Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Lời nói đầu
Trong những năm qua, việc bảo vệ môi trờng đã trở thành một vấn đề rất
quan trọng và đó là một vấn đề bức xúc trên phạm vi nớc ta nói riêng và trên
phạm vi toàn thế giới nói chung. Sự phát triển mạnh mẽ của các ngành công
nghiệp đã làm cho mức độ ô nhiễm môi trờng tăng lên và nó không chỉ ảnh h-
ởng tới một khu vực nào đó mà còn ảnh hởng tới cả các vùng lân cận trên một
diện rộng. Trong khi đó, các ngành công nghiệp tiếp tục phát triển không ngừng
và một vấn đề đặt ra là đặt các nhà máy công nghiệp đó ở đâu để mức độ ô
nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trờng xung quanh.
Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đã đặt ra một
bài toán cho toàn bộ loài ngời đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy công
nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hởng trực tiếp đến con ngời. Hiện
nay nhiều thành phố trên thế giới đã ở trong tình trạng báo động về mức độ ô
nhiễm. Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không khí bị
ô nhiễm và sức khoẻ của con ngời bị ảnh hởng nghiêm trọng. Rất nhiều nhà
khoa học đã nghiên cứu vấn đề này và đã tìm rất nhiều các phơng pháp tối u để
đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công nghiệp
đó gây ra cho con ngời là nhỏ nhất. Đây là một bài toán rất phức tạp và khó giải
quyết. Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài toán đó là
dùng phơng trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phơng trình liên hợp của
nó. Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của máy
tính đã hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đã giảm đợc rất nhiều khối lợng tính
toán và có độ chính xác cao hơn. Kết quả chính trong luận án là cách xác định
tối u vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trờng.
Luận án bao gồm các phần chính nh sau:
Tối u hoá - 1 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Chơng I. Cơ sở toán học

I.1.2. Sự xấp xỉ khuyếch tán và tính duy nhất của nghiệm của bài
toán truyền tải và khuyếch tán vật chất...................................................8
I.1.3. Phơng trình khuyếch tán đơn giản...................................15
I.1.4. Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều..............20
I.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật
chất........................................................................................................22
I.2.1. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
đơn giản ..........................................................................................22
I.2.2. Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán
hai chiều..........................................................................................29
I.2.3. Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp......................32
I.3. Thuật toán giải phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và
khuyếch tán vật chất trong trờng hợp hai chiều...................................34
I.4. Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài
toán........................................................................................................36
I.4.1. Tính ổn định của lợc đồ sai phân.....................................36
I.4.2. Tính không âm của nghiệm bài toán ................................38
Chơng II
Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp ..................................................40
II.1. Phát biểu bài toán .........................................................................40
II.2. Trờng hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G ................42
Tối u hoá - 3 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
II.1.1. Đặt bài toán .....................................................................42
II.2.1 Chuyển bài toán tối u về dạng liên hợp ..........................46
II.3. Các mở rộng khác..........................................................................49
II.3.1. Trờng hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền
G...................................................................................................49
II.3.2. Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của


++= kwjviuu

(với

i
,

j
,

k
là vectơ đơn vị của các trục x,y,z tơng ứng). Sự truyền tải vật chất
đợc mô tả bởi phơng trình sau:
t


=0
Dạng khai triển của phơng trình này là:
0=


+


+


+


=0 (1.1.3)
Tối u hoá - 5 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Dới đây chúng ta xét div

u
=0, sau đó giả sử rằng:
w=0, tại z=0, z=H (1.1.4)
Từ (1.1.3) sử dụng đồng nhất thức sẽ đợc:

=


+


+


udivudiv
z
w
y
v
x
u


(1.1.5)

tại t=0 (1.1.6)
và điều kiện trên biên S của miền G là:
=
S
trên S với u
n
<0 (1.1.7)
với
0
và
S
là hàm đã cho và u
n
là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên
vectơ pháp tuyến ngoài của biên S. Điều kiện (1.1.7) định nghĩa mức độ ô
nhiễm trong miền G. Nghiệm chính xác của bài toán đợc cho bởi phơng trình
(1.1.3) là xác định đợc nếu hàm u,v,w là biết đợc trong không gian và thời gian.
Phơng trình (1.1.3) có thể đợc tổng quát hoá. Ví dụ, nếu hệ số phân huỷ,
lắng đọng 0 trong miền G, khi đó phơng trình sẽ trở thành:
t


+div

u
+=0 (1.1.8)
Nghiệm này sẽ đợc cụ thể nếu u=v=w=0 trong phơng trình (1.1.8). Bây
giờ ta xét phơng trình
t


