I, Các công thức về chia hết đáng chú ý:
Nếu và thì .
Nếu và thì
II, Các tính chất tiêu biểu của số chính phương.
Số chính phương có tận cùng là .
Số chính phương chia hết cho thì chia hết
Tích 2 số nguyên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số nguyên đó bằng 0.
Nếu 2 số nguyên có UCLN là 1 và có tích là 1 số chính phương thì mỗi số đó đều chính
phương.
Số chính phương chia 3 dư 0,1. Số chính phương lẻ chia 4 hay 8 đều dư 1.
III, Các phương pháp giải PTNN:
1, Đưa về PT ước số:
VD 1: Giải PTNN sau: .
Lời giải: .
Vậy . Thay vào tìm .
Lưu ý, nếu ta đưa được về dạng thì để rút bớt các TH, người ta thường đưa
về khi đó với nhận xét: và
cùng tính chẵn lẻ, ta sẽ rút bớt TH xảy ra.
2,Tách giá trị nguyên :
VD 2: Giải PTNN: .
Lời giải:
Nên y nguyên khi . Thay vào tìm .
3,Sử dụng biệt thức Delta ( ).
VD 3:Giải PTNN : .
Lời giải:
.
PT có nghiệm khi
Phương pháp 1 Phân tích
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

*Phân tích thành tổng các bình phương, lập phương :

Ví dụ như bài toán cho dữ kiện a+b+c=0 thì ta có thể viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b)
rồi áp dụng vào bài toán
Phương Pháp 7 : Tích 2 số tự nhiên liên tiếp là 1 số chính phương thì 1 trong 2 số có 1
số bằng 0.
Vd : ( )
=> hoặc là hoặc là
Bài tập áp dụng :
1/ ( )
2/ (
)
Nên . Thay vào tìm .
Trong nhiều TH ta lại ko xét mà ta xét : PT có nghiệm nguyên khi là số chính
phương.Rồi đưa về PT ước số.
VD 4: Giải PTNN: .
Lời giải:
Xét : . Phương trình có nghiệm
nguyên khi là số chính phương.Hay:
. Đây ;là PT ước số, ta dễ tìm đựoc GT của
rồi tìm .
4,Đưa về tổng các bình phương.
VD 4: Giải PTNN : .
Lời giải:
Xét các TH rồi tìm ra x,y.
5,Sử dụng tính chất về chẵn lẻ, chia hết.
VD 5: Giải PTNN : .
Lời giải :
.
lẻ, nên . Thay vào:
chẵn nên . Lại thay vào:
( vô lí vì VT là số chẵn, VP là số