TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG


== ¹
ëû
uuurr
rrÞ

Qyz
():23110
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2),
2330
Pxyz
():
+++=
. ĐS:
Qxyz
():220
-+-=Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
AB
(2;1;3),(1;2;1)
-
và song song với đường thẳng
xt

Þ

nBA
nu
ì
^
í
^
î
uur
r
rr

Þ
chọn nBAu
,(10;4;1)
éù
==
ëû
uur
rrÞ
Phương trình của (P):
xyz
104190
-+-=
.


()
.

·
Chứng tỏ (d
1
) // (d
2
). (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
xyzxyz
222
26420
++-+ =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
véc tơ
v
(1;6;2)
=
r
, vuông góc với mặt phẳng
xyz
():4110
a
++-=
và tiếp xúc với (S).

·
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của

m
21
3
é
=-
Û
ê
=
ë
.
Vậy: (P):
xyz
2230
-++=
hoặc (P):
xyz
22210
-+-=
.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
xyz
d
1
1
():
123
+
==


qua M
2
(0;1;4)
và có u
2
(1;2;5)
=
r
.
uu
12
;(4;8;4)0
éù
= ¹
ëû
r
rr
, MM
12
(0;2;4)
=
uuuuuur
Þ
uuMM
1212
;.0
éù
=
ëû
uuuuuur


Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
xyz
33
221

==
và mặt cầu
(S): xyzxyz
222
22420
++ +=
. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

·
(S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP
u
(2;2;1)
=
r
.
(P) // d, Ox
Þ
(P) có VTPT
[
]
nui

D
325
-=
Û

D
D
325
325
é
=+
ê
=-
ëÞ
(P): yz
23250
-++=
hoặc (P): yz
23250
-+-=
.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxy
222
2440
+++ =
và


QP
QPnnACCA
()().00
^Û=Û+=Û=-
rr
(**)
Từ (*), (**)
Þ
BAABBAAB
2222
53287100
-=+Û-+=

Û

ABAB
274
=Ú=-·
Với
AB
2
=
. Chọn B = 1, A = 2, C = –2
Þ
PT (Q):
xyz

hoặc
Qxyz
():1110250
-+-=
.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): xyzxyz
222
–242–30
++++=
.
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính
r
3
=
.

·
(S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox
Þ
(P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0
Û
b = –2a (a
¹
0)
Þ
(P): y – 2z = 0.

, bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)
+++=++¹
.
Chọn
MNd
(2;0;2),(3;1;0)
-Î
.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 3

Ta có:
MP
NP
dIPRr
22
()
()
(,())
ì
Î
ï
Î
í
ï
=-
î

1
:
211
D
-
==
-
,
xyz
2
1
:
111
D
-
==

và mặt cầu (S): xyzxyz
222
–224–30
++++=
. Viết phương trình
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D
1
và D
1
.

·
(P): yz

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6
p
nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (
b
) là h = Rr
2222
534
-=-=

Do đó
D
D
D
D (loaïi)
222
2.12(2)3
7
4512
17
22(1)
+ +
é
=-
=Û-+=Û
ê
=
ë
++-


Trang 4

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q):
xyz
0
++=
và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng
2
.

·
PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
AxByCz
0
++=
(với ABC
222
0
++¹
).

·
Vì (P)
^
(Q) nên:
ABC
1.1.1.0

2
850
+=

Û

B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë·
Từ (3): B = 0
Þ
C = –A. Chọn A = 1, C = –1
Þ
(P):
xz
0
-=·
Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8

D
đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP
u
(1;1;4)
=
r

Ta có:
abc
P
ab
dAPd
abc
222
40
()
5
4
(;())
ì
++=
ï
ì
D
+
Û
íí
=
=
î

48160
-+-=
.

