GIẢI MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng của lượng
giác trong chương trình THPT. Nhưng nó cũng là một trong những vấn đề mà
phần lớn các em học sinh thấy khó tiếp thu và vận dụng. Không thể phủ nhận
cách lượng giác hóa một phương trình đại số nhiều lúc khiến cho quá trình giải
bài toán trở nên thuận lợi hơn. Tuy nhiên nói về phương trình và hệ phương
trình đại số như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn, hệ
phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc hai hai ẩn,…là những kiến
thức mà các em học sinh đã được học ở THCS và một phần ở lớp 10. Vậy nên,
nếu ta chuyển những bài toán giải phương trình lượng giác về giải phương trình
hoặc hệ phương trình đại số bằng cách đặt ẩn phụ nhiều khi sẽ phù hợp với đa số
các em học sinh hơn bởi ở đây ta tuân thủ nguyên tắc “quy lạ về quen” để giải
một bài toán. Bên cạnh đó, việc giải một số phương trình lượng giác bằng cách
đặt ẩn phụ hay còn gọi là đại số hóa một phương trình lượng giác cũng được
xem như là một trong những cách nhìn khác nhau về giải phương trình lượng
giác, thỏa mãn được tính sáng tạo, không bằng lòng với những cách giải đã có
khác của các em học sinh. Nó giúp cho các em học sinh thấy được mối quan hệ
giữa lượng giác và đại số. Từ đó các em học sinh có thêm hứng thú trong việc
học tập môn lượng giác nói chung và phương trình lượng giác nói riêng. Đó là
những lí do để tôi viết chuyên đề “Giải một vài phương trình lượng giác bằng
cách đặt ẩn phụ”, với chuyên đề này tôi còn mong nó giúp cho các em học sinh
có một tài liệu học tập và ôn tập tốt hơn về chủ đề giải phương trình lượng giác.
II. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ:
Càng nắm được nhiều công thức lượng giác, các tính chất của hàm số
lượng giác và cách biến đổi lượng giác các em học sinh càng có thể sử dụng một
cách có hiệu quả cách đặt ẩn phụ để giải một phương trình lượng giác. Ở đây tôi
quan tâm tới việc sử dụng ít nhất các công thức lượng giác, ít phép biến đổi
lượng giác nhất và đưa về phương trình hoặc hệ phương trình đại số một cách
nhanh nhất và có tính khả thi nhất trong việc giải ra đáp số của bài toán.

cos
= +t
x
cos2x = 2cos
2
x - 1
osx=t c
1 1- £ £t
cos2x = 2t
2
- 1
cos2x = 1 – 2sin
2
x
sin=t x
1 1- £ £t
cos2x = 1 - 2t
2
tan2x =
2
2tan
1 tan-
x
x

tan x=t
1¹ ±t
tan2x =
2
2

2
2
2
sin
1
=
+
t
x
t
2
2
1
cos
1 tan
=
+
x
x
tan x=t
Î ¡t
2
2
1
cos
1
=
+
x
t

1
sin
2
-
=
t
x
2
1 cos2
cos
2
+
=
x
x
cos2=t x
1 1- £ £t
2
1
cos
2
+
=
t
x
2
1 cos2
tan
1 cos2
-

2
2
1+
t
t
2
2
1 tan
os2
1 tan
-
=
+
x
c x
x
tan x=t
Î ¡t
2
2
1
os2
1 t
-
=
+
t
c x
2
tan tan

