1
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN

Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn thường xuyên được sử dụng khi
gặp các phương trình chỉ chứa căn bậc hai.Trong bài viết này tôi xin đưa ra một số ví dụ cùng hướng
phân tích để tìm lời giải cho bài toán hi vọng sẽ đem lại điều bổ ích cho bạn đọc.

Ví dụ 1: (Ví dụ mở đầu)
Giải phương trình
2
3 3 3 4 1
x x x
   

Bài giải: ĐK
3
x
 

Phương trình


        
2
27 3 3 3 3 31 80 0
x x x x


x
x
 
   Vô nghiệm vì với
3
x
 
thì
3 16
0
9
x 



           
2
5
3 2 0 1 2
3
x
x x x x x
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm
1 2
1, 2
x x
  

Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là biến đổi phương trình ban đầu thành



2
(1) 3 3 3 3 4 1 3 0 0
m x x x m x m m
          

B2: Đặt


3 0
t x t
  
pt trở thành


2 2
3 3 4 1 3 0
mt t x m x m      
Có




t
2 2
12 4 4 12 4 9
mx m m x m m f x
        
B3: Tìm
m

2
2 1 3 1 0
x x x
    

Tách phương trình
Phương trình






          
2
2 1 2 1 3 2 1 0 0
m x x x m x m m

Đặt


2 1 0
t x t
  
phương trình trở thành


2 2
3 2 1 0
mt t x m x m      

/
4 0
4 0
1
1
0
2
4 1 2 1 0
f
f
m
m
m m
m m m

2

Vậy
(2)




2
2 1 2 1 0
x x x x
      
hoặc
 
2

phương trình trở thành
2 2
0
t t x x
    
có


2
2 1
x



suy ra
1 2
1 ,t
t x x
  

2
1
1
2 1 1 2 2
2
4 2 0
x
x x x
x x






             
2 2 2
60 24 5 60 24 5 5 1 24 5 10 60 0 0
m x x x x m x m x m m

Đặt
2
60 24 5 ( 0)
t x x t
   
phương trình trở thành





2 2
5 1 24 5 10 60 0
mt t m x m x m       

Có






4 5 1 0
4 5 1 0
1 16 182 16 182
, ,
1
6 148 148
4 1776 384 6 00
6
f
f
m m
m m
m m m
m m m m

Như vậy ta có thể tách phương trình
(3)
 
2 2 2
1 1
60 24 5 60 24 5 0
6 6
x x x x x x
        

Bài giải: ĐK
2
60 24 5 0
x x
  

        

  


2
2
0
60 24 5 2 14
4 10 0
x
x x x x
x x


  

          

  


2
2
6 0
60 24 5 6 3 13
6 4 0
x
x x x x
x x

2 2 2
8 48 3 8 48 1 8 48 28 0 0
m x x x x x mx m x m m

Đặt
2
8 48 ( 0)
t x x t
    
pt trở thành




       
2 2
3 1 8 48 28 0
mt x t mx m x m

Có
   
 
 
        
 
 
2 2 2
1
1 4 2 16 6 9 4 48 28
2


2
8 48 ( 0)
t x x t
    
phương trình trở thành
   
 
      
2 2
1 1
3 3 4 0 0
2 2
t x t x x t

Phương trình bậc hai ẩn
t
có
 
1
t
từ đó có
2, 4
t x t x
   

2
2
2 0
8 48 2 3 31

2
4 4 2
x   
Để kết thức bài viết này tôi đưa ra một số bài tập sau:
Giải các phương trình vô tỉ
 
 
 
2
2
2
2
2 2
1) 12 1 36 0
2) 3 58 51 2 110 0
3) 4 21 3 2 22 0
4) 1 5 3 3 4 0
5) 2 2 2 1 0
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
    
    
    
    
      