·
Với
ac
2
=-
. Chọn
acb
2,12
==-Þ=

Þ
Phương trình (P):
xyz
2240
+-+=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
Md
1
:;(0;3;2),3
114
D
-
==-=

điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

·
(d) đi qua điểm
M
(0;1;1)
-
và có VTCT
u
(1;2;0)
=
r
. Gọi
nabc
(;;)
=
r
với abc
222
0
++¹

là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P):
axbyczaxbyczbc
(0)(1)(1)00
-+++-=Û+++-=
(1).
Do (P) chứa (d) nên:
unabab


Þ

ac
2,2
==-

Þ
PT mặt phẳng (P):
xyz
2210
+=
.

Trn S Tựng PP to trong khụng gian
Trang 5

Cõu 15. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im
MNI
(1;1;0),(0;0;2),(1;1;1)

. Vit
phng trỡnh mt phng (P) qua A v B, ng thi khong cỏch t I n (P) bng
3
.

ã
PT mt phng (P) cú dng: axbyczdabc
222
0(0)

+ Vi (1)
ị
PT mt phng (P):
xyz
20
-++=

+ Vi (2)
ị
PT mt phng (P):
xyz
7520
+++=
.

Cõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho t din ABCD vi
A
(1;1;2)
-
,
B
(1;3;0)
,
C
(3;4;1)
-
,
D
(1;2;1)
. Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A, B sao cho khong cỏch t C

222222
20
30
3a42
ỡ
-++=
ù
++=
ù
ớ
-++++++
=
ù
ù
++++
ợ

bacada
cabada
2,4,7
2,,4
ộ
===-
ờ
===-
ở


():427150
++-=
hoc
Pxz
():2350
+-=
.

Cõu 17. Trong khụng gian vi h trc ta
Oxyz
, cho cỏc im
A
(1;2;3)
,
B
(0;1;2)
-
,
C
(1;1;1)
. Vit phng trỡnh mt phng
P
()
i qua
A
v gc ta
O
sao cho khong cỏch
t
B

(1) v
dBPdCPbcabc
(,())(,())2
=-+=++
(2)
T (1) v (2)
ị

b
0
=
hoc
c
0
=
.

ã
Vi
b
0
=
thỡ
ac
3
=-

ị

Pxz

-+=
.

Cõu 18. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng
dd
12
,
ln lt cú phng
trỡnh
xyz
d
1
223
:
213

==,
xyz
d
2
121
:
214

==
-
. Vit phng trỡnh mt phng cỏch
u hai ng thng
dd
12

12
,
nờn (P) song song vi
dd
12
,

ị

Pdd
nuu
12
,(7;2;4)
ộự
==
ởỷ
rrrị
PT mt phng (P) cú dng:
xyzd
7240
+=

PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 6

Do (P) cách đều
dd

(0;1;2)
-
,
B
(1;0;3)
và tiếp xúc với mặt cầu (S): xyz
222
(1)(2)(1)2
-+-++=
.

·
(S) có tâm
I
(1;2;1)
-
, bán kính R
2
= .
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)
+++=++¹

Ta có:
AP
BP
dIPR
()
()

Þ
Phương trình của (P):
xyz
83570
+=Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
phương trình:
xyz
11
213

== . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

·
Gọi H là hình chiếu của A trên d
Þ
d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có
AHHI
³
Þ
HI lớn nhất khi
AI
º
. Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
và nhận
AH

góc của I trên (P). Ta luôn có
IHIA
£
và
IHAH
^
.
Mặt khác
ddPdIPIH
HP
(,())(,())
()
ì
==
í
Î
î

Trong (P),
IHIA
£
; do đó
maxIH = IAHA
Ûº
. Lúc này (P) ở vị trí (P
0
)
^
IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P


== và điểm
A
(2;5;3)
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.

·
PT mặt phẳng (P) có dạng: axbyczdabc
222
0(0)
+++=++¹
.
(P) có VTPT
nabc
(;;)
=
r
, d đi qua điểm
M
(1;0;2)
và có VTCP
u
(2;1;2)
=
r
.
Vì (P)
É
d nên

í
=+
î
. Xét 2 trường hợp:
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 7