2
α
2
1
cos a
=t
1³t
tan
2
α = t
2
- 1
….
Chú ý: Ta cần xét
cos 0=x
trước khi đặt ẩn phụ
tan=t x
để tránh làm mất
nghiệm của phương trình .
2. Nội dung thực hiện các phương pháp của đề tài :
2.1) Dạng phương trình bậc nhất, phương trình đưa về phương trình bậc
nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ở đây tôi chỉ nói đến những phương trình bậc nhất và phương trình đưa
về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ở dạng đơn giản. Các
dạng này không nên đặt ẩn phụ mà nên đưa về dạng phương trình lượng giác cơ
bản để giải(tránh phức tạp hóa bài toán).
2.2) Dạng phương trình bậc hai, phương trình đưa về phương trình bậc hai
đối với một hàm số lượng giác:
A) Dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Bảng tóm tắt cách giải:

p¹ + Î ¢x k k
2
0+ + =at bt c
4 acot
2
x + bcotx + c = 0(
0¹a
) cotx = t
,p¹ Î ¢x k k
2
0+ + =at bt c
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
cos 2cos 3 0
2 2
+ - =
x x

Giải:
Đặt
x
os , 1
2
= £t c t
ta được phương trình
2
1
2 3 0
3( )
t

ộ
=-
ờ
+ - =
ờ
ờ
=
ờ
ở
t
t
( )
3
cot 1
4
1
1
cot
arccot
3
3
p
p
p
ộ
ộ
ờ
= +
=-
ờ

cos 4 cos4 - 0
2 2
- - =x x m
Gii:
t
cos4 , 1= Êt x t
.
Khi ú, ta c phng trỡnh
2 2
1 1 1 1
- 0 -
2 2 2 2
- - = - =t t m t t m
.
t
2
1 1
( ) t -
2 2
= -f t t
,
1 1- Ê Êt
1
'( ) 2
2
ị = -f t t
,
1 1
'( ) 0 2 0
2 4

hay
9
1
16
- Ê Êm
Nhn xột: õy l mt trong nhng dng toỏn gii phng trỡnh lng giỏc n
gin. Cỏch t n ph gii bi toỏn dng ny ụi khi lm phc tp húa vn
ngoi tr nhng bi toỏn cú cha tham s nh vớ d 3. Tng t nh trờn ta
hon ton cú th nh ngha v a ra cỏch gii phng trỡnh bc ba, bc bn i
vi mt hm s lng giỏc( loi phng trỡnh cú cỏch gii c bit).
Bi tp vn dng:
Gii phng trỡnh :
1)
2
2sin 5sin 7 0- - =x x
4
2)
2
2 2
5cos 7cos 2 0
3 3
- + =
x x
3)
2
tan tan 6 0
2 2
- - =
x x
4)

0¹a
cosx = t
1£t
2
(1 ) 0- + + =a t bt c
2 acos
2
x + bsinx + c = 0,
0¹a
sinx = t
1£t
2
(1 ) 0- + + =a t bt c
3 acos2x + bsinx + c = 0,
0¹a
sinx = t
1£t
2
(1 2 ) 0- + + =a t bt c
4 acos2x + bcosx + c = 0,
0¹a
cosx = t
1£t
2
(2 1) 0- + + =a t bt c
5 atanx + bcotx + c = 0,
0¹a
tanx = t
0¹t
1

2
=t
Với
1
3
=t
ta được
1
arcsin 2
1
3
sin ( )
1
3
arcsin 2
3
p
p p
é
ê
= +
ê
= Û Î
ê
ê
= - +
ê
ë
¢
x k

ë
¢
x k
k
x k
Vậy nghiệm của phương trình là
1 1
arcsin 2 , arcsin 2
3 3
p p p= + = - +x k x k
,
2
6
p
p= +x k
,
5
2
6
p
p= +x k
.Î ¢k
Ví dụ 2. Giải phương trình
cos2 -3cos 2 0+ =x x
Giải:
2 2
os2x - 3cosx + 2 = 0 2cos 1 3cos 2 0 2cos 3cos 1 0Û - - + = Û - + =c x x x x
Đặt
osx, t 1= £t c
ta được phương trình

