§1.
Tiết 37

CÁI RIÊNG

CỤ THỂ

CÁI CHUNG

TỔNG QUÁT
PHÉP QUY NẠP
PHÉP SUY DiỄN
PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN
PHÉP SUY DiỄN
PHÉP QUY NẠP
“Quy nạp và suy diễn
gắn chặt với nhau như
phân tích và tổng hợp”
PHÉP QUY NẠP
Hãy cùng tìm hiểu
về phương pháp
quy nạp Toán học
Các em cần phân biệt
hai kiểu suy luận và sự
liên hệ giữa hai kiểu
suy luận đó
Ph. Ăng-ghen
“Quy nạp và suy
diễn gắn chặt với
nhau như phân
tích và tổng hợp”

n ? 3n+1
1
2
3
4
5
3
n
n ? n
1
2
3
4
5
2
n
b. Với mọi n∈N* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là
đúng hay sai. vì ta không thể kiểm tra hết với mọi n∈N*
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
<
>

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bước 1:
Bước 2:
Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất
kỳ n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp).
I. Phương pháp quy nạp Toán học:
Chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.
Bước3 :
Các em
chép phần
này vào
vở
Chứng minh rằng với n∈N* thì :
1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n
2
(1)
Giải:
1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 1
2
= 1 .Vậy (1) đúng.

2) Đặt VT = S
n
. Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:
S
k
= 1 + 3 + 5 + . . . + (2k –1) = k
2
(gt quy nạp)

16 = 4
2
25 = 5
2
= 1
2
+ 3
+ 5 + 7 + 9
n
+ +
(2n – 1) = n
2
2.2
1.1
3.3
4.4
5.5
.n
Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈N*
Chứng minh : 1 + 3 + 5 + 7+
…
+ (2n – 1) = n
2
Quan sát
phần minh
họa cho ví
dụ 1
Chứng minh rằng với n∈N* thì n
3
– n chia hết cho 3.

2
+3k +1- k -1
= (k
3
- k) +3(k
2
+k)
= A
k
+ 3(k
2
+k)
A
k
…
3 và 3(k
2
+k)

3 nên A
k+1
…
3 .
Vậy: A
n
= n
3
– n chia hết cho 3 với mọi n∈N*.
Ví dụ 2:
Ví dụ 2

Thật vậy:
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 13
n
– 1 6 (2)
…
u
k+1
= 13
k+1
– 1 = 13
k
.13 –1
= 13
k
.(12+1) – 1

Với n = 1 ta có: u
1
= 13
1
–1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u
k
= 13
k
– 1 6
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là : u

Chú ý theo
dõi bài giải
Thầy mời nhóm 1
cử đại diện trả lời
Thật vậy:
CMR : Với mọi n∈N* có u
n
= 10
n
– 4 3 (3)
…
u
k+1
= 10
k+1
– 4 = 10
k
.10 – 4
= 10
k
(1+9) – 4
…

Với n = 1 ta có: u
1
= 10
1
–1 = 9 3 (Mệnh đề (3) đúng)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u

k
3
…
Chú ý theo
dõi bài giải
Thầy mời nhóm 2
cử đại diện trả lời
Chú ý:
Bài tập số 3 ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất
đẳng thức : a) 3
n
> 3n + 1 b) 2
n+1
> 2n + 3
•
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2
•
Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên
bất kỳ n = k ≥ 2 (giả thiết quy nạp)
•
Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với
n = k+1 .
•
Bài tập này các em sẽ được hướng dẫn trong tiết luyện tập.
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số
tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì :
•
Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p .