Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Phần I: hình học giải tích trong mặt phẳng
ch ơng I: đ ờng thẳng
I) các khái niệm cơ bản:
Bài1: Cho véctơ
m
= (1; 2)
n
= (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau:
m
và
n
; 3
m
+
n
và
m
- 2
n
2) Tìm a và b sao cho a
m
+ b
n

n

Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)
1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ABC.






3
32
0;
.
Bài6: Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lợt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đờng thẳng d.
3) Viết phơng trình đờng thẳng d' đối xứng với d qua O.
Bài7: Cho ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phơng trình các cạnh ABC.
Nguyn Ngc Ton 0943898
1
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
2) Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân.
Bài8: Cho ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến BI của ABC.
2) Lập phơng trình đờng thẳng qua A và BI.
III) chùm đ ờng thẳng:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): x + 3y - 9
= 0 và (d
2
): 3x - 2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4).

): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d
1
) và (d
2
).
3) Viết phơng trình đờng phân giác của các góc hợp bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài3: Cho ABC, các cạnh có phơng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ABC.
2) Tìm phơng trình đờng phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC.
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1). Lập phơng trình đờng thẳng qua A sao cho khoảng
cách từ B tới đờng thẳng đó bằng 1.
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đờng thẳng (d
1
): x + y = 0; (d
2
): x - y + 1 = 0. Gọi (d) là đờng
thẳng qua P cắt (d
1
), (d

Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A và B
là nhỏ nhất với:
1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phơng trình: x - 2y - 2
= 0, 2x + 5y + 3 = 0. Hãy xác định toạ độ các đỉnh ABC.
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần t thứ
nhất.
2) Viết phơng trình 2 đờng chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông.
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có
tâm I






0
2
1
;
, phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các
đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ABC vuông tại A, ph-
ơng trình đờng thẳng BC là:
033 = yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán
kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.
ch ơng II: đ ờng bậc hai

) (C
2
).
Bµi5: 1) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua ®iÓm A(1; -2) vµ c¸c giao cña ®êng th¼ng (d):
x - 7y + 10 = 0 víi ®êng trßn (S): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 20 = 0.
2) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn qua giao ®iÓm cña hai ®êng trßn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x +
4y - 4 = 0 vµ (C
2
): x
2
+ y
2
+ 2x - 2y - 14 = 0 vµ ®i qua M(0; 1)
3) LËp ph¬ng tr×nh ®êng trßn qua giao ®iÓm cña hai ®êng trßn (C
1
): x
2
+ y
2
- 2x +

+ y
2
- 1 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 4x - 4y - 1 = 0
2) (C
1
): x
2
+ y
2
- 6x + 5 = 0 (C
2
): x
2
+ y
2
- 12x - 6y + 44 = 0
Bµi4: Cho ®êng trßn (C): x
2
+ y
2
= 4 vµ mét ®iÓm M(2; 4). Tõ M kÎ 2 tiÕp tuyÕn MT
1
,
MT

1) Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6, trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 6. Tiêu cự e = 4.
3) Độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e =
8
5
, hai tiêu điểm thuộc Ox.
4) Đi qua M
( )
233 ;
và N
( )
323;
. Tìm M (E) sao cho MF
2
= 2MF
1

2) tiếp tuyến của elíp, quỹ tích điểm
Bài1: Cho (E):
1
49
2
2
=+
y
x
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (): x - y + 6 = 0

2
2
=+
b
y
a
x
nhận các đờng thẳng (d
1
): x - 2y - 4 = 0 và (d
2
): 2x +
3
y - 5
= 0 làm tiếp tuyến.
1) Xác định a
2
và b
2
, từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4).
Bài4: Cho (E):
1
1224
2
2
=+
y
x

2
2
2
=+
b
y
a
x
, sao cho mỗi tiêu
điểm F
1
, F
2
của (E) nhìn đoạn MN dới một góc vuông. Hãy xác định vị trí của M, N trên
tiếp tuyến ấy.
Bài8: Cho Elíp (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau tới (E).
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình:
1

luôn cắt elíp (E) tại hai
điểm phân biệt.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3)
Bài12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E):
1
14
2
2
=+
y
x
, M(-2; 3),
N(5; n). Viết phơng trình các đờng thẳng d
1
, d
2
qua M và tiếp xúc với (E). Tìm n để trong
số các tiếp tuyến của (E) đi qua N và có một tiếp tuyến song song với d
1
hoặc d
2

Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F
1
(
03;
);
( )
03
2

tiếp tuyến chuyển động của elíp. D cắt các tiếp tuyến của elíp tại A và A' ở M và M'.
1) Chứng minh: AM.A'M' không đổi.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ F và F' tới D không đổi.
3) Tìm quỹ tích giao điểm N của A'M và AM'.
4) Chứng minh rằng khi D chuyển động đờng tròn đờng kính MM' luôn đi qua các
tiêu điểm F và F'.
IV) hypebol:
1) lập phơng trình hypebol
Bài1: Cho Hypebol (H): 25x
2
- 20y
2
= 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x =
8
và tính khoảng cách
từ điểm đó đến hai tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đờng thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol
trên.
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x
2
- 9y
2
= -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phơng trình đờng tròn (C) đờng kính F
1
F
2

Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của Hypebol (H):
1
169
2
2
=
y
x
biết tiếp tuyến tạo với
đờng thẳng (d): x + 2y = 0 một góc 45
0
.
Bài3: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hai Hypebol:
(H
1
):
1
45
2
2
=
y
x
(H
2
)
1
54
2
2

Bài5: Cho Hepebol (H):
1
2
2
2
2
=
b
y
a
x
.
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) nào đó nằm trên (H) cắt hai đờng tiệm cận
tại A và B. Tính toạ độ của A và B.
2) CMR: M
0
là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M
0
.
V) parabol:
Bài1: Cho (P): y
2
= 8x. Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.