p
p=± + Î ¢x k k
.
Ví dụ 3. Giải phương trình
tan - 2cot 1 0+ =x x
Giải:
Điều kiện của phương trình là
,
2
p
¹ Î ¢
k
x k
Đặt
tan=t x
,
0¹t
. Khi đó phương trình trở thành
2
1
2
1 0 2 0
2
é
=
ê
- + = Û + - = Û
ê
=-
ë

tan
2 , 0= >
x
t t
. Khi ú ta c phng trỡnh
2
8
2 80 0
10( )
t
t t
t loaùi
ộ
=
ờ
+ - =
ờ
=-
ở
Vi
2
tan 3 2
8 2 8 2 tan 3= ị = = =
x
t x
tanx= 3 , .
3
p
p = + ẻ Âx k k
Vớ d 5. Gii phng trỡnh

1 4 (1 ) 0+ - + - =t t t
2 3
2 3 2
1 2 4 (1 ) 0
(1 ) (1 ) 0 (1 ) (1 1 ) 0
+ + - + - =
- + - = - + - =
t t t t
t t t t
2
2 ( )
(1 ) (2 ) 0
1
cos2 1 2 2 , .
t loaùi
t t
t
x x k x k kp p
ộ
=
ờ
- - =
ờ
=
ở
ị = = = ẻ Â
Vớ d 6. [ Vụ ch New York 1973 ] Gii phng trỡnh
8 8
97
sin cos

t
cos2=t x
,
1Êt
ta c
( ) ( )
2
4 4
4 2
2
3
97 81
4
1 1 2 12 0
27
8 8
4
ộ
ờ =
ờ
+ + - = + - =
ờ
ờ
=-
ờ
ở
t
t t t t
t
2

osx,-1 t 1= £ £t c
, ta được
2
2
1
1 0
+
+ + = Û - =
t
t mt m
t
( vì t = 0 không
thỏa phương trình)
Xét
2
1
( )
+
=-
t
f t
t
. Ta có
2
2
1
'( )
-
=
t

2³m
thì phương trình đã cho có nghiệm.
Nhận xét: Cách giải và biện luận phương trình bằng cách sử dụng đồ thị rất
thuận lợi cho việc giải bài toán dạng này. Tuy nhiên, ta cần lưu ý với học sinh
xét trường hợp hệ số của m bằng 0(ở ví dụ trên là xét t = 0) trước khi đưa ra
được phương trình
( )=m f t
( vì trường hợp này học sinh rất hay quên). Với ví
dụ trên nếu học sinh không xét trường hợp t = 0 cũng không ảnh hưởng đến kết
quả bài toán nhưng nếu là bài toán khác học sinh rất dễ lầm và dẫn đến mất
nghiệm của bài toán. Ví dụ như với bài toán trên ta thay phương trình đã cho
8
thnh
2
os2x+sin cos 1 0+ - + =c x m x m
thỡ cỏc em d lm mt nghim ca bi
toỏn.
Cỏch 2: Cỏch gii ng dng tam thc bc hai ó c gim ti trong chng
trỡnh sỏch giỏo khoa hin nay. Tuy vy, ta vn cú th a ra cỏch gii theo
hng ny cỏc em hc sinh khỏ, gii cú iu kin tham kho lm phong phỳ
cỏch gii quyt vn , tha món c tớnh linh ng v sỏng to ca cỏc em.
Gii:
Phng trỡnh ó cho cú nghim khi ch khi
2
( ) 1= + +f t t mt
cú ớt nht mt
nghim trong on
[ ]
1;1-
2

