Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Qua quỏ trỡnh ging dy v hc tp trong trng ph thụng, tụi thy phng trỡnh vụ t l mng
kin thc hay v khú. Tt nhiờn cha cú ai cú th a ra mt phng phỏp gii tt c cỏc phng
trỡnh vụ t. Quỏ trỡnh ging dy, tụi thy hc sinh thng lỳng tỳng khi ng trc mt bi toỏn v
phng trỡnh vụ t. Lỳng tỳng trong la chn cỏch gii l mt lớ do. Vỡ vy, qua kinh nghim lm
toỏn tụi mun a ra mt tng hp v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh vụ t( tt nhiờn l da trờn
kinh nghim ca bn thõn)
Trong ti liu tụi s trỡnh by t cỏc phng phỏp n gin thng dựng cho n cỏc phng phỏp
khụng mu mc, ớt khi s dng. Hi vng ti liu cú th giỳp cho cỏc em hc sinh chun b thi i
hc, cỏc em luyn thi hc sinh gii v cỏc bn ng nghờp tham kho ging dy tt hn.
Do ti liu ra mt ln u nờn khụng th trỏnh khi sai xút, mong c s gúp ý ca tt c cỏc bn.
CHNG I: CC DNG C BN V PHNG PHP BIN I TNG NG
1. Phng trỡnh dng:
( ) ( )f x g x=
(1)
gii phng trỡnh dng (1) thụng thng ta gii bng phộp bin i tng ng sau:
(1)
2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x




=

(2)
Nhiu bn hc sinh khi gii phng trỡnh dng ny vn thy thiu iu kin. Cỏc bn s


2 ( 4) 9 18 0
x x
x x x x




= + =

4
6
3, 6
x
x
x x


=

= =

. Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
6x =
Cỏch gii cha ỳng:
K:
2 0 2x x
. Vi iu kin ú phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2 ( 4)x x =


2
23
8
64 384 512 0
x
x x






+ =


4x =
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
4x
=
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
2
1 1x x = +
( H Hu khi A 1999)
Gii:
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2 2
1 0
( 1) 1

1
1
( 1)( 1) 0
x
x
x x x x










+ =


1
1 5
2
x
x
=




+

tr li xin dnh cho bn c.
Ta xột vớ d sau:
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
2
7 5 3 10x x x+ + = +
(3)
Gii:
Phng trỡnh (3) tng vi:
2
3 10 0
7 5 3 10
x
x x x
+


+ + = +


2
10
3
4 5 0
x
x x






3 2
3 2 2x x x+ =
(4)
Gii:
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
(4)
3 2
2 0
3 2 2
x
x x x




+ =




3 2
2
3 0
x
x x x



+ + =



. Tuy nhiờn nu s dng phộp bin i tng ng ta s thy
khụng cn dựng n k:
( ) 0h x
. Tht vy, phng trỡnh ó cho tng ng vi:
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) (*)
f x
g x
f x g x f x g x h x






+ + =

(*) chng t
( ) 0h x
. Ta xột vớ d sau:
Vớ d 1: Gii phng trỡnh:
3 2 1 3 2x x x+ =
( HV bỏo chớ Tp. HCM, nm 2000)
Gii:
Vit li phng trỡnh ó cho di dng:
3 2 2 1 3x x x + = +


2
3
3
2
2 5 7 0
x
x
x x









+ =


(2)
2
3
3
2
7
1,
2
x
x

2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = +
( H Bỏch khoa HN, nm 2002)
Gii:
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2
2
2 2 2 2 2
2 8 6 0
1 0
2 8 6 1 2 (2 8 6)( 1) 4 8 4
x x
x
x x x x x x x x

+ +





+ + + + + + = + +



2 3 2
3
1
1


2 2 2
3
1
1
1( 1 2 2 8 6) 0 (*)
x
x
x
x x x x





=









+ + =

(*)
2 2
1


+ +





2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + = +

1( 2 3 1 2 1) 0x x x x + + + + =
V sau ú gii tip. Cỏch bin i ny cha ỳng. Bi vỡ:
. .A B A B=
ch ỳng khi
, 0A B
Bi tp ỏp dng:
Gii cỏc phng trỡnh sau:
1.
2
1 1x x+ + =
( H Xõy dng 1998)
2.
2 1 2 1 2x x x x+ + =
( H Quy nhn khi D 2000)
3.
9 5 2 4x x+ = +
(H Quc gia Tp. HCM khi D 1998)
4.
4 3 10 3 2x x =
( HSG Quc gia - 2000)

3 3
3
(2 3 1)( 2 1 1) 1x x x x + + =
(*)
2
3
(2 3 1)(3 1) 1x x x + + =
(**)
3 2
6 7 0x x =

0
7
6
x
x
=




=

Th li hai giỏ tr ny thy ch
7
6
x =
l tho món.
Vy phng trỡnh cú nghim duy nht
7

x
=

=





=
=



Th li thy ba nghim ny u tho món.
Vy phng trỡnh cú ba nghim
5
0;
2
x x= =
Bi tp ỏp dng:
Gii cỏc phng trỡnh:
1.
3 3
34 3 1x x+ =
( H S phm Tp. HCM 1996)
2.
3 3
5 7 5 12 1x x+ =
3.