TH1: Nếu b = 0 thì (P):
xz
10
-+=
. Khi đó:
dAP
(,())0
=
.
TH2: Nếu b
¹
0. Chọn
b
1
=
ta được (P):
axyaza
22(21)220
+-+++=
.
Khi đó:
dAP
aa

a)
xyz
dA
112
:,(5;1;6)
215
-+-
== . ĐS:
Pxyz
():210
+-+=

b)
xyz
dA
12
:,(1;4;2)
112
-+
==
-
. ĐS:
Pxyz
():5134210
+-+=Câu 23. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm
M
(0;1;2)

Þ++++-=
; dKP
BCBC
B
(,())
22
424
=
++·
Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

·
Nếu
B
0
¹
thì
B
dKP
BCBC
C
B
222
11
(,())
2
424PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 8

Dng 4: Vit phng trỡnh mt phng liờn quan n gúc

Cõu 24. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (a) cha ng thng ():
xyz
1
112
-
==

v to vi mt phng (P) :
xyz
2210
+=
mt gúc 60
0
. Tỡm ta giao
im M ca mt phng (a) vi trc Oz.

ã
() qua im A(1;0;0) v cú VTCP u
(1;1;2)
=
ur

( )
nnmm
mm
2
2
111
cos,2410
22
245
Â
==-+=
-+
rr

m
22
=- hay m
22
=+
Kt lun : M
(0;0;22)
- hay M
(0;0;22)
+

Cõu 25. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng
Pxyz
():52510
-+-=
v

0
222
482
cos((),())cos45
2
9

==
++
(2)
T (1) v (2)
ị

ac
aacc
ca
22
760
7
ộ
=-
+-=
ờ
=
ởã
Vi
ac

a) Vi PxyzQOyzM
0
():20,()(),(2;3;1),45
=-=
a
.
S:
Rxy
():10
++=
hoc
Rxyz
():534230
-+-=Cõu 26. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im
AB
(1;2;3),(2;1;6)

v mt
phng
Pxyz
():230
++-=
. Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha AB v to vi mt
phng (P) mt gúc a tho món
3
cos
6


abcd
bcd
abc
abc
222
230
2a60
23
6
141
ỡ
-+-+=
ù
+=
ù
ớ
++
ù
=
ù
++++
ợ


abcbdb
abcdb
4,3,15
,0,
ộ

hoc (Q):
xyz
210
+=
.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 9

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xyz
d
xyz
30
:
240
ì
++-=
í
++-=
î
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
0
60
a
= .

·
ĐS: Pxyz
():2220

D
một góc
0
30
=
a
.

·
Đáp số: (P):
xyz
511240
+++=
hoặc (P):
xyz
220
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
xyz
1
2
:
111
D
-
==
-
,

D
-+
==
-
,
xyz
2
21
:
111
D
-+
==
-
,
0
30
=
a
.
ĐS: (P): xyz
(18114)21(152114)(3114)0
++++ =

hoặc (P): xyz
(18114)21(152114)(3114)0
-++ +=Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

ï
í
ï
=
ï
î

Û

ab
cb
2
ì
=
í
=
î

PT mặt phẳng (P): xyz
2(1)(2)(3)0
-+-±-=
hoặc xyz
2(1)(2)(3)0
+-±-=Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):
xyz
250
+-+=

()
()74
ìì
Î=
Þ
íí
Î=+
îîÞ
(P):
axbyabzab
(2)740
++ ++=

Þ

ab
aabb
22
3
cos.
6
542
a
+
=
++


3
cos.
6
542
a
+
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
. t
b
x
a
=
v fx
2
()cos
a
=
Xột hm s
xx
fx
xx
2
2
921
().
6

12
:
121
-+
==
-
. S:
Pxyz
():25 30
+++=
.
b) Vi
xyz
QOxyd
12
()(),:
112
-+
==
-
. S:
Pxyz
():30
-+-=
.
c) Vi
Qxyz
():220
=
,


ã
S:
Pyz
():40
-+=
.
Cõu hi tng t:
a)
MNQOxy
(1;2;1),(1;1;2),()()

. S:
Pxyz
():63570
++-=
.

Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ng thng
xt
dyt
zt
1
:2
2
ỡ
=-
ù
=-+
ớ

ị
ớớ
ẻ=-+
ợợ

ị
(P):
ab
axbyzab
20
2
-
++-+=
.