ờ
ờ
ù
ỡ
ù
-
ù
ờ
ờ
ù
ù
ù
ờ
ù
ờ
Ê ù
ù
+ >
ờ
ù
ù
ờ

ớ
ù
ờ
ù
ờ
ù
ớ

ở
Vy phng trỡnh cú nghim khi
2m
.
Chỳ ý: Khụng phi lỳc no gp dng bi toỏn cú cha tham s nh trờn ta cng
dựng cỏc cỏch gii ó núi m phi linh hot tng bi toỏn, chng hn nh vớ d
8 sau õy
Vớ d 8. Xỏc nh a phng trỡnh
4
2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a
cú
nghim.
Gii:
Nu a = 0, cú phng trỡnh cos2x + 3 = 0 (vụ nghim)
Nu
0ạa
ta cú
4
2 sin (1 ).cos2 3 0 - + + + =a x a x a
( )
2
2
1- cos2 2(1 )cos2 2 6 0
cos 2 - 2(1 2 ).cos2 3 6 0
- + + + =
+ + + =
x a a x a
a x a x a
t cos2x = X,
1ÊX

ë
Phương trình có nghiệm khi:
2
1 1
+
- £ £
a
a

2 2 2
1
1 0 0
0
2 2
1 0 0
0
ì ì
+ +
ï ï
ì
é
£ -
ï
ï ï
+ ³ ³
ï
ï ï
ê
ï
ï ï

1) [ĐHNN_97]
os2 5sin 2 0+ + =c x x
2)
tan 2 cot 1 2+ = +x x
3) [ĐHY_97]
4 6
os sin os2x+ =c x x c
4) [CĐSP HN_97]
2
cos2 sin 2sin 1 0+ + + =x x x
5)
sin3 18sin 2 5sin 0- + =x x x
6) [ĐHDL Phương Đông_96]
4 4
sin (1 sin ) 17+ - =x x
7) [ĐHAN Khối D_99]
2 2
sin cos
9 9 10+ =
x x
8) [HVBCVT II_97]
6 2
cos sin 1+ =x x
9) [HVKTMM_99]
8 8
17
sin os
32
+ =x c x
10) [ĐHNT_95]

)
Cách 1:
Cách thường dùng là đặt
tan
2
=
x
t
đưa phương trình về dạng phương trình bậc
nhất hoặc bậc hai theo ẩn số t như sau:
Đặt
2
2 2
2 1-
tan ( 2 , ) sin ,cos
2 1 1
p p= ¹ + Î Þ = =
+ +
¢
x t t
t x k k x x
t t
, ta được
phương trình
2
2
2 2
2 1
( ) 2 0
1 1

3 3
p p
= + Î ¢
k
x k
là nghiệm của
phương trình (
3x
os 0
2
= Þc

sin3 3 os3x -x c
=
2
3 3x 3
2sin os 3(2cos 1)
2 2 2
- -
x x
c
=
3
2(sin ).0 3(2.0 1) 3
2
- - =
x
) (1)
Xét
3x

2 2 3 9 3
p p p
p= Û = + Û = + Î ¢
x x k
k x k
(2)
Từ (1), (2) ta có nghiệm của phương trình là
2
3 3
p p
= +
k
x
,
2 2
,
9 3
p p
= + Î ¢
k
x k
11
Cách 2: Đặt
sin
cos
ì
=
ï
ï
í

os 0
2
=c
thỏa phương trình nên hay làm mất
nghiệm
2
,
3 3
p p
= + Î ¢
k
x k
).
Giải:
Đặt
sin3
cos3
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
u x
v x
( Với
1 , 1- £ £u v

u v v v
v v
0
1
ì
=
ï
ï
Û
í
ï
=-
ï
î
u
v
hoặc
3
2
1
2
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï

ï
ï
Þ Û = + Î
í
ï
=
ï
î
¢
x
k
x k
x
.
- Với
3
2
1
2
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=-

ï
î
¢
x
k
x k
x
.
Vậy nghiệm của phương trình là
2
3 3
p p
= +
k
x
,
2 2
,
9 3
p p
= + Î ¢
k
x k
Bài tập vận dụng
Giải phương trình:
1) [ĐH Huế Khối D-CPB-99]
3sin 2 cos2 2+ =x x
2) [ĐHGT_00]
2 2(sin cos )cos 3 cos2+ = +x x x x
3) [ĐHKTCN TPHCM_00]