Phng trỡnh ó cho tng ng vi:
2 2
( 11) 11 42 0x x+ + + =
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
t:
2
11 0t x= + >
, ta c phng trỡnh:
2
7
42 0 6
6
t
t t t
t
=

+ = =

=

Khi ú:
2
11 36 5x x+ = =
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
2 2
2 12 6 2 4 4x x x x+ + = + +
Gii:
t:

sau:
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
2 2
2 5 2 2 2 5 6 1x x x x+ + + =
( H S phm Tp. HCM
2000)
Gii:
t:
2
2 5 6 0t x x= +
khi ú:
2 2
2 5 2 8x x t+ + = +
Phng trỡnh tr thnh:
2
8 1 2t t = +

2
1
2
3 4 7 0
t
t t






+ =

Dng Phng trỡnh:
( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + =
Cỏch gii:
Xột
( ) 0 ( ) 0Q x P x= =
Xột
( ) 0Q x
, chia c hai v ca phng trỡnh cho
( )Q x
v t:
( )
( )
P x
t
Q x
=
, chuyn
phng trỡnh ó cho v dng:
2
0at ct b+ + =
Lu ý: T cỏch t
( )
( )
P x
t
Q x
=

( , ) 0f x t =
(

+ + + +
+ =

(3)
t:
2
1
0
1
x x
t
x
+ +
=

2 2
(1 ) 1 0x t x t + + + =
cú:
4 2
6 3
x
t t =
. Nờn cú iu kin ca
t

l:

0
3 2 3
0

Vi t = 3 ta cú:
2
8 10 0 4 6x x x + = =
tho món iu kin ca
x
.
Vy phng trỡnh cú nghim:
4 6x =
Chỳ ý:
Hon ton bỡnh ng, cỏc bn cú th thc hin phộp chia cho
( )P x
hoc
( ). ( )P x Q x
Cỏc bn cú th gii bi toỏn trờn bng cỏch t:
( ) ( )P x t Q x=
hoc ngc li
Li bỡnh 1: Mu cht ca bi toỏn l phõn tớch v trỏi ca (1) thnh:
2
2( 1) 3( 1)x x x+ + +
.
Ti sao li cú s phõn tớch nh vy? Nú ph thuc vo v phi ca (1):
3 2
1 ( 1)( 1)x x x x = + +
. Nh vy chc chn s cú s phõn tớch v trỏi thnh
2
( 1) ( 1)a x b x x + + +
v ta tỡm
,a b
bng phng phỏp h s bt nh:
2 2

gõy nhiu s khụng cú ý ngha gỡ na. Chỳ ý cỏc ng thc sau cú th sỏng to ra cỏc
bi toỏn dng ny:

4 2 4 2 2 2 2
1 ( 2 1) ( 1)( 1)x x x x x x x x x+ + = + + = + + +

4 2 2
1 ( 2 1)( 2 1)x x x x x+ = + + +

4 2 2
4 1 (2 2 1)(2 2 1)x x x x x+ = + + +
Vớ d 2: Gii phng trỡnh:
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + = +
(1)
Phơng trình vô tỷ Những suy luận và ph ơng pháp giải
Lê Quân Giáo viên THPT Cầm Bá Th ớc
Gii:
Ta cú (1)
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x + + = + +

2
2 2 2
20 0
1 0
5 14 9 20 25( 1) 10 ( 20)( 1)
x x
x
x x x x x x x x

4x
=
khụng phi l nghim ca (4)
t
2
4 4 5x t x x+ =
(
0)t >
, Khi ú (3) tr thnh:
2 2 2
1
( 4 5)(3 5 2) 0 3 5 2 0
2
3
t
x x t t t t
t
=


+ = + =

=

Vi
1t
=
ta cú:
2
5 61


=

. Kt hp vi (2) v (3) ta cú:
8x
=
Vy phng trỡnh cú hai nghim:
5 61
2
x
+
=
v
8x
=
Chỳ ý: Nu phng trỡnh:
( ) ( ) ( ). ( ) 0 ( 0)aP x bQ x c P x Q x abc+ + =
tho món:
( ). ( )P x Q x k=
thỡ bi toỏn tr nờn n gin i rt nhiu. Ta xột vớ d sau:
Vớ d 3: Gii phng trỡnh:
8 8
1 2
2
2 1
x x
x x
+
+ =
+

1 1 2
2
t x x x= = + =
tho món phng trỡnh ó cho.
Bi tp ỏp dng:
1. Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim thc:
2
4
3 1 1 2 1x m x x + + =

2. Gii cỏc phng trỡnh:
a.
2 3 3
2( 1) 5 1x x+ = +
b.
2 4
4 2 2 4 1x x x + = +
c.
2 4 2
3
3 1 1
3
x x x x + = + +
Dng Phng trỡnh:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) 0a P x Q x b P x Q x a P x Q x c

+ + + =

(