ị

b
abab
22
2
sin
552
a
=
+-
.
TH1: Nu b = 0 thỡ
0
0

xx
2
4
()
525
=
-+
. Da vo BBT, ta c fxx
51
max()
65
==

ị

0
0
>
a
.
Vy
a
ln nht khi
a
b
1
5
=
. Chn
abcd

+-
==
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
d
1
sao cho góc giữa mặt phẳng
(P) và đường thẳng
d
2
là lớn nhất.

·

d
1
đi qua
M
(1;2;0)
-
và có VTCP
u
(1;2;1)
=-
r
.Vì
dP
1
()
Ì nên

AABB
AABB
2
22
22
431(43)
sin.
3
245
3.245
++
==
++
++
a

TH1: Với B = 0 thì sin
22
3
=
a

TH2: Với B
¹
0. Đặt
A
t
B
=
, ta được:

= khi
t
7
=-

Û

A
B
7
=-

Khi đó f
53
sin(7)
9
=-=
a
.
So sánh TH1 và TH2
Þ

a
lớn nhất với
53
sin
9
=
a
khi

ĐS:
Pxyz
():210
++-=
.

Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q):
xyz
220
-++=
và điểm
A
(1;1;1)
-
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

·
ĐS:
Pyz
():0
+=
hoặc
Pxyz
():2560
++-=
.

=-=-
uuruur
uuruur
ị
abc
bc
ac
456
1
560
460
ỡ
++=
ù
ù
ớ
-+=
ù
-+=
ù
ợ
ị abc
777777
;;
456
===
Vy phng trỡnh mt phng (P):
xyz
456770
++-=

1
2
++=



bc
bc
2
+= .
Ta cú
ABb
(2;;0)
-
uuur
,
ACc
(2;0;).
-
uuur
Khi ú
Sbcbc
222
()
=+++ .
Vỡ
bcbcbcbc
222
2;()4
++ nờn

P
():
xyz
40
+++=
.
Vit phng trỡnh mt phng (Q) song song vi (P) v (Q) ct hai tia
Ox
,

Oy
ti 2 im B,
C sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng 6.

ã
Vỡ (Q) // (P) nờn (Q):
xyzdd
0(4)
+++=ạ
. Gi s
BQOxCQOy
(),()
=ầ=ầị

BdCdd
(;0;0),(0;;0)(0)
<

(3;0;0),(1;2;1)
. Vit phng trỡnh mt
phng (P) qua A, B v ct trc Oz ti M sao cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
9
2
.

ã
S:
Pxy
():22z30
+ =
.
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 13

Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

Câu 40. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M
(9;1;1)

(1);
OABC
Vabc
1
6
= (2)
(1)
Û

abcbcacab
9
=++
≥
abc
2
3
39()

Û
abcabcabc
32
()27.9()243
³Û³
Dấu "=" xảy ra
Û

a
bcacab
b
c

Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
(1;2;4)
. ĐS:
xyz
P
():1
3612
++=Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M
(1;2;3)
, cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
OAOBOC
222
111
++
có giá trị
nhỏ nhất.

·
ĐS:
Pxyz
():23140
++-=
.


112
:
213
+
== v mt
phng
P
:

xyz
10
=
. Vit phng trỡnh ng thng D i qua
A
(1;1;2)
-
, song song
vi mt phng
P
()
v vuụng gúc vi ng thng
d
.

ã

dP
uun
;(2;5;3)
ộự

;
zt
2
=+
(
tR
ẻ
) v mt phng (P):
xyz
2230
=
.Vit phng
trỡnh tham s ca ng thng D nm trờn (P), ct v vuụng gúc vi (d).

ã
Gi A = d
ầ
(P)
ị

A
(1;3;1)
-
.
Phng trỡnh mp(Q) qua A v vuụng gúc vi d:
xyz
260
-+++=

D
. Gi s
Httt
(12;1;)
+-+-

ị

MHttt
(21;2;)
=
uuuur
.