2 2 2
(1 ) 0 ( ) 0+ + + + = Û + + + + =at bt c d t a d t bt c d
, với
tan=t x
Cách 2:
- Xét
cos 0=x
xem có thỏa phương trình hay không? Nếu thỏa phương trình thì
,
2
p
p= + Î ¢x k k
là nghiệm của phương trình.
- Xét
osx 0¹c
, đặt
tan=t x
ta có
2
2
2
sin
1
=
+
t
x
t
,
2

2 2
sin sin cos cos+ + =a x b x x c x d
Đặt
sin
( 1 , 1)
cos
ì
=
ï
ï
- £ £
í
ï
=
ï
î
u x
u v
v x
ta được hệ phương trình
2 2
2 2
1
ì
ï
+ + =
ï
í
ï
+ =

+ =
ï
î
au buv cv d u v
u v
2 2
2 2
( ) ( ) 0
1
ì
ï
- + + - =
ï
Û
í
ï
+ =
ï
î
a d u buv c d v
u v
2
2 2
( ) 0
1
ì
ï
æö æö
ï
÷ ÷

ù
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + - =
ù
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ù
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ù
ù
ù
ù
+ =
ớ
ù
ù
ạ
ù
ù
ù
ù
ù
ù
ợ
u u
a d b c d
v v

ù
- + + - =
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
a d u buv c d v
u v
2
( ) ( ) 0
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + + - =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
u u
a d b c d
v v
- Ngoi ra, cỏc dng phng trỡnh ng cp bc ba hoc bc bn i vi
sinx, cosx cng cú th gii tng t nh trờn.
Vớ d 1. Gii phng trỡnh
2 2
2sin 5sin cos os 2- - =-x x x c x
Gii:

ợ
u uv v u v
u v
2 2
2 2
4 5 0
1
ỡ
ù
- + =
ù

ớ
ù
+ =
ù
ợ
u uv v
u v
2
2 5 1 0
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
- + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

u
u u
v
u
v v
v
tanx 1
4
( ).
1
1
tanx
arctan
4
4
p
p
p
ộ
ờộ
= +
=
ờờ
ị ẻ
ờờ
ổử
ờờ
=
ữ
ỗ

1 1 1
4
ộ
=
ờ
- - =- - + =
ờ
ờ
+ + +
=
ờ
ở
t
t t
t t
t t t
t
tanx 1
4
( ).
1
1
tanx
arctan
4
4
p
p
p
ộ

3 3 2
3
4sin 3cos 3sin sin cos
0
os
+ - -
=
x x x x x
c x
(Vỡ
cos 0=x
khụng tha phng
trỡnh)
3 2
2
3 2 2
3 2
1
4tan 3 3tan tan 0
cos
4tan 3 3tan (1 tan ) tan x 0
tan tan 3tan 3 0
+ - - =
+ - + - =
- - + =
x x x
x
x x x
x x x
t

p= +x k
,
,
3
p
p= + ẻ Âx k k
.
Vớ d 3. Gii phng trỡnh
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0- + =x x x x
Gii:
Do
cos 0=x
khụng tha phng trỡnh nờn chia hai v ca phng trỡnh cho
4
cos 0ạx
ta c
2 4
3 4tan tan 0- + =x x
t
2
tan , 0= t x t
. Phng trờn tr thnh
15
2
2
2
1 tan 1
4 3 0
3

=± +
ê
ë
x k
x k
(
Î ¢k
).
Bài tập vận dụng:
Giải phương trình :
1)
2 2
4cos sinxcosx+3sin 3+ =x x
2) [ĐHAN_1998] a)
1
3sin cos
cos
+ =x x
x
b)
1
4sin 6cos
cos
+ =x x
x
3) [ĐHNT_96]
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0- - + =x x x x x
4) [ĐH Huế_98]
3 2