G
T
t
G
Tt
G

=++
==


0
2
0
2
0
0
22
2
|
2
|
2
(1.1.10)
áp dụng công thức Ostrogradsky-Gauss nh sau:

=
S
n
G

dGfdtdS
u
dtdGdGdtdS
u
dtdG
G
T
G G
Sn
T
G
T
G
Sn
T
G
T

+=++
+





0
2
0
2
0

1
và
2
thoả mãn phơng trình (1.1.9) và điều kiện
(1.1.12). Khi đó bài toán cho độ lệch =
1
-
2
là:
t


+div

u
+=0 (1.1.14)
=0 tại t=0,
=0 trên S nếu u
n
<0 (1.1.15)
Tối u hoá - 7 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Phơng trình (1.1.13) cho hàm sẽ có dạng
0
22
2
0
2
0


+div

u
+=f (1.1.17)
=
0
tại t=0
=
S
trên biên S với u
n
<0 (1.1.18)
bài toán này cũng nó có nghiệm duy nhất.
I.1.2. Xấp xỉ sự khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền
tải và khuyếch tán vật chất
Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không gian
từ nguồn chất thải đợc xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động bên
ngoài nh sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài..., các mô hình đó chỉ mới xét
đến trờng hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn.
Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành:
t


+=f (1.2.1)
=
0
tại t=0
Nếu f không phụ thuộc vào t, nghiệm sẽ là
=


a
+a, với
a<<

a
(1.2.3)
điều này có nghĩa rằng sự sai số của a là rất nhỏ. Ta lại giả sử rằng giá trị trung
bình của a đợc tính theo công thức sau

a
=

+Tt
t
adt
T
1
(1.2.4)
và
0'
1
' ==

+

Tt
t
dta
T

, nh trong phơng trình (1.2.4), chúng ta nhận
đợc từ (1.2.6) nh sau
0''
)()(
=+++
+



udivudiv
T
tTt
(1.2.7)
hoặc tơng đơng với
T
tTt
udivudiv
T
tTt )(')('
''
)()(



+
=+++
+

(1.2.8)
Tối u hoá - 9 -



udivudiv
T
tTt
(1.2.10)
Nếu hàm

(t) biến thiên nhỏ trong khoảng thời gian T, chúng ta có thể
thay
T
tTt )()(

+
bằng vi phân
t


từ đó đi tới phơng trình cho các thành phần
trung bình nh sau
0''
=+++





udivudiv
t
(1.2.11)

=


''
(1.2.12)
ở đây à0 và 0 là hệ số khuyếch tán theo chiều ngang và chiều đứng tơng
ứng, các hệ số này là xác định.
Thế (1.2.12) vào (1.2.11), chúng ta có thể xấp xỉ sự khuyếch tán của các
chất gây ô nhiễm trong không khí là


Dudiv
t
=++


(1.2.13)
với
zzyyxx
D




+




+





















+


+
+






+








=++



0
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
222
d
z
d
z

0
dt
(1.2.17)
ở đây
T
=(T),
0
=(0),
n


là đạo hàm riêng theo hớng vectơ pháp tuyến của
bề mặt . Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, là bề mặt hình trụ,
H
là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H,
0
là phần mặt cắt ngang của hình trụ
khi z=0. Phơng trình (1.2.17) đợc viết thành:

















+


















+







n
dS
u
dtdGdGdt
dG
zyx
dtdS
u
dtdG
H
S
n
T
GG
T
T
GS
n
T
G
T





à




,
0=


z

trên
H
Tối u hoá - 11 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
ở đây 0 là hàm định nghĩa sự tác động của chất ô nhiễm dới lớp bề mặt.
Ngoài ra ta còn có:
w=0 tại z=0, z=H (1.2.20)
Sử dụng các điều kiện (1.2.19), (1.2.20) và điều kiện đầu (1.2.16) ta thu đợc
mối tơng quan sau:








+



+
+=++









+








++
d
n
d
u
dtdGddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
Sn
T

22
0
0
2
2
2
2
0
2
0
(1.2.21)
ở đây S đợc thay bằng .
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng nghiệm của nó là duy nhất. Bằng ph-
ơng pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm
1
và
2
khác nhau thoả mãn
(1.2.13), điều kiện ban đầu (1.2.16), điều kiện biên (1.2.19) và các điều kiện
khác. Do đó hàm độ lệch =
1
-
2
đợc viết dới dạng phơng trình nh sau:
t


+div

u

Với bài toán này thì (1.2.21) đợc viết lại thành
Tối u hoá - 12 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
0dt
22
0
2
T
0
2
0
0
2
2
2
2
0
2
=++
+

















