Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương pháp quy nạp tóan học
Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng
n N*∀ ∈
. Ta thực hiện hai bước sau:
- Bước 1: Chứng minh P(1) đúng
- Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng
Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng
n N*∀ ∈
.
2. Dãy số
a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N*
- Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau:
+ Dạng khai triển: u
1
, u
2
, u
3
, , u
n
,
với u
1
= u(1), u
2
= u(2), u
n

c) Dãy số bị chặn
Dãy số (u
n
) bị chặn
n
m,M R : n N*,m u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤
- Nếu
n
u M≤
thì (u
n
) bị chặn trên - Nếu
n
u m≥
thì (u
n
) bị chặn dưới.
B. Ví dụ và bài tập
Dạng 1. Chứng minh bằng quy nạp
1. Chứng minh:
a)
2 2 2 2
n(n 1)(2n 1)
1 2 3 n , n N*
6
+ +
+ + + + = ∀ ∈
b)
n(n 1)(n 2)
1.2 2.3 3.4 n(n 1)

+
+ + + =
b)
1.3.5 (2n 1) 1
2.4.6 (2n)
3n 1
−
≤
+
4. Tính tổng:
n
1 1 1
S
1.2 2.3 n(n 1)
= + + +
+
,
n N*∀ ∈
Dạng 2. Xác định một dãy số
- Xác định nhờ khai triển các số hạng
- Nhờ công thức của số hạng tổng quát
- Nhờ công thức truy hồi
5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số:
3 4 5 6 7
1, , , , ,
6
2 2 3 3 5 5 6 6+ + + +
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
6. Cho dãy số có số hạng tổng quát là:

Dạng 3. Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số
- Xét hiệu số: u
n+1
– u
n
- Hoặc xét tỉ số:
n 1
n
u
u
+
(nếu các số hạng đều dương)
8. Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau:
a)
n
2n 1
u
n 1
+
=
+
b)
n
2n
u
2n 1
=
−
c)
n

 ÷
 
Dạng 4. Khảo sát tính bị chặn của dãy số
9. Xét tính bị chặn của dãy số:
a)
n
2n 1
u
n 1
+
=
+
b)
n
2n
u
2n 1
=
−
c)
n
1 n
u cos
2 2
π
 
=
 ÷
 
10. Cho dãy số (u

n
n 2
1
u 1
2
−
= +
b) Chứng minh dãy số (u
n
) giảm và bị chặn.
12. Chứng minh dãy số:
n
1 1 1
u
1.2 2.3 n(n 1)
= + + +
+
tăng và bị chặn trên
13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số:
n
2 2 2
1 1 1
u 1
2 3 n
= + + + +
14. Chứng minh dãy số sau bị chặn:
n
n dau can
u 2 2 2= + + +
1 4 44 2 4 4 43

 ÷ ÷  ÷
    
Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email:
Bài 2. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa
a) Cấp số cộng: (u
n
) là cấp số cộng với công sai d
n 1 n
u u d, n N*
+
⇔ = + ∀ ∈
b) Cấp số nhân: (u
n
) là cấp số nhân với công bội q
n 1 n
u u .q, n N*
+
⇔ = ∀ ∈
2. Số hạng tổng quát:
a) Cấp số cộng:
n 1
u u (n 1)d, n 2= + − ∀ ≥
b) Cấp số nhân:
n 1
n 1
u u .q , n 2
−

= ≠
 ÷
−
 
B. Ví dụ và bài tập
1. Cho 3 số theo thứ tự:
4
2, 6, 3
.
a) Chứng minh 3 số trên tạo thành cấp số nhân mà không tạo thành cấp số cộng
b) Phải thêm vào số hạng thứ hai một số x bằng bao nhiêu để được cấp số cộng?
2. Cho dãy số xác định như sau:
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4
u 1 2 ;u 2 3 ;u 3 4 ;u 4 5= − + = − + = − + = − +
. Tính u
n
.
3. Tìm 3 số hạng tạo thành cấp số cộng biết tổng 3 số đó bằng -3 và tổng bình phương của chúng bằng
35
4. Tìm 3 số tạo thành cấp số nhân biết tích và tổng của chúng lần lượt bằng
1
64
và
7
8
5. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng 1 và số hạng 2
thì ta được cấp số nhân.
6. Tính tổng:
2 2 2 2 2 2 2 2

n
) biết: S
10
= 170 và S
12
= 252
b) Xác định cấp số nhân (v
n
) biết: S
4
= 40 và S
8
= 680
10. a) Xác định cấp số cộng (u
n
) biết: u
20
=
1
2
và S
20
= 105
b) Tính tổng S
8
của cấp số nhân (v
n
) biết: v
8
= 128 và công bội q = - 2