(sin cos ) sin cos 0± + + =a x x b x x c
(Dạng
(sin cos ,sin cos )±F x x x x
)
Cách 1:
Nếu đặt
2
1
sin cos sin cos
2
-
= + Þ =
t
t x x x x
được phương trình
2
1
0
2
-
+ + =
t
at b c
,
2 2- £ £t
Nếu đặt
2
1-
sin - cos sin cos
2

- £ £ Þ Þ
í í í
ï ï ï
= =
+ =
ï ï
î î
ï
î
a u v buv c
u x u v s
u v
v x uv p
u v
Ví dụ 1. Giải phương trình 2(sinx + cosx) + sin2x - 2 =0
Giải:
Cách 1:
Đặt
2
sin cos sin 2 1, 2= + Þ = - £t x x x t t
. Khi đó ta được phương trình
2 2
1
2 -1 -2 0 2 3 0
3 2( )
t
t t t t
t loaïi
é
=

( )
2 ,
2
p
p p= = + Î ¢x k x k k
Cách 2:
Đặt
( )
sin
1 , 1
cos
ì
=
ï
ï
- £ £
í
ï
=
ï
î
u x
u v
v x
, ta được hệ phương trình
2 2 2 2
2( ) 2 2 0 1 ( ) 1 ( )
1 ( ) 2 1 ( ) 2( ) 3 0
ì ì ì
+ + - = = - + = - +

ï
ê ê
ï ï
ì
= =
+ =
ï
ï
ï ï
î î
ï ï
ê ê
é
+ =
Û Û Û Û
í í
ê ê
ê
ï ï
ì ì
=
+ =- =
ï ï
ï
î
ê ê
ï
ï ï
ê
ï

ï
=
ï
î
u
v
sin 0
2 ,
cos 1
p
ì
=
ï
ï
Þ Û = Î
í
ï
=
ï
î
¢
x
x k k
x
•
1
0
ì
=
ï

2 ,
2
p
p p= = + Î ¢x k x k k
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn luôn có nghiệm
1 1
sinx osx
+ =m
c
Giải:
Điều kiện của phương trình là
,
2
p
¹ Î ¢
k
x k
, khi đó
17
1 1
sin cos sin cos sin cos - sin cos 0
sin cos
+ = + = + =m x x m x x x x m x x
x x
t
2
1
sin cos
sin cos
2

( ) 2= - -f t mt t m
- Nu m = 0: (2) cú nghim t = 0 tha iu kin bi toỏn
- Nu
0ạm
:
( )=y f x
liờn tc trờn
[ ]
1;1-
v
( 1) (1) 2.( 2) 4 0- = - =- <f f
nờn (2) cú ớt nht 1 nghim thuc
( )
1;1 2; 2
ộ ự
- è -
ờ ỳ
ở ỷ
.
Vy vi mi giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho luụn luụn cú nghim.
Bi tp vn dng
Gii phng trỡnh
1) [HAN_98]
(1 cos )(1 sin ) 2+ + =x x
2) [HGT CS TPHCM_99]
3 3
3
1 sin cos sin 2
2
+ + =x x x

(1)
a) Gii phng trỡnh (1) khi m = -1, bng cỏch t n ph
cos sin= -t x x
18
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim
;
4 4
p p
ộ ự
ờ ỳ
ẻ -
ờ ỳ
ở ỷ
x
.
5) Dng
2 2 2
(sin 2 ,sin , os )F x x c x
hoc
2 2 2
( os 2 ,sin , os )F c x x c x
S dng cụng thc lng giỏc c bn, cụng thc nhõn ụi, a phng
trỡnh ó cho v phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc.
Vớ d 1. Gii phng trỡnh
2 2
3 3
sin sin 3
2 2
+ =
x

t
2
3
sin (0 1)
2
= Ê Ê
x
t t
c phng trỡnh:
2
2 2
3 1 3
4 5 0 ,
2 2 4
3 1 3
sin 2sin 1 1 cos3 1
2 2 2
cos3 0 3 ,
2 6 3
p p p
p
- + = = =
ị = = - =
= = + = + ẻ Â
t t t t
x x
x
x x k x k k
2 2
3 3 3 3 3