++




+
ddGdt
dG
zyx
dtd
u
dtdG
G
T
T
G
n
T
G
T




tại t=0
=
S
trên khi u
n
<0
n


=0 trên khi u
n
0 (1.2.26)


=


z
trên
0
,
0=


z

trên
H
Giả sử rằng vectơ vận tốc không thay đổi trong một khoảng thời gian nhất định
tức là

z
trên
0
,
0=


z

trên
H
Để làm rõ hơn chúng ta biểu diễn toán tử D (đã đợc định nghĩa trong phơng
trình (1.2.14)) thành hai thành phần nh sau
D=
zzzz
yx




+=




+





zz
dzdzudivdz
t
000000
à


(1.2.28)
Giả sử các thành phần theo chiều ngang u, v của vectơ dòng chảy không
phụ thuộc vào độ cao đối với sự truyền tải và khuyếch tán vật chất, chúng ta có
Hz
z
HHH
wdzv
y
dzu
x
dzudiv
=
=

+










+










=


HHH
dzv
y
dzu
x
dzudiv
000

(1.2.30)
Khi đó chúng ta đi tới phơng trình cân bằng nh sau
00
0
||
=
=



z
tại z=0 thì phơng trình trên có thể viết gọn
lại thành
Tối u hoá - 14 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
0
0
|
=
=





z
H
dz
zz



Nếu xấp xỉ nồng độ tạp chất tại z=0 bằng

=
=
H

H
dz
0

,

=
H
fdzf
0
Khi đó thay vào phơng trình (1.2.28) ta thu đợc
f
dy
v
dx
u
dt
+=+

+

+

à

(1.2.33)
với
H



). Hàm dirac
đợc định nghĩa nh sau
Tối u hoá - 15 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
(x-x
0
)=




=
0
0
xx nếu
xx nếu
0
1
Chúng ta lấy tích phân phơng trình (1.3.1) trong lân cận của điểm x
0
ta đợc
Q
x
d
x
d
dx
xx
x


+
Q
x
d
x
d
xx

à

à
(1.3.2)
Chúng ta hãy xét hai khoảng nghiệm -<xx
0
và x
0
x<+; các ngiệm t-
ơng ứng ký hiệu là
-
và
+
, khi đó các bài toán cần giải tơng ứng là
0
2
2
=
+
+


+
Q
x
d
x
d

à

à
tại x=x
0
(1.3.5)
điều kiện dới đây thể hiện tính liên tục của bài toán tại mọi điểm kể cả x=x
0

+
=
-
tại x=x
0
(1.3.6)
Ta có thể dễ dàng thấy nghiệm của bài toán (1.3.3) và (1.3.4) là

+
=C
+
exp(
))(/
0





=
00
00
x xcho ))(/exp(
x xcho ))(/exp(
2
)(
xx
xx
Q
x
à
à
à

(1.3.8)
và đồ thị của nó đợc minh hoạ trong hình 1 dới đây
Ta có thể chứng minh dễ dàng rằng


Q
dxx =



)(


à
dx
d
u
dx
d
(1.3.10)
và
=
=



x khi 0
0
2
2



à
dx
d
u
dx
d
(1.3.11)
Tổ hợp hai phơng trình này lại ta đợc
0

2
2
,)(
2
4
exp
,)(
2
4
exp
xx
xx



















uu
C
à
à
à


à
à
à


(1.3.13)
Thế vào phơng trình (1.3.12), chúng ta đợc C
+
=C
-
=C và
C
+
=C
-
=C=
2
4 u
Q
+
à
Nghiệm cuối cùng có dạng





















+
+
=
00
2
2
00
2
2
2
,)(

Bây giờ chúng ta xét một bài toán phức tạp hơn đó là khi hớng gió thay
đổi sau một khoảng thời gian nào đó ví dụ trong một khoảng thời gian dài với
giá trị dơng của x (u
1
>0) và đổi hớng ngợc lại với giá trị âm u
2
<0. Khi đó ta sẽ
có hai nghiệm sau
Tối u hoá - 18 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 2. Đồ thị mô tả dáng điệu của nghiệm bài toán truyền tải
và khuyếch tán khi vectơ vận tốc dòng chảy khác không
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43





















