PHƯƠNG PHÁP MUSIC XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ VẬT TÁN XẠ
ĐIỂM TRONG MÔI TRƯỜNG THUẦN NHẤT, ĐẲNG
HƯỚNG R
d
(d = 2, 3)
THE MUSIC METHOD TO FIND THE POINT SCATTERERS IN THE
HOMOGENEOUS, ISOTROPIC SPACE R
D
(D = 2, 3) PHẠM QUÝ MƯỜI
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT
Mục tiêu của bài báo này là trình bày phương pháp MUSIC (viết tắt cho MUltiple-SIgnal-
Classification) xác định vị trí của vật tán xạ điểm trong môi trường không thuần nhất đẳng
hướng R
d
(d = 2, 3) và sử dụng hệ kỳ dị của toán tử tuyến tính để áp dụng phương pháp trong
việc giải số bài toán. Từ đó áp dụng giải số một số bài toán với dữ liệu giả định.
ABSTRACT
This paper presents MUSIC method (standing for MUltiple-SIgnal-Classification) to find the
point scatterers in the homogeneous, isotropic space R
d
(d = 2, 3). Then, using singular
system of the linear operator to apply in a numerical implementation by MUSIC method. Then,
we apply it to some numerical examples with synthetic data.
,
1


d
S

(mặt cầu đơn vị trong R
d
) bị tán xạ bởi các vật tán xạ tại y
i
. Bỏ qua sự tán xạ giữa các
mục tiêu, sóng tán xạ u
s
xác định bởi




M
i
i
inc
i
s
yxxutxu
1
),,(),()(



yx
yxik
dyxkH
i
yx

,
với
)1(
0
H
là hàm Hankel bậc không kiểu một. Ta có
,),
1
(),(
2/)1(
.
2/)1(





x
x
Oe
x
e
yx
d






xxOeyut
x
e
xu
M
m
d
yxik
m
inc
m
d
xik
d
s
m


và nền trường xa của sóng tán xạ xác định bởi
.1,),(),(
1
.





hoặc từ một tập con hữu hạn
1
, ,1,










d
j
SNj

.
Phương pháp MUSIC(Viết tắt cho MUltiple-SIgnal-Classification) nổi tiếng trong các
ứng dụng xử lý tín hiệu. Như Devenay đã chỉ ra trong [1], phương pháp này cũng có thể được
dùng cho xử lý ảnh, nghĩa là nó là một phương pháp để xác định một hoặc nhiều mục tiêu
chưa biết (vật tán xạ điểm) từ một ma trận phản hồi đa tỉnh F, F là ma trận vuông cấp N trong
đó Fij là dữ liệu đo được ứng với ănten nhận i và ănten phát j. Trong trường hợp tổng quát, F là
một ma trận đối xứng nhưng không phải là ma trân Hermitean. Hơn nữa, với những giả thiết
về hình học của các vật tán xạ và với dữ liệu chính xác, hạng của ma trận F trùng với số M các
mục tiêu với điều kiện M ≤ N. Chính xác hơn, người ta có thể định nghĩa một vectơ
N
z
C

1
.
Nljet
eyutuF
M
m
yik
md
M
m
yik
l
m
inc
md
lj
jl
m
lj
m
j










và
).(:
md
tdiagT



Khi đó, dễ thấy
F = STS
*
(2)
với S
*
là ma trân liên hợp của S. Từ kết quả cơ bản của đại số tuyến tính, ta có nếu N > M và
nếu vị trí của các y
m
sao cho ma trân S có hạng lớn nhất bằng M thì miền giá trị R(F),R(S) của
F và S trùng nhau.

Với mỗi điểm z

R
d
, chúng ta định nghĩa một vectơ
N
z
C

xác định bởi
Tzik

Định lý 2.1. Cho
1
, ,1,










d
j
SNj

là một tập đếm được các hướng sao cho mọi hàm
giải tích xác định trên
1d
S
bằng không tại


n
n
,

N, thì đồng nhất bằng không. Khi đó, tồn
tại một số tự nhiên N

) của
F.

Chứng minh. Chúng ta định nghĩa toán tử tuyến tính K : C
M
→ C(S) xác định như sau
.,,:))((
1
1
.
Md
M
m
yxik
m
CSxexK
m










Trước hết ta chứng minh K là đơn ánh. Thật vậy, cho λ

C

M
m
mm
yx
1
),(

= 0 với mọi x

R
d
\{y1, . . . , yM}. Cho x dần
đến ym ta suy ra λm = 0(m = 1, . . . ,M). Vậy K là đơn ánh.

Tiếp theo, chúng ta chỉ ra rằng, tồn tại N0

N sao cho
T
N
KKK ))(), ,(),((
0
21




từ C
M
vào
N

l
K

với mọi n = 1, 2, . . . ,
l
N
. Vì C
M

là một không gian Banach nên dãy
 
)(l

có một dãy con hội tụ. Không mất tính tổng quát, ta
giả sử
)(l

→ λ, l → ∞ với
1
1



M
m
m

. Với bất kỳ n

N và l sao cho N

.
)()()(
.,0
))(())(()(




Do đó Kλ(

n

) = 0,

n

N. Vì Kλ là hàm giải tích trên S
d-1
nên theo giả thiết ta có Kλ
= 0. Theo chứng minh phần trên ta có λ = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết
1
1



M
m
m

.

j

, j

J là các giá trị riêng của toán tử K
*
K. Các căn
bậc hai
jj


, j

J được gọi là các giá trị kỳ dị của K. Ở đây J

N có thể là hữu hạn
hoặc J = N.

Định lý 3.2 (Định lý - định nghĩa). Cho K : X→ Y là toán tử tuyến tính compact, K
*
: Y→ X
là toán tử liên hợp của nó, và ν
1
> ν
2
> . . . > 0 là dãy các giá trị kỳ dị dương được sắp xếp
theo thứ tự giảm dần và được đếm với số bội tương ứng. Khi đó tồn tại hệ vectơ trực chuẩn
 

j

jjj


. Phương trình
Kx = y
giải được nếu và chỉ nếu
)(
*
KKery
và


Jj
j
j
yy
2
2
),(


Chứng minh. Xem tài liêu tham khảo [2], Định lý A51, tr.242.

Bây giờ ta quay lại toán tử phản hồi đa tỉnh F xác định bỡi (1). Gọi F1 là toán tử xấp xỉ
của F và (νj , xj , yj : j = 1, . . . ,N) là hệ kỳ dị của F1. Ta định nghĩa






, . .
. , y
M
} lớn hơn rất nhiều so những điểm z

{y
1
, . . . , y
M
}.

Dưới đây, chúng ta minh họa phương pháp qua hai bài toán giả định. Các chương trình
giải số viết trong môi trường maple. Trong hai ví dụ, chúng ta xét bài toán trong R
2
(d = 2) và
chọn một lưới điểm z. Ứng với mỗi điểm z, chúng ta tính
z

và W(z). Các đồ thị của W(z) ứng
với N = 10, k = 2π và các điểm chia đều

j

, j = 1, 2, . . . , N trên đường tròn đơn vị S. Ứng với
mỗi hình là hai đồ thị bên trái và bên phải tương ứng với đồ thị đường viền và đồ thị 3D của
W(z).

Hình 1

Hình 2