MHu
D
^
uuuur
r



ttt
2(21)(2)()0
-+ =


t
2


Cõu 4. Trong khụng gian vi h trc to Oxyz, cho mt phng (P): x + 2y 2z + 1 = 0 v hai
im A(1;7; 1), B(4;2;0). Lp phng trỡnh ng thng (D) l hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng AB trờn (P).

ã
Gi (Q) l mt phng qua A, B v vuụng gúc vi (P)
ị
(Q): 8x + 7x + 11z 46 = 0.
(D) = (P)
ầ
(Q) suy ra phng trỡnh (D).

Cõu 5. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ca
ng thng
xz
d
xyz
20
:
3230
ỡ
-=
ớ
-+-=
ợ
trờn mt phng
Pxyz
:250
-++=


ị
A
11
4;;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Ta cú
BdBP
33
0;;0,0;;0()
22
ổửổử
-ẻ-ẽ
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Gi
Hxyz
(;;)
l hỡnh chiu vuụng gúc ca B trờn (P). Ta tỡm c H
474
;;
363
ổử

ỗữ
ốứ

13
2
210
ỡ
=+
ù
=+
ớ
ù
=+
ợ
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xyz
d
112
:
213
+
==,
Pxyz
():3250
-+-=
. S:
xm
ym
zm
123
:229

a
) l mt phng trung
trc cnh OC; I tõm mt cu ngoi tip t din OABC. Ta cú:
I
()
D
=ầ
a

ị
I
13
;;1
22
ổử
ỗữ
ốứ
.
Gi J tõm ng trũn ngoi tip
D
ABC thỡ IJ
^
(ABC) , nờn d chớnh l ng thng IJ .

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
zt
1


PP to trong khụng gian Trn S Tựng
Trang 16

Dng 2: Vit phng trỡnh ng thng liờn quan n mt ng thng khỏc

Cõu 7. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2; 1; 0) v ng thng d cú phng
trỡnh
xyz
d
11
:
211
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ca ng thng D i qua im M, ct v
vuụng gúc vi ng thng d v tỡm to im MÂ i xng vi M qua d.


MHttt
(21;2;)
= +-
uuuur

Ta cú MH
^
d

MHu
.0
=
uuuur
r


t
2
3
=

ị
H
712
;;
333
ổử

ỗữ

854
;;
333
ổử
Â

ỗữ
ốứ
.

Cõu 8. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng
xyz
d
11
:
121
-+
==
-
v hai im
A
(1;1;2)
-
,
B
(1;0;2)
-
. Vit phng trỡnh ng thng D qua A, vuụng gúc vi d sao cho khong cỏch
t B ti D l nh nht.


r

ị
H
182
;;
333
ổử
ỗữ
ốứị
uAH
3(2;5;8)
D
==-
uuur
r

ị
Phng trỡnh
D
:
xyz
112
258
+
==
-

=-+ =
uuuruuur

Gi H l hỡnh chiu ca B trờn d. Khi ú
dBdBHBA
(,)
=Ê
. Vy
dBd
(,)
ln nht bng BA

HA

AMABAMAB
.0
^=
uuuruuur
tttt
2(22)3(32)402
-+ +==
M
(3;6;3)
ị-

ị
PT ng thng
xyz
d
121

2
ỡ
=-+
ù
=-
ớ
ù
=
ợ
. im C
ẻ

D
nờn
Cttt
(12;1;2)
-+-
.
ACtttAB
(22;4;2);(2;2;6)
=-+ =-
uuuruuur
;
ACABttt
,(242;128;122)
ộự
=
ởỷ
uuuruuur


hay C(1; 0; 2)
ị
Phng trỡnh BC:
xyz
336
234

==

.

Cõu 11. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho ng thng
xyz
d
122
:
322
+
==
-
v mt
phng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lp phng trỡnh ng thng D song song vi mt phng
(P), i qua M(2; 2; 4) v ct ng thng (d).