+
+
=
00
1
2
2
1
00
1
2
2
1
2
1
1
,)(
2
||
4
exp
,)(


























+





2
2
,)(
2
||
4
exp
,)(
2
||
4
exp
4
)(
xx
xx
xx
uu
xx
uu
u
Q
x
à
à
à

à
à
à

=
(1.3.17)
Nghiệm (1.3.17) đợc minh hoạ trên hình dới đây
Cuối cùng xét mô hình thống kê trong đó vectơ vận tốc dòng chảy đợc
xác định bằng phơng pháp thống kê. Cho vectơ vận tốc dòng chảy là
u()=
)(

pu
(1.3.18)
với là đại lợng ngẫu nhiên trong khoảng [0,1], và p() là mật độ phân phối
chuẩn, tức là
1)(
1
0
=


dp
. Nếu dòng chảy không khí chịu ảnh hởng của hớng
Tối u hoá - 19 -
(x)
x
0
0 x
y
Hình 3. Đồ thị mô tả nghiệm trong trường hợp vectơ
hướng gió thay đổi ngược chiều nhau trong một khoảng
thời gian nhất định
Website: Email : Tel (: 0918.775.368

với






























,)(
2
|)(|
4
)(
exp
,)(
2
|)(|
4
)(
exp
))(,(
xx
xx
xx
u
u
xx
u
u
uxxw
à

à

à

à


t
(1.4.1)
trong đó : nồng độ tạp chất


u
=(u,v): vectơ vận tốc dòng chảy thoả mãn điều kiện:
x
u


+
y
v


=0 (1.4.2)
0 : hệ số phân huỷ, lắng đọng
=
2
2
x

+
2
2
y


(1.4.3)

n
0
u
n
là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy lên vectơ pháp tuyến của biên .
Nghiệm của bài toán (1.4.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên
(1.4.4) có thể tìm dới dạng: =
1
+
2
, trong đó
1
,
2
là nghiệm của bài toán sau:
11
111
f
y
v
x
u
t
à+=+


+


+

=+


+


+


y
v
x
u
t
(1.4.6)
với điều kiện
)y,x(|
*
0t2
=
=
;

=


|
2
;
0|



+




à

(2.1.1)
với điều kiện
=
0
khi t=0 (2.1.2)

0
là hàm của x cho trớc và đợc giả sử rằng nghiệm là tìm đợc trong khoảng
-<x<.
Đầu tiên ta định nghĩa không gian của hàm , với không gian đó thì bài
toán sẽ có nghiệm. Giả định rằng không gian này đợc xét theo hai chiều là theo
thời gian t và theo trục x. Giả sử rằng các hàm này đợc giới hạn trong khoảng
-<x< và hội tụ khi x, do đó bảo đảm tổng bình phơng là khả tích, tức là



<dxdt
T
2
0







=


+


dxxxdtQdx
x
t
dt
TT
)()(
0
*
0
2
2
*
0


à


(2.1.4)

**
0
|




(2.1.5)



=
=




+





=


dx
t
dtdt
xx



à +


à +




=


=
=


T
0
0
*
T
0
x
*
*Tt
0t
*
2
*2

0
**
00
*
TT
2
*2
*
*
T
0
dt)t,x(Qdx)(dx)
x
t
(dt
(2.1.9)
Giả sử rằng
*
thoả mãn phơng trình
2
*2
*
*
x
t


à+



T

0
(2.1.13)
là phiếm hàm tuyến tính của và đợc tính từ nghiệm của bài toán (2.1.1) và
(2.1.2). Từ (2.1.12) ta có thể tính phiếm hàm này theo nghiệm của bài toán liên
hợp nh sau
J=



+ dx)0,x()0,x(dt)t,x(Q
*
T
0
0
*
(2.1.14)
Tối u hoá - 23 -
Website: Email : Tel (: 0918.775.368
Đồ án tốt nghiệp Chu Minh Dơng Toán Tin K43
Điều này đúng với nguyên tắc đối ngẫu.
Xét bài toán của những phiếm hàm. Phiếm hàm (2.1.13) có ý nghĩa vật lý
là phiếm hàm cho biết nồng độ của chất ô nhiễm đợc phân bố nh thế nào trong
toàn bộ miền G. Trong trờng hợp hàm p nh sau
p(x,t)=
)t()x(
(2.1.15)
Thế nó vào (2.1.13) ta đợc
J=(,) (2.1.16)

tức là ta có thể biểu diễn bởi hàm x=V(t)X(x). Điều này là rất cần thiết để so
sánh giá trị đo đạc đợc và giá trị tính toán của phiếm hàm. Do đó ta chọn hàm
p(x,t) có dạng
p(x,t)=





],,0
],),x(X)t(V
2
2
1
1
[t và b][a,x
[t và b][a,x
(2.1.19)
với giá trị hàm p nh vậy thì ta đi tới phiếm hàm sau



=
b
a
dx)x(X)t(VdtJ
2
1
(2.1.20)
Tối u hoá - 24 -

=
T
0
0
*
dt)t,x(QJ
(2.1.22)

*
là nghiệm của phơng trình
)t()x(
x
t
11
2
*2
*
*
=


à+



(2.1.23)
điều kiện đầu

*
=0 tại t=T (2.1.24)