4 2
1 7
os 2 2sin 0 os 2 8sin 7 0
4 4
(1 2sin ) 8sin 7 0 4sin 12sin 8 0
sin 3sin 2 0
- + = - + =
- - + = - + =
- + =
c x x c x x
x x x x
x x
t
2
sin ,0 1= Ê Êt x t
ta c phng trỡnh
2
1
3 2 0
2( )
t
t t
t loaùi
ộ
=
ờ
- + =
ờ
=
ở

x x x
c
6) Dng
(tanx,cotx,sin2x,cos2x,tan2x)F

Cỏch thng dựng l t t = tanx, khi ú
2
2 2 2
2 1- 2
sin 2 ,cos2 ,tan 2
1 1 1
= = =
+ + -
t t t
x x x
t t t
Chỳ ý: Tng t nh phộp th trang 11-12, vi cỏch lm ny hc sinh thng
hay quờn xột trng hp
cos 0=x
xem nú cú tha phng trỡnh ó cho hay
khụng? Sau ú xột
cos 0ạx
mi tin hnh bc t n ph t = tanx. Vy ta cn
lu ý vi hc sinh im ny.
Vớ d 1: [TSH A_2003] Gii phng trỡnh
2
os2x 1
cot 1 sin sin 2
1+tanx 2
- = + -

1+t 2 1 2 1
-
-
+
- = + - -
+ +
t
t t
t
t t t
2
2
1 2 1
1
- - +
=
+
t t t
t t
2 2
(1 )(1 ) (1 ) - + = -t t t t
2 2
(1 )(1 (1 )) 0 (1 )(2 1) 0 - + - - = - - + =t t t t t t t
2
1 0
2 1( nghieọm)
t
t t voõ
ộ
- =

x
4) [ĐHQG_96]
1 3sin2 2tan+ =x x
5) [Viện ĐHM_96]
1 tanx
1 sin 2
1 tanx
-
= +
+
x
6) [CĐSP TPHCM_01]
2sin 2 3tan 1= +x x
7) [ĐHBK HN_01]
sin 2 2tan 3+ =x x
8) [Viện ĐHM HN_98]
cos tan 1
2
+ =
x
x
2.3) Dạng phương trình đưa về phương trình lượng giác thường gặp bằng
cách đặt ẩn phụ theo cung, góc của hàm số lượng giác
Dễ thấy các phương trình đã nói ở trên đều giải quyết theo hướng đặt ẩn
phụ đối với hàm số lượng giác nhưng không phải khi nào cách làm trên cũng
gặp thuận lợi. Trong một số trường hợp khác, ta có thể đặt ẩn phụ đối với
cung(góc) của hàm số lượng giác. Sau đó, đưa phương trình về các dạng phương
trình lượng giác thường gặp để giải.
Ví dụ 1. [ĐHQG HN_Khối A_99] Giải phương trình
3

3
p
p= + Î ¢x k k
.
Ví dụ 2. [HVCN BCVT_99] Giải phương trình
3
tan ( ) tan 1
4
p
- = -x x
Giải:
Điều kiện:
cos( ) 0,cos 0
4
p
- ¹ ¹x x
21
t
4 4
p p
= - = +t x x t
. Ta c phng trỡnh
3
1 tan
tan tan 1 1
4 1 tan
p
ổ ử
+
ữ

ở
t
t
(tha iu kin)
tan 0
tan -1
4
p
p
p
ộ
=
ộ
=
ờ
ờ

ờ
ờ
ờ
=
=- +
ở
ờ
ở
t k
t
t
t k
(

ố ứ ố ứ
x x
3)
3
3
cos 3 8cos ( )
2 6
p p
ổ ử
ữ
ỗ
- = -
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
x x