ã
ng thng (d) cú PTTS:
xt
yt
zt
13

.07
==
uuuurr
ị
N(20;
-
12; 16)
Phng trỡnh ng thng
D
:
xyz
224
976

==
-

Cõu hi tng t:
a)
xyz
d
12
:
121

==,
Pxyz
():3220
+++=
,

+
D==

xyzCõu 12. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P):
xyz
250
+-+=
, ng
thng
xyz
d
313
:
211
++-
== v im
A
(2;3;4)
-
. Vit phng trỡnh ng thng D nm
tren (P), i qua giao im ca d v (P), ng thi vuụng gúc vi d. Tỡm im M trờn D sao
cho khong cỏch AM ngn nht.

ã
Gi B = d
ầ
(P)

.
Do ú ta cú th chn
Pd
unu
1
,(1;1;1)
3
D
ộự
==
ởỷ
rrr

ị
PT ca
D
:
xt
yt
zt
1
4
ỡ
=-+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ

333
ổử

ỗữ
ốứ
. Vy AM t GTLN khi M
2111
;;
333
ổử

ỗữ
ốứ
.

Cõu 13. Trong khụng gian to Oxyz, cho ng thng d:
xyz
321
211
-++
==
-
v mt phng
(P):
xyz
20
+++=
. Gi M l giao im ca d v (P). Vit phng trỡnh ng thng
D


P
n
(1;1;1)
=
r
, d cú VTCP
d
u
(2;1;1)
=-
r

Vỡ
D
nm trong (P) v vuụng gúc vi d nờn VTCP
dP
uun
,(2;3;1)
D
ộự
==-
ởỷ
rrr

Gi N(x; y; z) l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn
D
, khi ú
MNxyz
(1;3;)
=-+

+++=
ù
-+-=
ớ
ù
-+++=
ợ

ị
N(5; 2; 5) hoc N(3; 4; 5)

ã
Vi N(5; 2; 5)
ị
Phng trỡnh ca
xyz
525
:
231
-++
D==
-ã
Vi N(3; 4; 5)
ị
Phng trỡnh ca
xyz
345

6
2
.

ã
(
a
) cú VTPT
n
(1;1;1)
=-
r
, (
D
) cú VTCP u
(1;1;1)
D
=
r

ị
(
D
)
^
(
a
).
Gi
A

è
(
a
) v (d) ct (
DÂ
) nờn (d) i qua A v (
D
)
^
(
a
) nờn mi ng thng nm trong
(
a
) v khụng i qua B u chộo vi (
D
).
Gi
d
uabc
(;;)
=
r
l VTCP ca (d)
ị

d
unabc
.0
=+-=

r



bac
abc
22
222
2()6
2
+-
=
++
(3)
T (1) v (3)
ị

ac
0
=



a
c
0
0
ộ
=
ờ

ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=-+
ợã
Vi
c
0
=
. Chn
ab
1
=-=

ị

d
u
(1;1;0)
=-
r

ị


121
D

==
-
v
2
D
:
xt
yt
zt
37
12
13
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợ
.

ã
Phng trỡnh tham s ca
1
D
:

VTCP ln lt ca
D
1
v
D
2
l
a
r
= (1; 2; 1) v
b
r
= (7;2;3)
Ta cú:
MNaMNa
MNbMNb
.0
.0
ỡỡ
ùù
^=

ớớ
^=
ùù
ợợ
uuuurruuuurr
uuuurruuuurr
. T õy tỡm c t v t
Â

():2'
24'
D
ỡ
=-+
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
. S:
xyz
xyz
210470
:
3260
D
ỡ
+=
ớ
++=
ợCõu 16. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng d i qua im
(
)
M
4;5;3

1
11
1
53
:72
ỡ
=-
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
,
xt
dyt
zt
2
22
2
22
:13
15
ỡ
=+
ù
=-+
ớ
ù
=-

12121221212
,(1381316;1339;13243148)
ộự
= ++-+ ++
ởỷ
uuuruuur

M, A, B thng hng


MAMB
,
uuuruuur
cựng phng

MAMB
,0
ộự
=
ởỷ
uuuruuur
r



t
t
1
2
2

43
:52
3
ỡ
=-+
ù
=-+
ớ
ù
=-
ợ

Cõu hi tng t:
a) M(1;5;0),
xyz
d
1
2
:
133
-
==

,
xt
dyt
zt
2
:4
12

zt
32
:1010
12
ỡ
=+
ù
=-
ớ
ù
=-
ợPP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 20

