.1 “Vẽ ảnh của đường tròn qua PBH” và T2.2 “Vẽ ảnh của đường
x x
y y
Công nghệ .1.1: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox, Oy.
Kiểu nhiệm vụ T6.1.2: Tìm tọa độ ảnh M’ của điểm M(x;y) qua phép đối xứng trục d có phương
trình ax+by+c=0.
Kĩ thuật .1.2: Viết phương trình đường thẳng d’ qua M và vuông góc với d.
Copyright: Tài liệu đại học ©