4)
3
3
tan ( ) cot 1 0
4
p
- + + =x x
2.4) Mt s dng phng trỡnh lng giỏc khỏc
õy cng l nhng dng toỏn khỏ a dng, phong phỳ, phc tp v hay cú
trong cỏc k thi tuyn sinh cao ng, i hc hoc thi tuyn hc sinh gii. Mun
gii c cỏc dng phng trỡnh lng giỏc ny thng phi kt hp linh hot

( )
2
1
2
t
t loaïi
é
=-
ê
Û
ê
ê
=-
ê
ë
Với t = -2 ta được
2
1
tan cot 2 tan 2 0 tan 2tan 1 0
tan
+ =- Û + + = Û + + =x x x x x
x
( ) ( )
2
tan 1 0 tan -1 -
4
p
pÛ + = Û = Û = + Î ¢x x x k k
Ví dụ 2.[ĐH Luật HN_98] Giải phương trình
( ) ( )

( )
cos
cos
2 3 7 4 3 2 3 2 3 2 3 cos 1= - Þ - = - Û - = - Û =
x
x
t x
(2)
Từ (1), (2) ta có
cos 1 ,p=± Û = Î ¢x x k k
.
Vậy nghiệm của phương trình là
,p= Î ¢x k k
Ví dụ 3.Giải phương trình
4 2 2
2sin 7sin cos 6cos 0- + =x x x x
Giải:
Đặt
( )
2
sin 0 1= £ £x t t
được phương trình
2 2
2 7cos . 6cos 0- + =t x t x
Phương trình bậc hai theo ẩn t này có
2 2 2
49cos 48cos os xD = - =x x c
=>
7cos osx 3
osx

2
x loaùi
x
x
ộ
=
ờ
ờ
+ =
ờ
=
ờ
ở
1
cos 2 , .
2 3
p
p= = + ẻ Âx x k k
sin
2
x = 2cosx

1- cos
2
x = 2cosx
( )
2
cosx=-1- 2
cos x+2cosx-1=0
osx=-1+ 2

Gii:
t
2
cos2
1
cos
= +
x
u
x
v
2
tan=v x
(
0v
).
Khi ú phng trỡnh ó cho tr thnh
4 3
3 4 7+ =u v
.
Ta cú
( )
2
2
2 2 2
cos2 cos2 1 2cos
1 tan 2
cos cos cos
+
+ = + + = = =

ù ù
ợ
ù
ợ
u u
u u
u v
v v
v v
ng thc xy ra khi ch khi
4
3
1
1 tan 1
4
1
p
p
ỡ
ù
=
ù
ị = ị = = +
ớ
ù
=
ù
ợ
u
v x x k

u
u t t
v ta cú h phng trỡnh
2 2 1 2 2
2 3 1 0 2 3 1 0
ỡ ỡ
ù ù
- + = + = +
ù ù

ớ ớ
ù ù
- + = - + =
ù ù
ợ ợ
t t u
u u
t u t u
t t
(2)
Do hm s
( ) 2= +
x
f x x
tng trờn
Ă
nờn
24
(2)
2 3 1 0

ỷ
g
. Vy (3) cú nghim duy
nht
1.= =u t
Suy ra
( )
1
arcsin(- ) 2
1
3
sin
1
3
arcsin(- ) 2
3
p
p p
ộ
ờ
= +
ờ
=- ẻ
ờ
ờ
= - +
ờ
ở
Â
x k

ợ
u v uv m
I u v
u
Phng trỡnh (1) tng ng vi:
2
( )
1
2
+
+ + - =
u v
u v m
2
( ) 2( ) 2( 1) 0 + + + - + =u v u v m
1 2 3 + =- +u v m
, vi
3
2
-m
.
H (I) tng ng vi mt trong hai h (II)v (III):
2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
( ) 2 ,( ) 2
1 2 1 2
ỡ ỡ
ù ù
+ =- + + + =- - +
ù ù

I