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
xt
dyt
zt
1
1
:12
12
ì
=+
ï
=+
í

·
PTTS của
{
dxtytzt
2
:';12';32'
==-+=-
.
Idd
12
=Ç
Þ

I
(1;1;1)
.
Giả sử: BtttdCtttdtt
12
(1;12;12), (';12';32')(0,'1)
+++Î-+-ι¹D
BIC cân đỉnh I
Û

IBIC
ABAC
[,]0
ì

và hai
đường thẳng d
1
:
x
1
-
=
y
3
2
-
=
z
1
3
+
,
x
4
1
-
=
y
1
=
z
3
2
-

xyz
312350
+ =
và (Q):
xyz
34970
-++=
, (d
1
):
xyz
531
243
+-+
==
-
, (d
2
):
xyz
312
234
-+-
==
-
. Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P),
(Q) và cắt (d
1
), (d
2


Gọi:
PQ
PdPP
QdQQ
uu
1
1
111
121
()()()
()(),()()
()(),()()
D
D
ì
=Ç
ï
É
ï
í
É
ï
=
ï
î
P
P
rr


1
r
và
u
r
nên có VTPT:
P
nuu
11
[;](25;32;26)
==
rrr

Phương trình mp (P
1
): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0
xyz
253226550
Û+++=

(Q
1
) có cặp VTCP
u
2
r
và
u
r
nên có VTPT:

253226550
43100
ì
+++=
í
-+=
îCâu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
2–2–30
+=
và hai
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian
Trang 21

đường thẳng (d
1
), (d
2
) lần lượt có phương trình
xyz
41
221

==
-
và
xyz

;
BdBttt
2
()(32;53;72)
¢¢¢
ÎÞ-+-+-

ABtttttt
(722;632;72)
¢¢¢
=-+ + +
uuur
,
P
n
(2;1;2)
=-
r
.
Từ giả thiết ta có:
P
ABn
AB
.0
3
ì
=
í
=
î

-+-
==
-
.

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
xyz
210
-++=
và hai
đường thẳng
xyz
d
1
123
:
213
-+-
==,
xyz
d
2
112
:
232
+
==. Viết phương trình đường
thẳng D song song với (P), vuông góc với
d
1

có VTCP
uabc
(;;)
=
r
,
Ed
2
Î
có
E
x
3
=

Þ

E
(3;1;6)
-
.
Ta có:
P
un
uu
d
1
1
()
.0

ac
bc
ì
=-
í
=-
î

Þ
Chọn
u
(1;1;1)
=-
rÞ
PT đường thẳng
D
:
xt
yt
zt
3
1
6
ì
=+
ï
=-+

():250
+-+=
. Lập phương
trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt
dd
12
(),()
lần lượt tại A, B sao cho
độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

·
Đặt
AaaaBbbb
(1;22;),(22;1;1)
-+-++++
Þ
ABababab
(23;23;1)
=-++-++-++
uuur

Do AB // (P) nên:
P
ABnba
(1;1;2)4
^=-Û=-
uuur
r
. Suy ra: ABaa
(5;1;3)

d
122
:
111

==.

Câu 23. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
xyz
d
1
8610
():
211
+
==
-

và
xt
dyt
zt
2
():2
42
ì
=
ï
=-
í

2
.

ị
ABtttttt
212121
(28;4);214)
=-+ +-
uuur
.
ABi
,(1;0;0)
=
uuur
r
cựng phng


tt
tt
21
21
40
2140
ỡ
=
ớ
+-=
ợ


Cõu 24. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng: (d
1
):
xt
yt
zt
238
104
ỡ
=-+
ù
=-+
ớ
ù
=
ợ
v (d
2
):
xyz
32
221
-+
==
-
. Vit phng trỡnh ng thng (d) song song vi trc Oz v ct c hai
ng thng (d
1
), (d
2



ABkcuứngphửụng
,
uuur
r



tt
tt
21
21
28260
2480
ỡ
-+=
ớ
+=
ợ



t
t
1
2
17
6
5
Cõu 25. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho cỏc im A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) v
ng thng (d):
xyz
xyz
6320
632240
ỡ
-+=
ớ
++-=
ợ
. Vit phng trỡnh ng thng D // (d) v ct cỏc
ng thng AB, OC.