1
49
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y
2
= 2x
4) Elíp (E):
1
94
2
2
=+
y
x
và Parabol (P): y
2
= 8x
5) Hypebol (H):
1
94
2
2
=
y
x
và Parabol (P): y

32
2

+
=

=
z
y
xNguyn Ngc Ton 0943898
9
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
Bài2: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):



=+++
=++
05
010632
zyx
zyx
(P): y + 4z + 17 = 0
b) (d):



=+
=+
032
022
zx
yx

(d
2
):



=+
=++
0642
0104
zyx
zyx

Bài4: Cho (d):



=+++
=++
0732
0143
zyx
zyx

1
) và (d
2
)
(d
1
):
z
y
x
=
+
=

1
2
8
1
(d
2
):



=+
=++
01
02
x
zyx

(d
1
):





=
=
+=
tz
ty
tx
2
1
2
(t R) (d
2
):



=
=+
03
022
y
zx


1
1
3
23
tz
ty
tx
(t,
1
t
R)
Nguyn Ngc Ton 0943898
10
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
CMR: (d
1
) // (d
2
). Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d
1
) và (d
2
). Tính khoảng cách
giữa (d
1
) và (d
2
)
Bài6: Cho hai đờng thẳng (d
1

2
)
Bài7: Cho hai đờng thẳng (d
1
):





=
=
+=
tz
ty
tx
2
23
31
(t R) (d
2
):



=+
=
01225
0823
zx

1) CMR: (d
1
) chéo (d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2
)
3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d
1
), mặt phẳng (Q) chứa (d
2
) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phơng trình đờng thẳng (d) // Oz và cắt (d
1
) và (d
2
).
Bài9: Cho (d):



=+
=+
01523
05
zyx
zyx

zyx
zyx
(P): x - 2y + z - 3 = 0
1) Tìm điểm đối xứng của A(3; -1; 2) qua d.
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng (P).
Bài15: Cho A(-1; 3; 2) ; B(4; 0; -3) ; C(5; -1; 4) ; D(0; 6; 1)
1) Viết phơng trình tham số của BC. Hạ AH BC. Tìm toạ độ điểm H.
2) Viết phơng trình tổng quát của (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(BCD).
Bài16: Cho A(2; 3; -1) (d):
1
3
42

==
z
y
x
Lập phơng trình đờng thẳng qua A (d) cắt (d).
Bài17: Cho A(-1; 3; -2) ; B(-9; 4; 9) và mặt phẳng (P): 2x - y + z + 1 = 0.
Tìm điểm M (P) sao cho: AM + BM đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài18: Cho A(1; 1; 0) ; B(3; -1; 4) ; (d):
2
2
1
1
1
1 +
=




=+
=+
032
0823
yx
zyx
(Q): 5x + 2y + 2z - 7 = 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d) và tiếp xúc với (S).
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (Q).
Nguyn Ngc Ton 0943898
12
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
VI) ph ơng pháp giải tích giải các bài toán hình học không gian:
Bài1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và vuông
góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD).
2) M, N lần lợt cà trung điểm của AB, AD. CMR: MN // (SBD) và tính khoảng cách
từ MN đến (SBD).
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Biết
rằng số đo góc nhị diện (B, SC, D) bằng 150
0
.
1) Tính SA.
2) Tính số đo của các góc phẳng nhị diện: (S, BC, A) ; (S, BD, A) và (SAB, SCD).
3) Tính khoảng cách giữa SC và BD.
4) Tính khoảng cách giữa AC và SD.
Bài3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA = a, AD = 2a;
SA (ABCD).

Bài8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đờng tròn đờng
kính AB = 2a, SA = a
6
và vuông góc với đáy.
Nguyn Ngc Ton 0943898
13
Cỏc Bi tp Hỡnh Hc Gii tớch Phng v Khụng gian
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
3) Tính khoảng cách từ A, D đến mặt phẳng (SBC).
4) Tính khoảng cách từ đờng thẳng AB đến mặt phẳng (SCD).
5) Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng song song với
mặt phẳng (SAB) và cách (SAB) một khoảng bằng
4
3a
.
Bài9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a và vuông
góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).
2) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SMN) và (SBC).
3) Tính khoảng cách giữa AM và SC.
4) Tính khoảng cách giữa SM và BC.
Bài10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại B với AB = a, SA =
a
2
và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AB. tính độ dài đoạn vuông góc chung
của SM và BC.
Bài11: Cho ABC có đờng cao AH = a
3
, đáy BC = 3a, BC chứa trong mặt phẳng (P).