Vấn đề 1:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

® Giới thiệu phương pháp:
Khác với phương pháp đặt ẩn phụ (tức là đặt biến t là một giá trị lượng giác nào đó,
chẳng hạn đặt t = sinx) thì phương pháp đổi biến mang những nét đặc trưng riêng. Nó
vừa mang dáng vẻ của cách giải phương trình hàm, vừa mang hình thức của cách giải
các phương trình lượng giác. Thật sự đây là một trong những phương pháp đáng lưu
tâm nhất cho những ai yêu thích phương trình lượng giác. Hy vọng với phương pháp
này, các bạn sẽ ứng dụng một cách hiệu quả cho các bài toán thuộc về lượng giác nói
riêng và những bài toán suy rộng nói chung.
® Hình thành ý tưởng:
Ta sẽ sử dụng một biến bất kỳ (chẳng hạn là t). Khi đó, nếu đặt t là 1 cung lượng giác
nào đó thì phương trình ban đầu sẽ biến thành phương trình chứa các cung t, 2t, 3t, …,
kt. Rồi sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba.
® Kiến thức cần nhớ:
¤
3
sin3 3sin 4sina a a 
¤
3
cos3 4cos 3cosa a a 
¤ Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt.
® Bài tập ví dụ:
Bài 1 : Giải phương trình :

3
8cos ( ) cos3
3
x x

  
 
cos 2(cos2 1) 1 0t t   
Đây trở về phương trình tích mà các bạn đã biết cách giải.
Qua đó, ta thấy được việc đặt biến t giúp biến đổi phương trình thành dạng công thức
nhân đôi, nhân ba. Đó là mục tiêu của phương pháp này!
Bài 2: Giải phương trình:

6
32cos sin6 1
4
x x

 
  
 
 
(*)
Gợi ý: Đặt
4
t x

 
 
 
 
Khi đó,
3
6 6
2

6
1 cos2
cos
2
t
t

 

 
 
và
3
cos6 cos3.2 4cos 2 3cos2t t t t  
thì mọi
chuyện đã rõ như ban ngày! Mạnh dạn lập phương thu về được phương trình

2
4cos 2 5cos2 1 0t t  
Kết quả:
4
x k


 
hoặc
4
x k

 

   
 
 

Đặt
2
3
x
t 
thì mọi chuyện xem như đã dễ dàng . Việc kế tiếp là dùng công thức nhân
ba và nhân đôi để giải. Kết quả :
3x k


hoặc
3
4 2
k
x
 
  
với
k Z
.
®BÀI TẬP
Áp dụng phương pháp đổi biến, các bạn hãy tìm ra “chìa khóa” của mỗi bài đi nào !
Bằng cách giải các phương trình sau:
a)
sin 2 5sin cos3
3 6

  
 
 
Gợi ý câu d) : Vẫn đặt
6
t x

 
 
 
 
. Từ đó suy ra 3t. Xét cost = 0 không là nghiệm
phương trình. Chia 2 vế cho
3
cos t
biến thành hàm số theo tan.

Vấn đề 2:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI
THÀNH TỔNG CÁC PHẦN TỬ KHÔNG ÂM.
 Nội dung phương pháp:
Cũng giống như phương pháp đưa về tổng bình phương nhưng phương pháp này tỏ ra
tổng quát hơn!
Nó có dạng như sau:

1 2 3
0
n
A A A A    
Nếu chúng ta đưa được phương trình thành dạng như trên và với điều kiện

âm như sau: (1+sinx), (1+cosx), (1-sinx) hay (1-cosx). Ngoài ra, ta đã
biết sinx và cosx có tập xác định là [-1;1] nên khi càng lũy thừa nó lên thì giá trị của nó
càng nhỏ.
Ví dụ:
2 3
sin sin 0x x 
Để giúp các bạn hiểu rõ phương pháp, chúng tôi xin giới thiệu một số ví dụ sau:
Ví dụ:
1) Giải phương trình:
cos2x + sinx = -2
Hướng dẫn: Thật vậy, bài toán này tương đối dễ, các bạn có thể dễ dàng dùng công thức
nhân đôi để biến phương trình thành phương trình bậc 2 theo sin. Nhưng, các bạn có
nghĩ rằng đó là cách giải tối ưu nhất chưa ? Các bạn có thể giải như sau:

1 cos2 0
(1 cos2 ) (1 sin2 ) 0 2 ( )
1 sin 0
2
x
pt x x x k k Z
x


 


         

 


2
x - 4cosx - 2xsinx + x
2
+ 3 = 0
Hướng dẫn: Mới nhìn vào ta thấy có sự xuất hiện của những hạng tử (x
2
- 2xsinx)
và (cos
2
x - 4cosx) mà có thể nó là hình bóng của hằng đẳng thức. Do vậy, thử thêm
sin
2
x vào phương trình. Ta được:
x
2
- 2xsinx + 1+ cos
2
x - 4cosx + 2 = 0


(x
2
- 2xsinx + sin
2
x) + (2cos
2
x - 4cosx +2) = 0
hay 2(cosx - 2)
2
+ (sinx - x)

10 10
2
3
1 sin 2
sin cos 1
4
4 4 3sin 2 4
x
x x
x


 

hay
10 10
sin cosx x
=1 (**)
Đến đây thì ta xem lại ở phần Chú ý và đưa ra nhận định
2 10
sin sin 0x x 
;
2 10
cos cos 0x x 
. Tác động vào chúng ta sẽ phân tích:
2 2
1 sin cosx x 
Từ đó, (**)

(sin

2
2
x k


 
,
k Z
Đến đây thì các bạn đã hình cung phần nào về cách giải phương trình lượng giác
bằng cách phân tích thành tổng các số hạng không âm rồi chứ ? Sau đây, xin mời các
bạn luyện tập với những bài tập sau:
Bài Tập:
1) sinx + sin2x + sin3x + + sin(nx) = n (n

N).
2) 4cosx + 2cos2x + cos4x = 7.
3) 2sin
5
x + 3cos
8
x = 5.
Gợi ý: PT tương đương 2(2 - sin
5
x) + 3(3 - cos
8
x) = 0.
4) cos
2
4x + cos
2

+
2
5 cos x
= 2.
Lời giải. Tư tưởng là triệt phá dấu căn, nên ta đặt:
a=
2
sin 2x 
và b=
2
5 cos x
. Từ đó ta được hệ:
2 2
2
2
a b
a b
 


  

. Đến đây ta dễ dàng giải được.
Kết quả: PT vô nghiệm.
Bài toán 2. Giải PT:
 
2
2
3
3

tan x – 2 2 tan = 0 x 
.
Lời giải. Đối với bài toán này nếu như các bạn sử dụng cách làm như bài toán 1 và 2,
thì có khả thi hay không ?. Thật vậy, nếu đặt
2 tan x

= a, lúc đó ta được:
2
2
2 tan
tan 2
a x
x a
 


 

. Đây chính là hệ đối xứng mà ta đã biết cách giải.
Nên nhớ rằng ĐK là: tanx

2.
Kết quả: x =
4
k



hoặc x = arctan(
1 5