ã
Phng trỡnh mt phng (
a
) cha AB v song song d: (
a
): 6x + 3y + 2z 12 = 0
Phng trỡnh mt phng (
b
) cha OC v song song d: (
b
): 3x 3y + z = 0

D
l giao tuyn ca (

^
(Oxy)
ị
(Q): 2x + 3y 6 = 0
Ta cú (D) = (P)
ầ
(Q)
ị
Phng trỡnh ca (D)

Cõu 27. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho hai ng thng cú phng trỡnh:
xt
d yt
zt
1
12
:
1
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
v
xyz
d
2

^==-ị-
uuur
r

ị
PTTS ca
xt
dyt
z
:
0
ỡ
=
ù
=-
ớ
ù
=
ợ

Cõu hi tng t:
a) Vi
M
(1;1;1)
,
xyz
d
1
21
():


Cõu 28. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho 2 ng thng cú phng trỡnh:
(d
1
) :
xt
yt
zt
4
62
ỡ
=
ù
=+
ớ
ù
=+
ợ
v (d
2
) :
xt
yt
zt
'
3'6
'1
ỡ
=
ù


KdKtttIKttt
2
()(;36;1)(1;35;2)
ÂÂÂÂÂÂ
ẻị ị=
uur

IKuttttK
2
1818127
191520;;
11111111
ổử
ÂÂÂÂ
^-+-+-==ị-
ỗữ
ốứ
uur
r

Gi s (d ) ct (d
1
) ti
HtttHd
1
(;4;62),(())
++ẻ.
HKttt
185659

ợCõu 29. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho im M(0;1;1) v 2 ng thng (d
1
), (d
2
)
vi: (d
1
):
xyz
12
321
-+
==
; (d
2
) l giao tuyn ca 2 mt phng (P):
x
10
+=
v (Q):
xyz
20
+-+=
. Vit phng trỡnh ng thng (d) qua M vuụng gúc (d
1
) v ct (d
2

++-=
ổử
ù
+=-
ỗữ
ớ
ốứ
ù
+-+=
ợị
Phng trỡnh AM:
xyz
11
325

==
-Cõu 30. Trong khụng gian vi h to Oxyz, cho mt phng (P):
xyz
210
-+-=
v hai
ng thng (d
1
):

an
ana
aa
1
1
,4(1;1;1)
ỡ
^
ộự
ị==
ớ
ởỷ
^
ợ
V
V
V
rr
rrr
rr

ị
(
D
):
xt
yt
zt
3
7

uuur
r

ị
d:
xyz
21
212

==
Cõu 32. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng d
1
:
xyz
111
211
+
==
-
;
d
2
:
xyz
121
112
+

(P), B = d
2

ầ
(P)

ị
A(1; 0; 2), B(2; 3; 1)

ị

D
chớnh l ng thng AB
ị
Phng trỡnh
D
:
xyz
12
131

==
-
.

Cõu 33. Trong khụng gian vi h to Oxyz, vit phng trỡnh ng thng (d) vuụng gúc vi
mt phng (P):
xyz
10
++-=

ã
Ly
(
)
Md
1
ẻ
ị

(
)
Mttt
111
12;1;
+ ;
(
)
Nd
2
ẻ
ị

(
)
Ntt
1;1;
-+

Suy ra
(

-
ù
=
ù
ợ

ị
M
132
;;
555
ổử
=
ỗữ
ốứị
d: xyz
132
555
-=+=+

Cõu hi tng t:
a) Vi (P):
xyz
2530
+++=
,
xyz

,
xyz
d
1
112
:
231
+
==,
xyz
d
2
22
:
152
-+
==
-

S:
xyz
143
215

==
Cõu 34. Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba mt phng: (P):
xyz